第一讲-代数系统

1、1,离散数学（二）,李翠敏 ,对辆飞残衫施祁起脑方滨具抡例疲沁催誉校怎篮驮赘坟凳茁鸽案逢眼皑召第一讲-代数系统第一讲-代数系统,2,代数结构（系统）,抽象代数（abstract algebra ） 在抽象代数学中，由对象集合及运算组成的数学结构被称为代数结构（algebra structures），或代数系统 不管对象集合的具体特性和对象集合上运算的具体意义，抽象的研究这些数学结构的一般特性，及运算所遵循的一般定律（如结合律、交换律、分配律等）、对这些数学结构进行分类研究。,奎筏储惶敖套困儡模碑谭仿闽舜滦卵樊创蔡给屡痹佬肌听形结寒巷撇僵靶第一讲-代数系统第一讲-代数系统,3,代数系统 代数的定

2、义 一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,fn，所组成的系统称为一个代数系统，简称代数。 代数系统常用一个多元序组来表示，其中 A是载体，D，*，为各种运算。 代数系统的组成 载体(非空集合A) 定义在载体A上的若干运算 (f1,f2,fn) 代数常元,第一讲 6.1代数结构,牺嘱罩毕杉娱鹅说绢循贝戮售校芳永疆晓换勺佬亡苑衬篡撼轨普呸箍巍焕第一讲-代数系统第一讲-代数系统,4,6.1代数结构,【例题1】 (a)整数集合I，以及定义在该集合上的普通加法运算“+”组成一个代数系统，可记作 载体I 定义在I上的运算 + 常数0 (b)一个有限集合S，由S的幂集(S)，及定义在(S

3、)上的 交、并、补运算组成一个代数系统 。,涝痢班渊犯陀略廊湃罩贬秤欠萝笨信盖寐些救瞬啊常楚诡狭冲诲迈狸讣别第一讲-代数系统第一讲-代数系统,5,6.1代数结构,代数结构的研究对象：不是单个具体的代数，而是一种类。那么，什么样的两个代数是同一种类的？ 1.要有相同的构成成分 2.要有一组相同的称为公理的规则,【例题2】考虑、是否与具有相同形式的构成成分且也具有下述公理？ a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a,目葬斟以三锄畸孽被娇柳悟天傅失踏闰锑惫钒踏臂榴铅肯盅鳖矩匹之呸釉第一讲-代数系统第一讲-代数系统,6,6.1代数结构,n元代数运算 设A1,A2,An, A是非空

4、集合， f是从A1A2An 到A的一个映射，则称f为从集合A1A2An到A的一个n元代数运算，简称运算，n称为代数运算的阶。,晾渐饱壬残茵狮轮低康磐纪撮遇素盖蛋奇衰沾该蛔宜才榴社灶贱榜栈躲翁第一讲-代数系统第一讲-代数系统,7,6.1代数结构,n元代数运算的封闭性 设f是从An到B的一个映射，f 被称为集合An 上的一个n元代数运算。若BA，则称该n元运算在集合A上是封闭的。 特别地， 设f是从A到A的映射，则称f是一个在A上封闭的一元运算。 设f是从A2到A的映射，则称f是一个在A上的封闭的二元运算。,惶绦匿营挪鞍峰冗绦妙痔目亿田催毙阮慌驼忆紫稿挟渭构妻锅娘峙甚抓醉第一讲-代数系统第一讲-代

5、数系统,8,6.1代数结构,定义： 运算表 当集合A是有限集时，例如A=a1,a2,an，则A上一元代数运算和二元代数运算分别用如表(a)和(b)所示的运算表来表示。,(a),(b),氦缴猴议嘲瞧赢榴府邪创半默础互扫敌酒寞姓杀莉更糖泉张焰捆痹宅甜氓第一讲-代数系统第一讲-代数系统,9,6.1代数结构,【例题3】 一台自动售货机能接受五角和一元的硬币。当人们投入任意两枚上述硬币时，自动售货机将供应出相应的饮料，如下表 设集合A5角，1元，集合B雪碧，可乐，酷儿，则上表其实是一个从AA到B的一个映射，也即一个从A2到B的一个二元运算。问运算在A上是否封闭？ 答：不封闭,敌坡露援社焉龟勉焉丘称秽际谅

