算符与力学量的关系.ppt

1、,3.6算符与力学量关系,我们已讲过，当体系处算符的本征态时,算符表示的力学量有确定的值,这个值就是算符在中 的本征值。,如果体系不处在算符的本征态时,这时候 算符和它所表示的力学量之间的关系如何?,力学量算符本征函数组成完备系,有一组函数n(x) (n=1,2,.),如果任意函数 (x)可以按这组函数展开:,则称这组函数n(x) 是完备的。,为求系数,(3.6.1）,以,乘上式两边,并积分,所以,(3.6.2）,则上式变为,利用,(3.6.3）,则有,利用,如果波函数(x)归一化,(3.6.1）,称为几率振幅。,力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次，其中 4

2、 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：,力学量的平均值,对于任意的微观态 ，知道了力学量的全部可能取值 及概率 后，该状态下力学量的平均值由以下公式给 出 该方法常被称为概率平均法,(3.6-4）,考虑到厄米算符本征态的完备性 及正交归一性可得 该方法又被称为状态平均法，只要已知算符 ，不必通过 的本征态及本征值，可直接在任意态 下求出平均值。,(3.6-5）,量子力学基本假定,任何力学量算符F的本征函数n(x)组成正交归一完备系,在任意已归一态(x)中测量力学量F得到本征值n 的几率等于(x)按n(x)展开式中对应本征函数n(x)前的系数cn的绝对值平方。,(3.6-4）

3、,(3.6-5）,如果波函数不归一,则,(3.6-6）,任意态在连续谱 情况下的展开 在此情况下，求和应变为积分,例题一 设粒子处于范围在 的一维无限深势阱中， 状态用波函数 描述，求粒子能量的可能值及相应概率。 解：无限深势阱中，粒子能量的本征态及本征值为 求解该问题，首先必须弄清任意态 究竟包含了能量 本征态中的那几个。 解法1 利用 求 （能量分布函数）,利用三角函数公式及正交性，得 仅有 所以能量的可能值及概率为 概率 概率,解法2 直接将 展开 所以能量的可能值及概率为 概率 概率 能量的平均值为,求解此类问题的技巧：对于任意态 ，有时利用 直接积分既麻烦又易错；若能将 直接 改写成

4、力学量本征态的叠加，可使问题一目了然。 例如 对于 针对动量 应展开为 针对一维无限深势阱，应展开为,例1：已知空间转子处于如下状态,试问（1）是否是 L2 的本征态？ （2）是否是 Lz 的本征态？ （3）求 L2 的平均值； （4）在 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及其相应的几率。,解：,没有确定的L2 的本征值，故不是 L2 的本征态。,是 Lz 的本征态，本征值为 。,（3）求 L2 的平均值,方法 I,验证归一化：,归一化波函数,方法 II,（4）,例2：设t=0 时，粒子的状态为 (x) = A sin2kx + (1/2)coskx 求粒子的平均动量和平均动能。,解

5、：,可写成单色平面波的叠加,可写成单色平面波的叠加,比较二式，因单色平面波动量有确定值：,或,从而得：,归一化后。|c(pi)|2 表示粒子具有动量为 pi 的几率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。,（1）动量平均值,（2）动能平均值,- 分立谱 连续谱 展开式：=n Cnn = Cd 系数： n=n*d =*d 正交归一：n*md=nm *d=（） 完备性： n n（r）n(r)= (r-r) （r）(r)d= (r-r) ,平均值： fnn *(r)F(r) d d*(r)F(r) d nn=1 d d：表示测得本征值为d的几率。 -,例题一 任意态 求 态中 的可能值、概率及 。 解法一 可以看出 是 的共同本征函数所组成， 列表对应求解：,解法二 由 得 由 正交归一性得,例