信号与系统ch6

1、1,引言,1.系统函数H(s),H(s)为零状态响应函数R(s)与激励函数E(s)之比（系统的初始条件为零），即,定义:,系统特性在复频域中的表现形式,系统特性在频域中的表现形式,2.系统函数的分类,(1)策动点函数：R(s)、E(s)属于同一端口,（输入函数）输入阻抗Z1(s)和输入导纳Y1(s),2,(2)转移函数（传输函数）：激励和响应不属于同一端口,转移阻抗,转移导纳,电压传输系数,电流传输系数,3.系统函数表示系统激励与响应之间的因果关系,复频域：,时域 ：,且,3,一、系统函数的表示法,二、系统函数的零极点分布决定时域特性h(t),(一)频响特性曲线（以为变量来描述线性系统的特性）

2、,(二)复轨迹（极坐标图）,(三)极点零点图,三、系统函数零极点分布决定频响特性,四、系统的稳定性,(一)极点在左半 s平面,(二) 极点在虚轴上,(三)极点在右半 s平面,(一)系统的稳定性及其条件,(二) 罗斯霍维茨（Routh-Hurwitz）准则（判据）,4,一、系统函数的表示法,（一）频响特性曲线,频率特性：系统在正弦信号激励下的某种稳态特性,频率响应函数,幅频特性：,相频特性：,（二）复轨迹（极坐标图）,在正弦信号激励下（即 ），复变量s在s平面中沿 轴变化（ ），映射到H平面中得到的一条曲线称为系统函数的复轨迹（用极坐标表示）。,.,.,.,.,.,.,.,.,H平面,5,例 R

3、LC并联网络,Z,输入阻抗,频率特性,6,Z的实部和虚部满足 :,时 ,时 ,(R,0),时 ,时, (上半圆周),时, (下半圆周),即当 时，复轨迹顺时针绕圆周一次,当时 ，复轨迹又顺时针绕圆周一次,复轨迹：,7,(三) 极点零点图,的根： 称为函数 的极点，使,的根： 称为函数 的零点，使,极零图：把系统函数的极点和零点标绘在s平面中，就成为极点零点分布图，简称极零图。,例,极点：,零点：,(2),8,又如并联 R、L、C 电路的阻抗函数（策动点阻抗）为,这里，H0=1/C , 零点是 z =0 , 极点在 0 时 是成共轭对的复数,其中,9,二、系统函数零极点分布决定时域特性h(t),

4、(一)极点在左半 s平面,1在实轴,按指数规律衰减,2不在实轴上,a,0,-0,减幅的余弦振荡,(二) 极点在虚轴上,1 在原点,2 不在原点上,等幅振荡,a,10,（三） 极点在右半 s平面,1.在实轴上（正）,按指数规律增长,2.不在实轴上（正）,增幅的余弦振荡,三、系统函数零极点分布决定频响特性,令 ，得,均为复数，可用矢量表示,11,例 求G、L、C并联电路的频率特性,解：1）求输入阻抗并作其极点零点图,其中,设 (欠阻尼) 为一对共轭复数,2）求Z的频响特性,幅频特性：,相频特性：,12,（谐振）,13,全通函数：在右半面的零点和在左半面的极点分别对虚轴互成镜像的网络函数。,即此种网

5、络对各种频率的信号可以一视同仁的传输。故常来做相位校正而不产生幅度失真。,最小相移函数：全部极点和全部零点都在左半平面(包括虚轴),非最小相移函数：至少有一个零点在右半平面,14,(a)最小相移,(b)非最小相移,15,作业 6.2 (a)(b) 6.7(d) 6.9,16,四、系统的稳定性,（一）系统的稳定性及其条件,1定义：,对于有限（有界）激励只能产生有限（有界）响应的系统称为稳定系统，也叫有界输入有界输出（BIBO）稳定系统，即,若激励,则响应函数,2. 条件:,系统稳定的充分和必要条件是：系统的冲激响应绝对可积，即,(M为正常数),根据稳定条件：,（绝对可积）,故在时域,(1) (消

6、失) ，,系统是稳定的,(2) 继续增长 ，,系统是不稳定的,(3) 有限值或等幅振荡 ，,系统为临(边)界稳定,17,相应地，在复频域：,（1） 的全部极点均分布在 s 左半平面系统稳定,（2） 只要有一个极点分布在 s 右半平面系统不稳定,（3） 的单阶极点分布在虚轴上临界稳定,3.稳定系统的性质,即 在无穷大处有一（n-m）阶零点,即 在无穷大处有一（m-n）阶极点,总的来说， 的极点和零点的数目应该相等，对于稳定系统，m和n 须满足：,一般对零点无此限制，对于策动点函数由于,故稳定系统,18,稳定系统 表示式中 系数 具有以下性质：,（） 全为正,（） 无缺项（可以 0）,缺 s 的全

7、部奇数项或全部偶数项临界稳定,例 （1）,不满足（）,不稳定,（2）,不满足（）,不稳定,（3）,满足（）、（）可能稳定,进一步确定：,在右半平面,系统不稳定,以上两个性质是判断系统稳定的必要条件,19,(二) 罗斯霍维茨（Routh-Hurwitz）准则（判据）,内容：,若,则 的根全部位于s左半平面的充要条件是：,（） 的全部系数 为正，无缺项；,（）罗斯霍维茨阵列中第一列数字( )符号相同,RH阵列：,第1行,An Bn Cn Dn ,第2行,An-1 Bn-1 Cn-1 Dn-1 ,第3行,An-2 Bn-2 Cn-2 Dn-2 ,第4行,An-3 Bn-3 Cn-3 Dn-3 ,第(

8、n-1)行,A2 B2 0,第n行,A1 0 0,第(n+1)行,A0 0 0,其中An=an , An-1=an-1 , Bn=an-2 , Bn-1=an-3 , Cn=an-4 , ,an,an -1,an -2,an -3,an -4,an -5,an -6,an -7,20,例1,RH阵列：,1,2,3,4,5,3,0,0,0,3,0,0,RH阵列第一列系数两次变换符号（1-39/2）,故方程有两个正实部根，,由此可以判定与此特征方程对应的系统不稳定。,例2,RH阵列：,1,1,2,2,3,0,0,0,0,3,0,0,此行首项为0，用无穷小代替,( ), 3 0 0,排完阵列后再令0

9、从而加以判别,23/ 0 0,3 0,当0+(0-)时，23/为负(正)值，,RH数列变号两次，,即该系统有两个正实部根，,故系统不稳定。,21,例3,RH阵列 ：,s5,1,s4,1,3,3,2,2,s3,0 0 0,此行元素全部为0，说 明虚轴上可能有极点,处理：,由全“0”的上一行组成辅助多项式：s4+3s2+2 对其求导得4s3+6s 以其系数代替全“0”,( ),4 6 0,s2,3/2,2,0,s1,2/3,0,s0,2,0,RH数列无符号变化，说明s右半平面无极点，再来判断虚轴上的极点是否单阶极点。,原理：辅助多项式必为原系统特征多项式的一个因式，令它等于零所求得的根也必是原系统函数的极点，这些极点可能分布于虚轴上（缺奇次幂项）。,由,故而,即系统函数在虚轴上有4个单阶极点，故系统临界稳定。,事实上：,22,例 4 反馈系统,放大器增益 , 转移函数,问当常数满足什么条件时，系统是稳定的？,解：,反馈系统的传输函数（系统函数）：,RH阵列：,1,1,K-2,0,0,0,K-2,0,由RH判据知：,K-20,即 K2时系统稳定,23,本章