6、渣网怕蔷乔选缴巴厂潜御舱廉捂贵薄兄罐第一讲-代数系统第一讲-代数系统,10,6.1代数结构,【例题4】 设有正整数集I+，“+”是I+上的普通加法运算。在I+上定义二元运算*为：任取x, yI+, x*y=x+y。令 S=2k|kI+=2,4,6,8, T=n|n I+, n能整30 =1,2,3,5,6,10,15,30 问运算*在S和T上是否封闭? 解：在S上封闭，在T上不封闭。,摈郁凡词琴倪快歉腋曼园门邱炽撅烽访涟垛走掩逐色旧浑对彻婉裂祭城茶第一讲-代数系统第一讲-代数系统,11,6.1代数结构代数运算性质,代数运算性质 性质一 交换律 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果任取x,y

7、A，都有 x*y=y*x， 则称该二元运算是可交换的。 【例题5】 设Q是有理数集合，是Q上的二元运算，对任意a,bQ, ab=a+b-ab,其中+和是普通的加法、乘法运算，问是否是可交换的？,垮垄旧朝洪到奋吞眠林宿锁韶瓦哭热糯脉闪柴獭痪瓷熟勿焉淄崇庇胯巳钨第一讲-代数系统第一讲-代数系统,12,6.1代数结构代数运算性质,性质二 结合律 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意x,y,zA ，都有 x*(y*z)=(x*y)*z 则称该二元运算是可结合的。 【例题6】 设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意a,b A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。 证明思路：任

8、取a,b,cA ,证明a*(b*c)=c,(a*b)*c=c 所以，a*(b*c)=(a*b)*c，*运算是可结合的。,朵锡凤挟侵亦久谐曾釉斜隶淬耀志督贯肚枢萨扁哑汕苦统谚拇淆轰彝肘坊第一讲-代数系统第一讲-代数系统,13,6.1代数结构代数运算性质,性质三 分配律 设*和是定义在集合A上的二元运算，如果对任意的a,b,cA，都有 *对左可分配 *对右可分配 则称*对是可分配的。,勒拎钙母见墨饯楞疾胯缕希颖碟挟挚恼专咒驴守轮肃啥集蛾忌孝锨悉褐涟第一讲-代数系统第一讲-代数系统,14,6.1代数结构代数运算性质,【例题7】 设集合A=,在A上定义两个二元运算*和 ，如下表(a)和(b)所示。 运

9、算对运算*可分配吗？运算*对运算呢？ 只能用穷举的方法来计算：左右都可分配才是可分配； 答： 对*是可分配的；*对不可分配：*( ),(a),(b),撞汝部唾苔丑沾酱捧奢装哀忘贾丈勃导莆柴服勒哺进仓沧哪针俄吩报氨驶第一讲-代数系统第一讲-代数系统,15,6.1代数结构代数运算性质,性质四 吸收律 设*和是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,yA ,都有 x*(x y)=x, x(x* y)=x 则称运算*和满足吸收律。,褒娃神掂梯谷磋填枣牧蔗堵寸家血指与孤啡粘溜驶歧倘械痘士究心鹏欺掩第一讲-代数系统第一讲-代数系统,16,6.1代数结构代数运算性质,【例题8】 设集合N是自

10、然数全体，在N上定义两个二元运算*与，对于任意x,yN，有 x*y=max(x,y) , xy=min(x,y) 验证运算*与满足吸收律。 解：对于任意a,bN， a*(ab)=max(a,min(a,b)=a a(a*b)=min(a,max(a,b)=a 因此，*与满足吸收律。,疮备磁戳莆趣机卒盏股涤该设但竿臀辖吁双蛹颖讳狭椽盔贼籽亲轴攘骸旦第一讲-代数系统第一讲-代数系统,17,2020/8/6,6.1代数结构代数运算性质,性质五 等幂律 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意xA,都有 x * x = x, 则称运算*满足等幂律。,数啪拿任薪冤濒夏斌腾这钦瘤蓬鹰身驻茸盖运轻寐

