质点系的质心

1、第 三 章,质点系动力学,3-1 质点系 质心 质心运动定理,内力：系统内质点间的相互作 用力。,外力：系统外物体对质点系的作 用力。,质点系：由多个质点组成的系统。,一、质点系,内力：,由N个质点构成的系统,2、过程中包括的质点不变,外力：,1、内力和外力,二、 质心（center of mass）,质点系的质心，是一个以质量为权重取平均的特殊点。,1、质心的位置,上式的分量形式:,2、质心的速度,3、质心的动量,4、质心的加速度,对连续分布的物质，分成N 个小质元计算,三、质心运动定理,证明：,质点系的动量等于质心动量,特例：对不受外力作用的系统， 其质心速度不变。,P 表示质点系在时刻

2、t 的动量,（质点系动量定理）,一对内力,3.2 质点系的动量定理和动量守恒定律,一、质点系的动量定理,合外力的冲量 = 质点系动量的增量。,与内力无关。,二、动量守恒定律,若质点系,则,即：若质点系所受合外力为零，其动量守恒。,讨论：,（1）内力不会影响系统的总动量，但可使系统内的动量一个质点转移到另一个质点。,（2）动量守恒律是牛顿第二、三定律的直接结果；是空间平移不变性的物理表现。,m1,m2,说明,（3）动量守恒式的分量形式：,（4）反冲运动中的动量守恒,（5）动量守恒律在近代物理学中的意义,物理学家对动量守恒定律具有充分信心。,20世纪初发现原子核的衰变,实验表明，这个过程 能量不守

3、恒 动量不守恒,泡利假设： 存在新粒子质量非常小，不带电,三、动量守恒定律,泡利（E.Pauli,19001958）,假设必须得到实验证实，这才是物理学,三、动量守恒定律,把发生 衰变的原子核用一个铅制的大圆柱体围起来,测量铅柱体内温升，确定新粒子存在,失败！没有温升,很多物理学家开始怀疑能量守恒和动量守恒是否适用于原子核 ？,但是， 泡利相信守恒法则坚不可摧和这种新粒子的存在，并再次假设新粒子的穿透力无比，能自由自在地穿透铅柱，而不交出任何能量。 后来命名中微子,1965年证实存在！,三、动量守恒定律,日本的一个中微子观察站，隐藏在地底1000米的地方。包括由11200根多激光电管存储的5万

4、吨纯净水,闪电般地穿物而过，不为所查,可能构成宇宙的暗物质,三、动量守恒定律,8光年（1光年大约1016米）厚的铅板才能挡住发射出的中微子的一半,三、火箭飞行原理（反冲运动）,火箭+喷射气体的总动量守恒:,多级火箭发射原理,练习质量为m的人站在一质量为M、长为l 的小车一端，由静止走向车的另一端，求人移动了多少距离?(不计摩擦),设车和人相对地面速度分别为 和,即,-运动方向相反,人相对于车的速度为,设人在时间 t 内走到另一端,3.3 保守力 势能,一、保守力,作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无关的一类力。,（1）重力,重力是保守力,（2）弹力,弹力是保守力,（3）万有引力,万有引

5、力是保守力,（4）摩擦力,摩擦力是非保守力,二、成对力的功,成对力：系统的内力,0,: m1、m2 的相对位移。,成对保守力的功只取决于相互作用质点的始末状态，与各质点的运动路径无关。,三、势能,三、势能,定义态函数：,保守力作功相同,势能,常见的保守力势能,成对保守力的功等于系统势能的减少（势能的增量的负值）,讨论：,（1）势能的系统性。,（2）对于非保守力不能引入 势能的概念。,（3）势能零点的选取：,零势能点的选取：,1、 重力势能的零势能点通常 选在地面或桌面,2、弹性势能的零势能点选在 弹簧原长时物体所在位置。,3、万有引力势能的零势能点 选在两物体相距无穷远处。,3.4 功能原理,

6、一、质点系的动能定理,系统外力作功,系统动能的增量,系统内力作功,二、系统的功能原理,讨论：,（1）功能原理都是针对某系统成立，对单个质点,（2）若 Ae=0, 有 Aid = E,（3）机械能守恒,当系统的外力和非保守内力 不作功或两者作功之和为零时， 系统的机械能守恒。,下列说法哪些是正确的? (A)系统不受外力的作用，则它的机械能和动量都守恒； (B)系统所受的外力矢量和为零，内力都是保守力，则机械能和动量都守恒； (C)系统所受的外力矢量和不为零，内力都是保守力，则机械能和动量都不守恒； (D)系统不受外力的作用，内力都是保守力，则机械能和动量都守恒。,解：,G,N,f,用质点的动能定

7、理求解：,汽车动能的增加=外力作功,汽车机械能增加=非保守内力做功,用质点系功能原理求解：,汽车 + 地球为一系统,两种方法结果相同。,三、能量守恒定律,对于一个不受外界作用的 孤立系统，无论其内部经历任 何变化，该系统所有能量的总 和不变。能量只能从一种形式 转化为另一种形式，或从系统 内一个物体传给另一个物体。,四、碰撞,恢复系数,1、完全弹性碰撞,动量守恒：,能量守恒：,1、完全非弹性碰撞,只有动量守恒,练习,四分之一光滑圆弧槽质量为M，置于光滑水平面上，m自其顶点由静止滑下，求m滑到底时 （1）M移动的距离。 （2） M移动的速度 （3）M对m所作的功,解：取M，m和地球组成一个系统,

