数学变形-裂项

1、*裂项就是朝着一定方向变形。*裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” 裂和型运算的题目不仅有，“两两抵消”型的，同时还有转化为 “分数凑整”型的，以达到简化目的。一、基本裂项例1、计算12+23+34+45+9899+99100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。12=（123-012）（13）23=（234-123）（13）34=（345-234）（13）45=（456-345）（13） 扩大倍数=公差X因数加一9899=（9899100-97989

2、9）（13）99100=（99100101-9899100）（13）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99100101-012）3。解：12+23+34+45+9899+99100=（99100101-012）3=333300 下式：增大后减（裂差）例2、计算35+57+79+9799+99101分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、997、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。35=（357-135）（23）57=（579-357）（23）79=（

3、7911-579）（23）9799=（9799101-959799）（23）99101=（99101103-9799101）（23）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。解：35+57+79+9799+99101=（99101103-135）（23）=10298826=171647例3、计算123+234+345+969798+979899分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。123=（1234-0123）（14）234=（23

4、45-1234）（14）345=（3456-2345）（14）969798=（96979899-95969798）（14）979899=（979899100-96979899）（14）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（979899100-0123）（14）。解：123+234+345+969798+979899=（979899100-0123）（14）=23527350例4、 计算101622+162228+707682+768288分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。解：101622+162228+707682+768288=（76828894-4101622）（64）=21

5、47376二、组合裂项例5、计算11+22+33+9999+100100分析：nn=(n-1)n+n解：11+22+33+9999+100100=1+（12+2）+（23+3）+（9899+99）+（99100+100）=（12+23+9899+99100）+（1+2+3+99+100）=991001013+（1+100）1002=333300+5050=338350例6、计算12+34+56+9798+99100分析：(n-1)n=(n-2)n+n 左式：缩小后加（裂和）解：12+34+56+78+9798+99100=2+（24+4）+（46+6）+（68+8）+（9698+98）+（98

6、100+100）=（24+46+68+9698+98100）+（2+4+6+8+98+100）=981001026+（2+100）502=169150例7、计算111+222+333+999999+100100100分析：nnn=(n-1)n(n+1)+n 更神奇的“倒推”解：111+222+333+999999+100100100=1+（123+2）+（234+3）+（9899100+99）+（99100101+100）=（123+234+9899100+99100101）+（1+2+3+99+100）=991001011024+（1+100）1002=25492400例8、计算13+24+

7、35+46+98100+99101 解：13+24+35+46+98100+99101（奇偶数项分开）=（13+35+99101）+（24+46+98100）=（99101103-135）6+13+981001026=171650+166600=338250例9、计算1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）解：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）=122+232+342+1001012（高斯新解：101为均数的两倍）=（12+23+34+100101）2=（1001011023）2=171700三、分数裂项（下面常数：其分母即裂项后的裂差分子，或叫连续自然数乘积的差）例题一：1/12+1/23+1/34+1/99100 =（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+.+（1/98-1/99）+（1/99-1/100）=1-1/100=99/100例二：1/（1* 2* 3）+1/（2* 3* 4）+1/（3* 4* 5）+1/（4* 5* 6）+1/（21* 22* 23）= 【(1/1* 2-1/2* 3）+(