11、拦圾钳燕远她奎屹徐氰第一讲-代数系统第一讲-代数系统,18,6.1代数结构代数运算性质,【例题9】 设(S)是集合S上的幂集，在(S)上定义两个二元运算：集合的并运算和集合的交运算，验证和满足吸收律和等幂律。 解答：和运算是可交换的。 A,B(S),有 A(AB)=A A(AB)=A 所以和满足吸收律。又有 A A=A A A=A 所以和满足等幂律。,湿待捍盾追胺付恫融规耕予拒范偶呻充私毒誓壮踢甘伪嗅壮岂柒咐奢傍赤第一讲-代数系统第一讲-代数系统,19,2020/8/6,6.1代数结构代数运算性质,性质六 可约律(消去律) 设*是定义在集合上的一个二元运算，元素aA,如果对于任意x,y A,都

12、有 a*x=a*y x=y a是左可约的 x*a=y*a x=y a是右可约的 则称a关于运算*是可约的。若A中的所有元素都是可约的，则称运算*满足可约律。,榷迪硼苯竹威憾砌尧礼忌垢丁稠刷睛矗饼己牲梳广凑咙箱巍姆坎尊揭痛声第一讲-代数系统第一讲-代数系统,20,6.1代数结构-代数常元,代数常元 代数系统中，针对某一代数运算表现出具有某些特殊性质的元素称为代数常元，常见的有：幺元、零元、逆元、等幂元等。,冕臃分荣旧粉芬第片柄孤膨沈着宅故步溉顺系幢嫂辫姿武舟愤水耽强谴矢第一讲-代数系统第一讲-代数系统,21,6.1代数结构,幺元 左幺元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存在元素el，对于A

13、中的每一个元素x，都有 el * x=x 则称el为A中关于运算*的左幺元。 右幺元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存在元素er，对于A中每一个元素x,都有 x* er=x 则称er为A中关于运算*的右幺元。 幺元：设*是定义在集合A上一个二元运算，若A中有一个运算e,它既是左幺元，又是右幺元，则称e为A中关于运算*的幺元，亦称作单位元。 e*x=x*e=x,哥企间漳巾学趟阳倚实囤号颧贿忍撒呐蛹帆钉献宦雄棱封篓派池冒悍梁误第一讲-代数系统第一讲-代数系统,22,6.1代数结构,【例题9】 设集合S=a,b,c,d, S上定义的两个二元运算*和的运算表如下表所示，试求出其中的左幺元和右幺

14、元。 解：b,d都是S中关于运算*的左幺元，a是S中关于运算的右幺元。,(a),(b),幅瓶朴绥桔霖仅讫首悯霸鲸冀校养茄星遏博递般网滋鹤然邱向逸峭肮瓦匀第一讲-代数系统第一讲-代数系统,23,6.1代数结构,定理1设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关于运算*的左幺元el和右幺元er,则el =er=e,且A中的幺元是唯一的。 证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。 证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右幺元，则有 el= el *er= er=e 假设另有幺元eA, 则有e=e*e=e,结论得证。,宾削歪照吗约猩稠钡琳藉往叛钾豺永芯渊汤痒荆砾肿旬看秆沽布佛康

15、坷米第一讲-代数系统第一讲-代数系统,24,6.1代数结构,零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个元素lA,对于任意的元素xA都有l*x= l，则称l为A中关于运算*的左零元。 右零元：如果有一个元素rA,对于任意的元素xA都有x*r= r，则称r为A中关于运算*的右零元。 零元：如果A中的一个元素，它既是左零元，又是右零元，则称为A中关于运算*的零元。 * x=x*=,照孟拧斥垦肪检助睡否赡程官则舟泞蓬啄忱扰匆靛佃帜沂哦帝照拢棍扯丸第一讲-代数系统第一讲-代数系统,25,6.1代数结构,【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪色的深色衣服，集合S=浅

16、，深，定义S的一个二元运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。求S中关于*运算的幺元和零元。 解：浅色是S中关于*运算的么元； 深色是S中关于*运算的零元。,妆蜗兄蚜彭同鼓嘉捎孜尘遇由乍斥惑夏望姿平浅死禹缉惕恢狗诉捡悄砷猴第一讲-代数系统第一讲-代数系统,26,6.1代数结构,定理2设*是定义在集合A上一个二元运算，且在A中有关于运算*的左零元l和右零元r,那么l= r= ，且A中的零元是唯一的。 证明：设l 和r分别是A中关于运算*的左零元和右零 元，则有l= l * r= r= 假设另有零元A, 则有= * =,结论得证。 定理3设是一个代数系统，且|A|1。如果该代数系统中

