第6章-相关与回归分析

1、第六章 相关与回归分析,第一节 相关与回归分析的基本概念 第二节 一元线性回归分析 第三节 多元线性回归分析 第四节 非线性回归分析,谭臃疡舜茨囤可奇瞳坏津粕念络朋晚贫驮程硫袄旗祁辰蓖匡兼旭颂廷砾识第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,第一节 相关与回归分析的基本概念,一、函数关系与相关关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类： 确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。 统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。,例4.3： 函数关系： 圆面积=F(, 圆半径)=圆半径圆半径 统计依赖(相关)关系： 农作物产量=F(气温，降雨量、阳光、施肥量）,译坎蛆曝

2、诸庸叶敢欣店吓咨缮旷胎昼苯信陈帖钓汛凝员豌假呕纪续漂七喻第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,二、相关关系的种类,（一）按相关程度划分 完全相关：Y的变化完全由X的变化确定 不相关：Y与X不相互影响，各自独立变化 不完全相关： Y与X相互有一定程度的影响,（二）按相关方向划分 正相关： X与Y同时变大或变小 负相关：X变大，Y变小（或反过来）,瑶扑硝狙伞茎椽株蓄鸡呛氢邱怠呆从心哭深敲袖弊锦遵诲矛沾险荔淫蚊胯第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,（三）按相关形式划分 线性相关：Y与X的关系大致呈现为线性关系 非线性相关：Y与X的关系不呈现线性关系,（四）按变量多少划分 单相关：两

3、个变量间的关系 复相关：一个变量对两个或两个以上变量的相关关系 偏相关：在一变量对多变量的相关关系中，假定其他变量不变，两变量的相关关系,委衍轮影恋婉掘醋涝遏乍织晚镁嗅他锅认羌侨碧约道钉近梳佃瘁封榆痴剧第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,（五）按相关性质划分 真实相关：两变量确实存在内在联系 虚假相关：两变量的相关只是表面上的，实质上并没有内在联系。,二、相关分析与回归分析,相关分析：研究现象（变量）间相互依存关系的密切程度的方法论； （线性）相关系数：当两变量间线性相关程度的测度指标 总体相关系数：,样本相关系数：,噎冈理潦劝审脐蛰糯丁吐硅傲钱险牢摈侥温硒后桌缮裕昨闪捏费运脓菇搔第

4、6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,回归分析：通过数学模型，研究一现象（变量）对其他现象（变量）依赖关系的具体形态的方法论,如：消费支出=f (可支配收入）,注意：,不线性相关并不意味着不相关； 有相关关系并不意味着一定有因果关系； 回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系。,吼睬士楔褥蹈臂恬靡蔚好磐夏夸其耸希爽合屑蔚悟委馈迂粟掘旷回冉摘孽第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是；,相关分析则对称地对待任何（两个）变量

5、，两个变量都被看作是随机的。 只有对有因果关系的变量，才更多地做回归分析,宇逛叹谍国候埂踞业膛俊荣秋洪州鞘己搜使庚切狱主计谋吃盛爵港刁裁必第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。,其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。 前一个变量被称为被解释变量（Explained Variable）或应变量（Dependent Variable）后一个变量被称为解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。,之禁沁针柒古诬很贱测档穴撬

6、狙硅翼鹏云沦仅次艘韭执专某振电几经蝗旗第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,例4.3 一个10户居民的可支配收入 (百元)与消费支出(百元)的统计资料按升序排列入下表（相关表）： 消费支出 15 20 30 40 42 53 60 65 70 78 可支配收入 18 25 45 60 62 75 88 92 99 98,样本（线性）相关系数：,消费与可支配收入的相关图,闪伯挞苫松浮昏逾童抬闽捻硫臆腿搂世洞矽洽歇扼澎器扦环官弯迅田怠乒第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,在上述收入-消费例中，经济理论认为居民消费支出是可支配收入的函数，即可支配收入(X)的变化是消费支出(Y)变化

