分类与整合的思想方法.ppt

1、专题三 分类整合的思想方法,1. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要 位置. 所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答. 实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.,专题三 分类整合的思想方法,知识概要,2. 运用分类整合思想解题的基本步骤： (1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论； (2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复

2、、不 遗漏、标准要统一、分层不越级)； (3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； (4)归纳总结：将各类情况总结归纳.,专题三 分类整合的思想方法,知识概要,3. 明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题. 分类讨论的主要原因有： (1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线所成的角等等. (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等等；,专题三 分类整合的思想方法,知识概要,(3)由

3、函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； (4)由图形的不确定性引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于 参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法； (6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等.,知识概要,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上的截距相等，则 这直线方程为（） A. x+y7=0 B. 2x5y=0 C. x+y7=0或2x5y=0 D. x+y+7=0或2y5x=0,1.C解析设该直线在x轴，y轴上的截距均为a, 当a=0时，直线

4、过原点，此时直线方程为y= x，即2x5y=0；,当a0时，设直线方程为 ，则求得a=7，方程为x+y7=0.,点评截距是很容易出错的一个概念，它实质上表示坐标的意义，有正、有负、有零三种情况，解题中，很容易将截距为零这一种情况漏掉.,专题三 分类整合的思想方法,2. 若a0，且a1，p=loga(a3+a+1)，q=loga(a2+a+1)，则p、q的大小关系为 （） A. p=q B. pq C. pq D. a1时，pq；0a1时，pq,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,2. C解析欲比较p、q的大小，只需先比较a3+a+1与a2+a+1的大小，再利用对数函数的单调性.而决定a3+a

5、+1与a2+a+1的大小的a值的分界点为使(a3+a+1)(a2+a+1)=a2(a1)=0的a值：a=1， 当a1时，a3+a+1a2+a+1，此时 loga(a3+a+1)loga(a2+a+1)，即pq； 当0a1时，a3+a+1a2+a+1，此时 loga(a3+a+1)loga(a2+a+1)即pq. 可见，不论a1还是0a1，都有pq. 点评这是一个含参数问题的处理，一般来说，有字母就要注意讨论，本题中，比较两对数值的大小，只需要比较两真数的大小，差比法中因为差的结果中含有参数，这也就引起了讨论.,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,3. 函数f(x)=mx2+(m3)x+1的图

6、象与x轴的交点至少有一个在 原点的右侧，则实数m的取值范围为（） A. 0，+) B. (，1 C. (0，1 D. （0，1）,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,3. B解析当m=0时，f(x)=3x+1，其图象与x轴交点为 （ ，0）满足题意； 当m0时，再分m0，m0两种情形，由题意得 解得0m1或m0. 综上可知，m=0或m0或0m1即m1 故选B,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,点评对于f(x)=mx2+(m3)x+1这种函数，学生在解题时，想当然地将它当作了一个二次函数来处理，忽略了m=0的讨论，一般地，最高次幂的项的系数含有字母、参数时，一定要注意讨论它与0的关系.,专

7、题三 分类整合的思想方法,考题剖析,4. 解析当a=0时，Sn=0; 当a0时，为等比数列求和. 若a1，则由求和公式得Sn= ； 若a=1时，Sn=n. 综合得Sn=,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,4. 求和Sn=a+a2+an=_.,点评由于等比数列定义本身有限制条件，等比数列求和公式是分类给出的，因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论.这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念，分为a=0和a0，第二层分类的依据是等比数列求和公式的应用条件.,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,5. 设全集U=R （1）解关于x的不等式|x1|+a10(aR); （2）记A为(1)中

8、不等式的解集，集合 B=x|sin(x )+ cos(x )=0， 若（ U A）B恰有3个元素，求a的取值范围.,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,解析 （1）由|x1|+a10得|x1|1a. 当a1时，解集是R； 当a1时，解集是x|xa或x2a.,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,（2）当a1时，（ UA）= 当a1时， UA =x|ax2a. 因sin(x )+ cos(x )=2sin(x )cos +cos(x )sin =2sinx.由sinx=0, 得x=k(kZ),即x=kZ,所以B=Z. 当（ UA）B恰有3个元素时，a就满足,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析

9、,6. 设F1，F2为椭圆 的两个焦点，P是椭圆上的一点. 已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1| |PF2|，求 的值.,分析本题考查圆锥曲线的性质.因P、F1、F2是一直角三角形的三顶点，且|PF1|PF2|，则直角顶点有两种可能性：点F2或点P，故有两解.,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,解析解法1：由已知|PF1|+|PF2|=6， |F1F2|=2 ， 若PF2F1为直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2， 得|PF1|= ，|PF2|= ，故 ； 若F1PF2为直角，则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2， 得|PF1|=4，|PF2|=

10、2，故 =2.,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,解法2：由椭圆的对称性不妨设P(x，y)(x0，y0)，则由已 知可得F1( ,0)，F2( ,0)，若PF2F1为直角，则 P( ， )，故 ；,若F1PF2为直角，则,解得P,故 = 2.,点评本题求解的结论含有多种情况或多种可能性，因此要对各种可能情况进行分类讨论.,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,7. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工， 钳工各3人，问有多少种选派方案？,分析如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C36种选法，但此时不清楚选出的钳工中有

11、几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人进行分类： （1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人.,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,解析 或：,专题三 分类整合的思想方法,考题剖析,点评排列组合问题主要是考查学生的分类讨论的能力，解答这类题时，首先要确实好分类的对象，这个题中，可以对全能工人进行分类，也可以对仅会钳工的人分类，也还可以对仅会车工的人分类，不

12、过，一般选择对象个数少的作为分类对象，这样讨论的情况相对就会少些.,规律总结,分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定. 但可以在解题时不断地总结经验. 对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立. 这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论. 常见的“个别”情形略举以下几例：,专题三 分类整合的思想方法,（1）“方程ax2+bx+c=0有实数解”转化为“=b24ac0 ” 时忽略了个别情形：当a=0时，