高等数学课件(一).ppt

1、一、 函数的概念,二、 函数的特性,五、 小结与思考判断题,三、 函数的运算,四、 初等函数,第一节 函 数,因变量,自变量,定义1 设 和 是两个变量， 是一个给定的数集，如果对于每个数 ，变量 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 是 的函数，记作,数集D叫做这个函数的定义域,函数值全体组成的数集,当 时，称 为函数在 的函数值.,称为函数的值域.,一、函数的概念,自变量,因变量,对应法则f,约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,例如,例如,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,2. 单值函数与多值函数,

2、例如,例1 符号函数,3. 几个特殊的函数举例,阶梯曲线,例2 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数.,在 为整数值处,图形发生跳跃,跃度为1.,例3 狄利克雷函数,如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式子表示称为分段函数,例1至例3均是分段函数.,二、函数的特性,有界,无界,1.函数的有界性,2函数的单调性:,例如,函数 在 内是单调增加的.如图所示.,例如,函数 在 内是单调减少的,在 内是单调增加的.如图所示.,3函数的奇偶性:,偶函数,偶函数的图形关于 轴对称.,奇函数,奇函数的图形对称于原点.,不满足上述性质的函数为非奇非偶函数.,例如,与 是奇函数；,与 是偶函数；,4函数

3、的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,例如,函数 都是以 为周期的周期函数.,函数 都是以 为周期的周期函数.,并非所有的周期函数都有最小正周期.,例如函数 ( 为常数)及狄利克雷(Dirichlet)函数,均为周期函数,但没有最小正周期.,三、函数的运算,对函数除了可以作加，减，乘，除四则运算之外，还有复合运算与求反函数的运算.,注：不是任何函数都可以复合成一个函数。,的定义域 为,是没有意义的.,不满足复合函数定义的条件，从而,例7 已知 求,故,例8 函数 是由哪些函数复合而成的.,复合而成.,定义3 设函数 的值域为 ，如果对于每一个 ，根据关系 能确定唯一的 ，则称

4、得到的新函数 为 的反函数.亦称 与 互为反函数.函数的反函数常记为,相对于反函数 来说，原来的函数称为直接函数.它们图形的关系如下所示.,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,函数 在 上没有反函数， 但在 及 上分别有反函数 及 .,又 在 上没有反函数， 只是在 上的反函数.,例9 求函数 的反函数.,(舍去“-”),将字母 与 互换,得,即,1.基本初等函数,四、初等函数,2.幂函数,3.指数函数,4.对数函数,对数函数与指数函数互为反函数.,5.三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,它们均为周期函数， 和 有界.其余三 角函数无界. 为奇函数， 为偶函数.,6.反三角函数,是单调递增的,是单调递减的，,它们均为有界函数.,2.初等函数,由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如,设 都是初等函数，则幂指函数 也是初等函数.,应用上还常遇到另一种初等函数.,双曲函数与反双曲函数,1.双曲函数,奇函数,有界函数,在 内单调增加.,双曲函数常用公式,2.反双曲函数,奇函数,奇函数,五 小结与思考判断题,1.函数的分类,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),（1） 分段函数都不是初等函数。,（2） 由基