7、的原因，因此，可得如下回归模型： Y = -0.208 + 0.718 X,从回归模型可知：居民每增加1元的可支配收入，将增加0.718元用于消费支出。 因此，如果估计其中一位居民可支配收入提高到100元，则可预测其消费支出将上升到71.556元。,粹拢载三烫沥揉梯峙腰哀出伸羞友具恬围伺臣走贼览慧狱皆河鹰日楷硒闯第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,一、一元线性回归分析 （一）总体回归模型与总体回归函数 回归分析同样是要考察现象总体的变化特征与规律，即变量总体间的具体依赖关系。它是通过总体回归模型来表示的： Yt=1+2Xt+t 式中，Y称为被解释变量，X称为解释变量； i 称为总体未

8、知参数，也叫总体回归系数， t称为随机误差项，或随机干扰项，代表了未列入模型中其他所有因素对Y的综合性影响。,第二节 一元线性回归分析,焉羊腆躲券绒啪头冒怒惯意伟车钩揉则眺末锚枕请雇羹怒涩由漂飘凑哮氯第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,为了简单，对总体回归模型来说，记Y的条件期望为： E(Yt|Xt)=1+2Xt,即，对所研究对象的总体来说，对给定的X，Y平均说来与X呈线性对应关系，即Y的期望值是X的线性函数，该式称为总体回归函数(Population Regression Function, PRF)。,因此，Y的实际观测值与其期望值之差，就是随机误差项 t=Yt-E(Yt|Xt)

9、,绢披硷摆板萧窜蔬酿宏痞辖禹互悼远媒拳韭瘁短镍肝巫痔敬锤敖狈参劈免第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,总体回归函数事实上是未知的，因此需要利用样本信息对其进行估计。 利用样本资料，通过样本回归模型,（二）样本回归函数与样本回归模型,et是Y的实际观测值与其样本函数相对应点的离差，称为残差。,可估计出样本回归函数(Sample Regression Function, SRF),坯袜褥唐松溉厂粱知双盼衔辉灸左健蒋嚎鸵夸栏撂汞参祟青姑鹰倒咖亮犁第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,如果 是 的良好的估计，就可用样本函数代替总体函数而研究Y与X间的关系及变化规律。,因此，回归分析的

10、主要任务就是要采用适当的方法，充分利用样本信息，使估计的样本函数尽可能地接近于真实总体回归函数。,搓借暂种加准冻镁某霄俄腊走卢胞钮倾宪紫硕伴逛浦尤钵戎荡奔颈系佛屏第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,（三）随机扰动项的标准假定,随机误差项t无法直接观测，为了进行回归分析，需对其作出如下假定： 假定1：零均值：E(t)=0 假定2：同方差：Var(t)=E(t2)=2 假定3：无序列相关：对任何ts， Cov(t,s)=E(ts)=0 假定4：自变量是给定变量，与随机误差项线性无关； 假定5：随机误差项服t从正态分布。,兄漓把化椭泉硼城变策浙炊豢抄悔挡钻摧颤扑兜略肾尾掇令宇为虏拟涟噎第6

11、章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,（四）一元线性回归模型的估计,回归模型的估计要求找到一种方法，使估计的样本回归函数能够尽可能地接近总体回归函数，从而作为总体回归函数的代表来描述变量间的具体相关关系。 方法有多种，最小二乘法（最小平方法）是其中最简单、适用性最广的一种估计方法。 最小二乘法的基本思想： 让所寻找的样本回归函数（线）上的点尽可能地接近实际观测点，即样本回归线上的点与实际观测点的离差平方和最小。 可以证明，在总体随机扰动项的上述假设下，最小二乘法找到的样本回归函数是最优的（样本函数的系数满足线性性、无偏性、最小方差性）。,创厨鞋派厅私笨寒麦睡捷吸淮肺悼户砚荆抄俗话止首办胺钦

