2012高一数学 1.3.1 单调性与最大课件 新小值第二课时课件 新人教A版必修1.ppt

1、第2课时 函数的最大值、最小值,1通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义 2会利用函数的单调性求函数的最值,课前自主学习,1最大值的概念：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的xI，都有_； (2)存在x0I，使得_.那么，称M是函数yf(x)的最大值 2最小值的概念：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的xI，都有_ ； (2)存在x0I，使得_.那么，称M是函数yf(x)的最小值,自学导引,f(x)M,f(x0)M,f(x)M,f(x0)M,1函数最大值或最小值的几何意义是什么？ 答：函数

2、最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标,自主探究,注意：(1)在给定的区间内，当某个代数式的符号无法确定时(如本题中x1x2a)，可取极端情况(如x1x2)入手分析，以此为界分类讨论,1函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 () Af(2)，0 B0,2 Cf(2)，2 Df(2)，2,预习测评,解析：由函数最值的几何意义知，当x2时，有最小值f(2)；当x1时，有最大值2. 答案：C,2函数yax1(a0)在区间0,2上的最大值与最小值分别为() A1,2a1 B2a1,1 C1a,1 D1,1a 解析：a

3、0，所以一次函数在区间0,2上是减函数，当x0时，函数取得最大值为1；当x2时，函数取得最小值为2a1. 答案：A 3函数y2x21，xN*的最小值为_ 解析：xN*，y2x213. 答案：3,答案：20,课堂讲练互动,一、函数的最大(小)值的理解 1定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素如f(x)x2(xR)的最大值为0，有f(0)0，注意对(2)中“存在”一词的理解 2对于定义域内全部元素，都有f(x)M(或f(x)M)成立“任意”是说对每一个值都必须满足不等式,要点阐释,3这两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是最大(小)值，如f(x)x2(xR)，对任意xR，都有f(x)1成立，

4、但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了最大(小)值的核心就是不等式f(x)M(或f(x)M)，故也不能只有(2) 二、求函数最值的方法 1求函数最大(小)值的常用方法有： (1)值域：求出函数f(x)的值域，即可求其最值 (注意必须确保存在函数值里的最值)； (2)单调性法通过研究函数的单调性来求函数的最值；,2当一般的求最值方法难以奏效时，不妨研究函数的单调性试一试，单调性法是求有些非常规函数最值的有效方法 (1)一般地，若yf(x)与yg(x)有相同的定义域，且在定义域内有相同的单调性，则函数yf(x)g(x)与它们也有相同的单调性,(2)函数yf(x)的最大值和最小值也可用下列

5、符号表示：用y大或ymax表示yf(x)的最大值；用y小或ymin表示yf(x)的最小值，而用f(x)|xx0表示当xx0时yf(x)的函数值,题型一利用图象求函数最值 【例1】 如图为函数yf(x)，x4,7的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间,典例剖析,解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(1.5，2)，所以函数yf(x)当x3时取得最大值，最大值是3，当x1.5时取得最小值，最小值是2. 函数的单调增区间为(1.5,3，(5,6， 单调减区间为4，1.5，(3,5，(6,7 点评：利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法这种方法以函数最值的几何意义为依

6、据，对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用,题型二利用单调性求函数最值 (1)求f(x)的最小值； (2)若f(x)a恒成立，求a的取值范围,点评：运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法另外f(x)a恒成立，等价于f(x)mina，f(x)a恒成立，等价于f(x)maxa.,题型三二次函数在给定区间上的最值 【例3】 求函数f(x)x22ax2在1,1上的最小值. 解：函数f(x)图象的对称轴方程为xa，且函数图象开口向上，如图所示： 当a1时，f(x)在1,1上单调递减， 故f(x)minf(1)32a；,当1a1时，f(x

7、)在1,1上先减后增， 故f(x)minf(a)2a2； 当a1时，f(x)在1,1上单调递增， 故f(x)minf(1)32a. 综上可知f(x)的最小值为,点评：探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据 二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系；定义域区间在对称轴右侧；定义域区间在对称轴左侧；定义域区间在对称轴的两侧,3已知函数f(x)ax22ax2b(a0)在2,3上有最大值5和最小值2，求a，b的值 解：f(x)ax22ax

8、2ba(x1)22ba的对称轴方程是x1. (1)当a0时，f(x)在2,3上是增函数,误区解密因忽略函数的定义域而出错 【例4】 求函数yx22x，x1,2的值域 错解：yx22x(x1)21， 因为(x1)20， 所以y(x1)211. 从而知，函数yx22x的值域为1，) 错因分析：这里函数的定义域有限制，即1 x2，上述解法只对二次函数yax2bxc(a0)在定义域为实数集时适用,正解：yx22x(x1)21，x1,2由图象知， 当1x1时，y随x的增大而减小； 当1x2时，y随x的增大而增大 并且当x1时，y取最大值3； 当x1时，y取最小值1. 从而知1y3， 即函数yx22x，x1,2的值域是1,3 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意函数的定义域,1求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出 2运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别是函数图象作不出来时