数值分析实验题( 华科)

1、数值分析实验作业专业： 姓名： 学号： 实验2.1 多项式插值的振荡现象问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数，显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，我们自然关心插值多项的次数增加时，Ln(x)是否也更加靠近逼近的函数，Runge给出的例子是极著名并富有启发性的，设区间-1,1上函数实验内容：考虑区间-1，1的一个等距离划分，分点为则拉格朗日插值多项式为其中，i=0,1,2,n是n次Lagrange插值函数。实验要求： （1）选择不断增大的分点数目n=2，3，画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在-1，1上的图像，比较并分析实验结果。 （2）选择

2、其他的函数，例如定义在区间-5，5上的函数，重复上述的实验看其结果如何。解：以下的f(x)、h(x)、g(x)的为插值点用“*”表示，朗格朗日拟合曲线用连续曲线表示。通过三个函数的拉格朗日拟合可以看到，随着插值点的增加，产生Rung现象。（1） f(x)(2) h(x)(3) g(x)实验3.1 最小二乘法拟合编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表中的数据作三次多项式最小二乘拟合。-1.0-0.50.00.51.01.52.0-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取权数,求拟合曲线中的参数，平方误差，并作离散数据的拟合函数的图形。解：三次多项式

3、的拟合曲线为： 此题中权函数，即W=(1,1,1,1,1,1,1) 利用法方程求解这个方程组，就可以得到系数a。解之得： 故拟合的函数为:,平方误差为：2.176191667187105e-05拟合的函数图像如下：实验5.1 常微分方程性态和R-K法稳定性试验试验目的：考察下面的微分方程右端项中函数y前面的参数对方程性态的影响（它可使方程为好条件的或坏条件的）和研究计算步长对R-K法计算稳定性的影响。实验题目：常微分方程初值问题其中，。其精确解为实验要求： （1）对于参数，分别去四个不同的数值：一个大的正值，一个小的正值，一个绝对值小的负值和一个绝对值大的负值。取步长，分别用经典R-K法计算，

4、将四组计算结果画在同一张图上，进行比较并说明相应初值问题的性态。（2）对于参数为一个绝对值不大的负值和两个计算步，一个计算步使参数在经典R-K法的稳定域内，另一个步长在经典的R-K法的稳定域外。分别用经典R-K法计算并比较计算结果。取全域等距的10个点上的计算值，列表说明。解:对于4阶R-K法 绝对稳定区为：这里，所以绝对稳定区为：（1）对于，绝对稳定区：a21-1-2h0.010.010.010.01(2)对于，稳定区a-20-20h0.010.15xy（精确解）数值解y1（a=-20,h=0.01）y1-y数值解y2（a=-20,h=0.15）y1-y0.150.1997870.19978

5、92.35E-061.5250001.3252130.300.3024790.3024792.34E-072.1906251.8881460.450.4501230.4501231.75E-083.0496092.5994860.600.6000060.6000061.16E-094.1744633.5744570.750.7500000.7500007.23E-115.6648864.9148860.900.9000000.9000004.32E-127.6579696.757969可见h=0.01时，数值解稳定h=0.15时，数值解不稳定。程序源代码function testCharpt2

6、_1%对数值分析实验题第2章第1题进行分析promps=输入f为选择f(x)；输入h为选择h(x)；输入g为选择g(x);result=inputdlg(promps,请选择实验函数);chooseFunction=char(result);switch chooseFunction case f f=inline(1./(1+25*x.2); a=-1; b=1; nameFuc=f(x); case h f=inline(x./(1+x.4); a=-5; b=5 nameFuc=h(x) case g f=inline(atan(x); a=-5; b=5 nameFuc=g(x)end

7、% promps2=n=;% nNumble=inputdlg(promps2,请输入分点数n);nNumble=2:11for i=1:length(nNumble) x=linspace(a,b,nNumble(i)+1); y=feval(f,x); xx=a:0.1:b; yy=lagrange(x,y,xx) figure fplot(f,a,b,*) hold on plot(xx,yy,LineWidth,2) xlabel(x) ylabel(y) legend(nameFuc,lagrange(x) nameTitle=多项式求值的振荡现象, n=,num2str(nNumb

8、le(i) title(nameTitle,FontSize,14); grid onendfunction yy=lagrange(x,y,xx)%s实现拉格朗日插值%输入参数x，y分别为已知插值点的自变量和因变量%输入参数xx为拟合点的自变量值%输出参数yy为对应自变量xx的拟合值xLength=length(x);xxLength=length(xx);for i1=1:xxLength yy(i1)=0; for i2=1:xLength p=1; for i3=1:xLength if(i2=i3) p=p*(xx(i1)-x(i3)/(x(i2)-x(i3); end end yy

9、(i1)=yy(i1)+p*y(i2); end endfunction testCharpt3_1()%对数值分析实验题第3章第1题进行分析%输入参数：自变量x，因变量y%输入参数：多项式拟合次数nclcclearformat longx=-1.0,-0.5,0.0,0.5,1.0,1.5,2.0y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552n=3A=;for i=1:length(x) A=A;1 x(i) x(i)2 x(i)3end A2=A*A;a=inv(A2)*A*y%多项式的系数% a=roundn(a,-6)yy=a(1)+a(2

10、)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3;r=(y-yy)*(y-yy) %平方误差clfhold on plot(x,y,or);x2=-1:0.01:2;y2=a(1)+a(2)*x2+a(3)*x2.2+a(4)*x2.3;plot(x2,y2,LineWidth,2);legend(离散值,拟合曲线)xlabel(x);ylabel(y);title(3次多项式拟合,平方误差=,num2str(r),FontSize,14);grid onfunction testCharpt5_1%对数值分析实验题第3章第1题进行分析%输入参数：参数a，步长h%精确解和数值解图形对比%第1问输入a

11、=2 1 -1 -2% 输入a的取值h=0.01 0.01 0.01 0.01%输入h的取值%第2问输入% a=-20 -20% 输入a的取值% h=0.01 0.15%输入h的取值%func=inline(1+(y-x).*a);%定义函数for i=1:length(a) x=0:h(i):1;%求解区间 y=x; N=length(x); y(1)=1; for n=1:N-1 k1=func(a(i),x(n),y(n); k2=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k1*h(i)/2); k3=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k2*h(i)/2); k4=func(a(i),x(n)+h(i),y(n)+k3*h(i) ; y(n+1)=y(n)+h(i)*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;%数值解 end y0=ex