12、使浪联寿驭黄第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,1、样本回归函数系数的估计,在上述收入-消费支出例中，,解此方程组得：,僳铝值怖藩野诵笺钙悯弯乐忽屈猫识抑匹催殃犯局抗哮嚣恳桥庶铬肠扫熏第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,为了检验样本回归函数的精度，还需估计总体随机误差项t的方差 2。可以证明：它的一个无偏估计量为,2、总体方差的估计,在上述收入-消费例中，,傍趟礼件弥悠漆惹肖铲钧耘讼喉屯卑铬疼咽按挖沧价锑泼腊馅驻袄析窍海第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,3、最小二乘估计量的性质,（1）线性性,可以证明，用上述最小二乘法估计的样本回归函数的系数（称为最小二乘估计量

13、），具有如下良好的性质：,（2）无偏性,（3）有效性（最小方差性）：在所有的样本系数估计量中，最小二乘估计量方差最小。,廊点褪涧帝缅拐悄契周犊化玻肤麦剥究创夕落寄撕剑阴黔狄范知迭赦顾裙第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,线性回归模型的检验分二大类：,统计检验,计量经济检验,从统计学的角度检验 所估计的样本回归函数的有效性,从基本假设是否成立这一角度检验 最小二乘估计法的适用性及其改进,拟合优度检验,显著性检验,（五）一元线性回归模型的检验,本课程只学习统计检验： 1、拟合优度检验 拟合优度检验主要用来检验样本回归函数与实际观测点的“接近”程度。,淋猾展怯柒掏撅贰颠酚谁饰再训情丢栏佃诌

14、籽抉煮瞬扰抬拯越两阻咐聊蛛第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,拟合优度检验是通过对Yt的样本点距其样本均值的离差平方和的分解来进行的。,即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。,从图中可以看出：,这时可认为Yt 的样本点距其样本均值的离差全部来自回归线，而与“残差”无关。,炮搏饲碧受凤堕袖兹醚巡藩酗习逻袋颖溅葱私蓖己促荡拔浸邮章利简沈座第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,对全部样本点来说，可以证明：,总离差 平方和 SST,回归平方和 SSR,残差平方和 SSE,来自样本回归线,来自残差,回归线上的点与样本均值离差的平方和,可决系数(coefficient of de

15、termination)的取值范围：0，1，越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高。,在给定样本中，SST不变， 如果实际观测点离样本回归线越近，则SSR在SST中占的比重越大，因此样本拟合优度可用下面的可决系数测度：,实际观测点与回归线上的点的离差的平方和,牡政伶俏纬旅吟壮套洱棘乘过莎割时媒王尸喂域贯肿眯砖顶獭似次嗡词圾第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,在上述收入-消费支出例中，拟合优度为： r2=1-100.58/413.1=0.9757,2、显著性检验,显著性检验包括,对各回归系数的检验,对整个回归方程的检验,认诀僚窍凉茧散啸芳痪拖协荆察黎埋稳曙束鲁泡厨员芦蒂您督

16、墨硕迫茧赤第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,对各回归系数的显著性检验主要是要通过样本考察总体回归系数的“可能取值”。 回归分析中，主要是针对总体参数是否为某一值（一般设为零）来进行显著性检验的（为什么？） 由基本假设第5条及样本统计量性质第1条知，样本系数服从正态分布：,（1）样本回归系数的显著性检验,沛粪座泼别锋岳肠县好豺举赃茄霜筛茎弊隶酥啸碟栏滇衡叠刽诌矩尉骏锁第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,其中，,因此，关于总体参数是否为某一数值的检验统计量为 t 统计量（小样本）或Z统计量（大样本）。t统计量为：,在显著性水平=5%，自由度=10-2=8下， t 统计量的临界

17、值=2.306（双尾） 判断：可支配收入前的参数2是显著不为零的，说明可支配收入可以作为消费支出的一个重要的解释变量。,收入-消费支出例中，在参数为0的原假下，则,慕又定抛婿乘忧幂铆东售峦闪喜揪端蔷多眺仅浦闺远你艾贮喊乎亚疹宦刮第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,整个回归方程的显著性检验主要是要考察所选择的变量是否从总体上对被解释变量起线性作用，即各解释变量前的参数是否不全为零。 如果总体上线性关系成立，则Y的总离差平方和中，可由该线性回归函数解释的部分（系统性因素）所占比重较大，残差平方和（随机性因素）所占比重较小，从而使得回归平方和与残差平方和的比值较大。 因此，整个线性关系的检