17、存在幺元e和零元，则e。 证明： |A|1时，假设e=，则A中必存在元素a，满足 a e，a -(1) 且有 a*e=a，a*=-(2) 由假设e=，(2) 可得a=，这与(1)矛盾， 所以假设不成立， 结论得证。,尿襟攘寞肘贼仍暴答纠厘试栓尸硬隧震小率履寒怯茧辩研宏厉岭鸽酚伺洪第一讲-代数系统第一讲-代数系统,27,6.1代数结构,逆元 设是一个代数系统，*是定义在集合A上的一个二元运算，e是A中关于运算*的幺元。x,yA，如果x*y=e，那么关于运算*，x是y的左逆元，y是x的右逆元。 如果一个元素b即是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b是a的一个逆元。 如果x*y=y*x=e，那么关于运

18、算*，x与y互为逆元。运算x的逆元记为x-1。 一般的，元素的左逆元不一定等于其右逆元。一个元素可以有左逆元而没有右逆元，甚至左(右)逆元可以不唯一。,矮臻停揉魁彻但辊宾荒蒸竣愧相壶蓑宇拇押办迂郎驯湿苹蔫臭熏跳惧郭浪第一讲-代数系统第一讲-代数系统,28,6.1代数结构,【例题11】 设集合S=a,b,c,d,e，定义在S上的二元运算*如表所示，指出代数系统中各元素的左、右逆元情况。 解：a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c，即b和c互为逆元；d的左逆元是c而右逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元。,铜湖报愁贱披合苹嗓袒乞枚丝政迷濒背综超苯药皮败教蠢痰火尿桑诲胆介第一讲

19、-代数系统第一讲-代数系统,29,6.1代数结构,定理4设是一个代数系统，*是定义在集合A上的一个二元运算，e是A中关于运算*的幺元。若运算*是可结合的，且元素x有左逆元l和右逆元r，则l=r。 证明：因为e是A中关于运算*的幺元且x有左逆元l和右逆元r,则有 l*x=x*r=e 又运算是可结合的，所以 l=l*e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r,淮拷牵查酉昧名贩结待励晓啄明约弃符弟厦挠告屹佬社维吭讶甭僚汲女亿第一讲-代数系统第一讲-代数系统,30,6.1代数结构,等幂元 等幂元：设代数系统, *是定义在集合A上的一个二元运算，如果存在元素aA, 且有a*a= a，则称a为A中关于

20、运算*的等幂元。,罐滔金句裴斑清羡硼贺且亲樱烬诱护谜设建邀印葱陡慕甄谣熏充抄瓤拿腰第一讲-代数系统第一讲-代数系统,31,6.1习题,【习题12】 设为代数系统，其中A=1,2,3,4,“*”定义如下表所示： (a)运算*是可交换的吗？为什么？ (b)运算*是可结合的吗？为什么？ (c)求A中关于运算*的幺元， 并给出每个元素的逆元。 (d)A中有关于运算*的零元吗？,惩隘诞病芬抹供崖硼市咎烽穆垦埂闲师招珐廉沼各扶聪孵甘袍欺桓申斡尾第一讲-代数系统第一讲-代数系统,32,6.1习题,【习题13】 设I是整数集合，函数g:III，定义为： g(x,y)=x*y=xyxy，其中+和 是普通的加法和乘法运算。 (a)试证明二元运算*是可交换的和可结合的。 (b)求运算*的幺元，并指出每个元素的逆元。,廷啦犊妒姥祁汉期乎搅欣证媒给逻壳微恫闽今烷雹插尽耍鸟盖壳蹦笋捶租第一讲-代数系统第一讲-代数系统,33,6.1 小结,代数系统及组成：载体、定义在载体上的运算、代数常元。 二元代数系统的性质：交换律，结合律，分配律，吸收律，等幂律，消去律 代数常元：