8、动量守恒 机械能守恒,（三）对m应用动能定理,把一个物体从地球表面沿铅直方向 以速度 发射出去，阻力不记，求物体从地面飞行到与地心相距nRe处的时间。,3.5 质点的角动量和 角动量守恒定律,一、质点的角动量（动量矩）,一质点质量为 m，以速度 在空间运动，若某时刻相对空间 某点 O 的位置矢量为 ，则定 义此质点相对于 O 点的角动量为：,O,其大小：,其方向：由右手螺旋 法则确定,类似地，可定义一个力 相对 某点的力矩,0,其大小：,其方向：由右手螺旋 法则确定,二、质点的角动量守恒定律,角动量定理,证明如下：,质点系,内力矩两两相消，即,角动量守恒定律,-质点系的角动量定理,有心力对力心

9、的力矩为零，物体对力心的角动量守恒。,3.6 有心力,开普勒三定律：,常数,常数,行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。,在近日点转得快，在远日点转得慢。,角动量方向不变：,行星轨道平面方位不变,角动量大小不变：,一、证明开普勒第二定律：行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。,二、引力定律的论证,牛顿分析大量包括天文学方面的实验结果， 1687年总结出万有引力定律：,在万有引力定律中质量是表现一个物体吸引其它物体或被其它物体吸引能力的量，称为引力质量。,适用与两个质点,惯性质量和引力质量具有等同性。,对于自由下落的物体，由万有引力定律和牛顿定律,因g对一切物体都相同，则mi

10、与mg的比为常数，与物体的具体性质无关，,适当选择单位使,惯性质量等于引力质量广义相对论基础,厄缶扭称实验,A、B为引力质量相等的不同质料的小球。,地球绕太阳公转，在地球参考系中，A、B除受太阳引力，还受惯性力。,若惯性质量和引力质量不成正比，则A、B所受惯性力不同，有力矩。随地球自转，太阳位置不同，扭秤将发生24小时周期性偏转。,在1011的相对精度内，未观察到偏转！,引力势能：,机械能守恒：,角动量守恒：,球形原始气云具有初始角动量L，,在垂直于L方向，,引力使气云收缩，,但在与L平行的方向无此限制，所以形成了旋转盘状结构。,角动量守恒，粒子的旋转速度，惯性离心力，离心力与引力达到平衡，维

11、持一定的半径。,引力场与暗物质,星夜（梵高，1889）,引力场与暗物质,两个问题？,1、计算一个半径为R，质量为M的球体对处于任意位置处（包括球内、外）质量为m的质点的引力？,2、证明任意一个质点在万有引力作用下的轨道曲线为圆锥曲线，并给出椭圆轨道、抛物线轨道、和双曲线轨道条件。,* 3.7 潮汐（tide）,海面上两个突起部分，分别出现在离月球最近和最远的地方。,主要由月球引力和地球公转引起。,太阳对海水的引力比月球的大180倍，为什么主要由月球引力引起？,引起潮汐的力引潮力,？,自由降落“大升降机”中的引潮力：,引潮力是被惯性力抵消后的“残余的力”。,地球自转引起的惯性离心力已包括在海水视

12、重中，所以只考虑在引力场中地球的平动。,忽略海水相对地球的流动引起的科里奥利力。,海水受的引力不均匀，不能与惯性力严格抵消，引起潮汐。,海水m受月球的引力：,m受的惯性力，等于把它放在地心C处时所受引力的负值,引潮力：,其中,因 R/r 1，按 R/r 展开只取到一次项,引潮力在地表分布：,地球自转，一昼夜有两个高峰和两个低谷扫过每一个地方，形成两次高潮和两次低潮。, =0、 背离地心，形成海水的两个高峰。, = /2 指向地心，形成海水低谷。,所以，潮汐主要由月球引力引起！,月球引潮力是太阳引潮力的 2.18 倍：,引潮力对固体也有作用。若伴星轨道小到某一临界半径之内，会被主星的引潮力撕成碎

13、片。,大潮,小潮,1994年7月实验观测到了彗星与木星碰撞前被撕裂的碎片。,3-8 守恒定律的意义,自然界中存在多种守恒定律：,动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 宇称守恒定律,电荷守恒定律 质量守恒定律 等等,守恒定律与自然界的更普遍的属性-时空对称性（不变性）相联系。,动量守恒定律对应 空间平移不变性。,能量守恒定律对应 时间平移不变性。,角动量守恒律对应 空间转动不变性。,如果物理定律不具有时间平移对称性 设重力势能 随时间变化,例如：白天 g 大，晚上 g 小，则可晚上抽水贮存于h高度处，白天利用水的落差作功，可获得能量赢余,则永动机可以制造成功，违反能量守恒定律,时间平移对称性能量守恒定律,空间平移对称性动量守恒定律,设体系由两个相互作用的粒子组成而且只限于在x轴上运动。当两粒子之间距离 x=x1 - x2 时，体系的势能为,当体系发生一个平移 时，两粒子的座标变为,但二者的距离仍为x= x1 - x2 空间的平移对称性意味着势能应于 无关。这只有在势能U只是两粒子的间距的