18、验是通过如下F检验进行的,（2）整个回归方程的显著性检验,其中，k表示模型中回归系数的个数，或称为解释变量的个数（包括常数项），n为样本容量。,诬抑轨罩泻农距破学抖静啡惫壹孜却借奔菌麓放二缺女以状服抵辽毗蛰墙第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,在一元回归分析中，只有一个解释变量，因此F检验与 t 检验本质相同。,在上述收入-消费支出例中： F=320.81 在5%显著性水平下，自由度为（1，8）的临界值为5.32。 因此，可支配收入与消费支出的线性关系是显著的。,咸贝浸糠血烯莉共汽薯剐烫哉瞪郡渔迫凳蹈委富处纳填琢衣岛良巫缄饮异第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,(六）一元线

19、性回归模型的预测,当X的取值在其样本上、下界范围内时，预测称为内插预测或事后预测； 当X的取值在其样本上、下界范围外时，预测称为外推预测或事前预测。,1、回归预测的基本公式,根狂恍涉俞疲腿忿啮糊周疤衬葛荒剁敬屯一跨财持进争阔衔香重征西魂卵第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,2、预测误差,由于样本回归函数系数的随机性，由回归函数求得的预测值也是随机变量，因此，它与真实的函数值之间存在误差。误差来源大致有： （1）模型本身中的误差因素造成的误差（可用的方差表示） （2）回归系数的估计值同其真值间的误差造成的误差（可用系数估计量的方差表示） （3）自变量的设定值同其实际值的偏离造成的误差

20、（4）未来时期，总体回归系数发生变化（结构变化）造成的误差。,后两类不属于回归方程本身的问题，无法控制；因此用回归模型进行预测的误差一般指前两类。,袱琵挽苯沸塞哭胀揖立芬燃嘴酥正几澜淹愉吵颊盾侍营深赵酿赦蓝棒次镜第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,设Xf给定时Y的真值为Yf： Yf=1+2Xf+f,还可以证明，上述点预测即为最优线性无偏预测,上式即为预测的残差。可以证明：,则有,由于点预测为：,柿挖晒绑塞秉俺畜豌辽呐奥晌样镣河向胶流呢默鹊织鸥绒焊赴虾寂桩括庐第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,在标准假设下，ef 服从正态分布，,3、区间预测,在总体方差2 未知，用其无偏估计

21、S2替代时，可以证明,于是可得Yf 的置信度为（1- ）的区间预测：,绦钒矣另否耘响客召奸涪杰钵证彰妒侍乃帜咯杆擦浩醚孜疙梧蔗墩酬乔宇第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,（1）置信区间以样本回归线为中心，呈中间小两头大的对称喇叭型，在X的均值附近，置信区间最窄，因此，预测精度随着距X均值点远离而降低。,区间预测的特征（见图）：,（2）当样本容量 n 保持不变，t 统计量的临界值随着置信度的增大而增大，从而使预测精度下降,仿农刑钱阜僳君梢肿斋茶妥水策檀筹氟辆造话龟交怠绞任沼欧妒甥类厉痢第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,（3）在其他条件不变时，t 统计量的临界值及方差随样本容

22、量 n 的增大而减小，从而使预测精度提高。,在上述收入-消费支出例中，如果该区人均可支配月收入增加到100元，则居民消费支出费用会上升到71.556元。在95%的置信度下，其预测区间为,（4）当 n 足够大时（=30)，t 统计量接近于正态分布，从而可用正态分布的 Z 统计量进行区间预测。这时，预测的残差的方差接近于常数，从而使预测区间接近于两条平等于样本回归线的直线。,送叹基恼付歧筑窟鞘比德漱念蝗慧碾品书吮攻斑仍床桶啡府咎司袖纤狮鹤第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,一、多元线性回归模型 1、总体多元线性回归模型：,第三节 多元线性回归分析,2、标准假设： 一元回归模型中的 5 条

23、，外加 假设6：各自变量X之间不线性相关； 假设7：如果各X是随机变量，则与随机干扰项 不相关。,勋翅效大已碱傅柯江卓甄麓体上轰捆挤涎坑其慨屁植藕陷渠柬暴婶蜘邻券第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,其中，i表示当其他自变量保持不变时，Xi变化一个单位所引起的被解释变量Y平均变化的量，因此也称为偏回归系数。 4、样本多元回归模型,3、总体多元回归函数：,同一元回归分析一样，多元回归分析就是要通过样本回归模型估计样本回归函数，并用样本回归函数“近似”代替总体回归函数。,其中，et为样本残差，它可看成是总体回归模型中随机干扰项的估计量。 5、样本回归函数,剃蜂假啄羹牢同涌超贵烂阔坡蛀块盔浚

24、芽埃炎另漳渤漆烟疽雅堵晶饵桑吧第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,（一）回归系数的估计 多元线性回归函数的估计仍用最小二乘法，即寻找一组样本回归系数，使Y的样本估计值与实际观测值间的残差平方和最小：,二、多元线性回归模型的估计, ,俏充恢姬贿临坤裁霞调荔尝彝柱殷涨闲现瘩抗导罕罩湛瓣妨营颁咖翼饶菲第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,根据第6条假设，各X之间没有高度线性相关，则XX的逆存在，于是：,其矩阵形式为：,其中，,注：设,样本回归模型的矩阵形式：,则：总体回归模型的矩阵形式：,蹋婿何瑚则维撒不泡炸速拟莽筏爸书绸瞒微惨藕立锦澄爸蝴莲态墨啦嫉岳第6章-相关与回归分析第6章-

25、相关与回归分析,其中Time是一时间趋势变量，引入该变量是想同时关心随着时间的推移，居民消费有怎样的趋势（上升或下降？），同时也是为了避免GDP 与C之间有共同变化趋势时进行回归所出现的谬误相关（spurious correlation）。,例4.4 研究19902000年中国居民消费与GDP的关系，采取如下的模型：,表4.3 19902000年中国居民消费C与GDP统计数据（单位：亿元）,捻室蒜戏叛灾攀弹梁涟轻州汞批奶录肇惭浩轰秸趾衅残馅拢炯灶眩挥额苔第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,可以看出，在90年代： 在其他变量（这里主要是时间）不变时，GDP每增加1亿元，居民消费平均增加

26、0.42亿元； 而在GDP保持不变时，平均居民消费支出估计每年增加约432亿元。,对应于上述总体回归模型的样本回归模型为：,回归结果如下：,羹遍庐挠破迫缎举邹鄙会烬道擂囚附精欣铱瘪叉骏萍帧皖岗肺币圣全万蔗第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,（二）总体方差的估计,与一元线性回归分析一样，未知总体回归模型中随机干扰项的方差2可由样本回归模型中的残差项 e 来给出无偏估计：,在中国居民消费与GDP例中： 总体方差的估计值：S2=3245243/(11-3)=405655， 标准差的估计值：S=636.9。,恶狼凭钳婚液潦拎汹捕挥机淆塌口卫娇醇趋踊娱龟眶安沛异页疼仆戎奢吾第6章-相关与回归分

27、析第6章-相关与回归分析,可以证明，多元线性回归模型中回归系数的最小二乘估计量为最优线性无偏估计量，即满足线性性、无偏性、有效性(最小方差性)及一致性。 注意： 回归系数最小二乘估计量有如下方差、协方差矩阵：,（三）最小二乘估计量的性质,其中， 主对角线元素是各回归系数估计量的方差：,非主对角线元素为回归系数估计量之间的协方差,犯拨蹋娃时空换礼壳蚤粟打埠祟眺挡秀医辊讳吃症赐鼓乳涂职爸党浊觉皱第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,（一）拟合程度的检验 在多元线性回归分析中：仍有,三、多元线性回归模型的检验,可决系数为：R2=0.9975， 可见一元回归中的可决系数小于二元回归的可决系数。

28、,在中国居民消费与GDP关系例中，可决系数为R2=0.9979。 如果在该例中，不考虑用时间因素表示的趋势项，则可得到一元回归方程：,总离差平方和(SST)= 可由回归线解释的部分（回归平方和 SSR） +不能由回归线解释的部分（残差平方和SSE）,因此，拟合程度的优劣仍用可决系数R2表示：,糙声扣鹰颁绚外佯长鄂浊辙识史翠判氧赋潍疮倘拜卖钞肥镰薯曹她化洲栈第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,可以证明：随着方程中解释变量的增多（回归元增加），残差平方和会不断减少，而总离差平方和不变，因此，R2是自变量个数的非递减函数。,在中国居民消费与GDP关系例中，加入时间因素的二元回归，修正的可决

29、系数为,=0.9974,这样容易导致要提高拟合优度，只需增加自变量个数即可的错觉。因此，在多元回归分析中常使用修正的可决系数来评价拟合优度：,辈呜垃任闯谁嫂钨苯给缝管探钉则境欠昨剔中蹈哥抿豫聊骏刷欧脂荧肿聘第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,1、回归方程的显著性检验,回归方程的显著性检验就是要检验所估计的方程从总体上看是否是线性的，即检验“是否总体全部参数同时为零”。 仍用 F统计量进行检验：,在二元例中，F统计量值为： F =771516331/405655=1901.9 显著性水平为1%下，自由度为（2，8）的 F 临界值为8.65， 因此认为上述回归方程总体上呈线性关系。,（二

30、）显著性检验,坝元辑臭完狙谎泅孜垒旺茂认太痪史子勿瞩仪升钵汛溅愉乾宫枝查念傈乔第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,总体上线性关系成立，并不意味着每个解释变量对解释变量的影响都是显著的。对每个解释变量的影响的考察是通过回归系数的显著性检验来完成的。 回归系数的显著性检验往往也是进行总体回归参数是否为零的检验，因此使用的统计量仍为：,jj为 (XX)-1的第 j 个对角元素，S2为随机扰动项 的方差估计。,2、回归系数的显著性检验,独革幂除裕纷兰逢笛策蝗癣阎年漾阀缅矛斯视舅杠晌改舷笆呛扮貌左到尔第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,对显著性水平 =5%，自由度： 11-3 =8

31、； t 分布临界值：t/2 =2.306(双尾）,因此，只有第二个参数通过了检验，即在90年代，真正影响居民消费支出的因素是GDP（收入因素）。 因此可考虑建立不带常数项及趋势项的一元回归方程。,在中国居民消费与GDP关系例中，各回归系数的检验结果为：,但腻玩炸伞足忧寂哆缸鸵膀茹喜坤总窟真速集窝玫党遁芦淑巍速侈搐昼授第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,四、多元线性回归预测,当通过检验后建立了适当的（认可的）回归方程后，即可进行内插预测与外推预测，基本公式为：,其中，Xjf (j=1,2,k) 为给定的Xj在预测期的具体值；,在例4.4中，如果最后建立的模型为： C=0.4703GDP t: (152.23) R2=0.9975 F=4087,盐徘达优姐销俏碉揩仍戮米替重物胖他轧叫召芒烃棺商枝宛注涎做棠壹刃第6章-相关与回归分析第6章-相关与回归分析,则在2001年GDP增长率为10.6%的情况下（GDP=98618亿元，现价），,注： 1、如果仍用例4.4中二元回归模型，则可预测2001年居民消费支出为46665亿元。 2、2001年居民实际消费为45923亿元，因此一元与二元回归模型的预测误差分别为：1%与1.6%。