北京市海淀区高三数学 (2)

1、数学查漏补缺题数学查漏补缺题 说明：查漏补缺题是在海淀的四次统练基础上的补充， 题目以中档题为主， 部分题目是 弥补知识的漏洞，部分是弥补方法的漏洞， 还有一些是新的变式题， 请老师们根据学生的情 况有选择地使用或改编使用. 最后阶段的复习， 在做好保温工作的前提下， 指导学生加强反思， 梳理典型问题的方法， 站在学科高度建立知识之间的联系， 融会贯通，以进一步提升学生的分析、 解决问题的能力 为重点. 1、已知原命题： “若 a+b2，则 a,b 中至少有一个不小于 1” ，则原命题与其否命题的真假 情况是（） A原命题为真，否命题为假B原命题为假，否命题为真 C原命题与否命题均为真命题D原

2、命题与否命题均为假命题 2、在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y= x，y = x，y = x2，y = x3， y = x- 1的部分图象，则函数y= x2的图象通过的阴影区域是 （） yyyy OxOxOxOx A.B.C.D. 3、若直线 x 3cos, x 3t, (t为参数)与圆（为参数）相切，则b （） y b3sin,y 14t, A 4或6 B 6或4 C 1或9 D 9或1 4、若sin A. 3 x ，则sin2x的值为（） 4 5 1916147 B.C.D 25252525 5、定义在 R R 上的函数f (x)满足f (x1) f (x)，当 x（0，1时，f

3、 (x) cosx，设 a f (0.5)b f ( 2)c f ( 3)，则 a，b，c 大小关系是（ ） A.abcB.acb x C.bcaD.cba 6、设集合A= (x, y) y = a ，B=(x, y) y? x 数a的取值范围是 A.0, 1或y ?x+1. 若AB，则正实 1 e B. ,e 1 e C.(1,e2D.e,) 2 7、函数f (x) e x的图象是（） x y y y y 1 1 O 1 x O 1 x1 O 1 x 1 O 1 x A.B.C.D. 1 5) ) 的展开式中不含x x(R R)的项，则的值可能为（） x x A.5B.1C.7D.2 8、若

4、( (x x 2 9、函数y = sin x- 2sin xsin(x+)的图象的对称轴是. 3 10、设曲线的极坐标方程为sin21，则其直角坐标方程为. 11、以原点为顶 点，以 x轴正 半轴为始边的 角的终边 与直线y 2x1垂直， 则 2 cos_. 12、设函数f (x) sin(x)， 其中 立，则正数的最小值为_，此时，=_. 2 .若f () f (x) f ( )对任意xR R恒成 63 13、在区间1,1上随机的取两个数a，b，使得方程bx 2ax1 0有两个实根的概率 为_. 14、 从 54 张扑克牌中抽出一张， 抽到的扑克牌为梅花的概率为_, 抽到的扑克牌为 K 的条

5、件下恰好是梅花的概率为_. 15、已知向量a a，b b满足：|a a |1, |b b| 6, a a(b ba a) 2，则a a与b b的夹角为； |2a a b b| 16、某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为1:5:3，现用分层抽样的方法从 总体中抽取一个容量为 18 的样本，已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是 则该单位员工总数为_人。 17、将一张边长为12cm 的纸片按如图 1 所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下 部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型， 如图 2 放置 若正四棱锥的正视图是正三角形 （如 图 3） ，则四棱锥的体积是_cm3 1 ，

6、 28 图1图2图3 B B A A 45o 18、一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P处观测到灯 塔A,B在一直线上， 并与航线成 30角 轮船沿航线前进 600 米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西 45方向， 灯塔B在北偏东15方向则两灯塔之间的距离是 _米 19、已知点P为曲线y = x与y = aln x(a ? 0)的公共 点，且两条曲线在点P处的切线重合，则a=. 20、 如图， 函数f (x)的图象是折线段ABC， 其中A，B，C的 坐标分别为(0，4) (2 0) (6 4)，则f ( f (0) ；函 数f (x)在x 1处的导数f (1)； 函数f (x)的极值点是； 2

7、 15o P P 30o C C y 4 3 2 1 A C 6 B O12 3 4 5 6 x 0 f (x)dx= AC是O的一段劣弧，弦CD平分ACB交 AC于点 21、如图， AC于点C，延长弦AD 交BC于点B，D，BC切 （1）若B 75，则ADC _， （2）若O的半径长为 22、已知函数f (x) ex 0 5 ，CD 3，则BD _ 2 sin x（其中e= 2.718L ）. （）求f (x)的单调区间； （）求f (x)在- ,+? )上的最大值与最小值. 23、某班同学寒假期间在三个小区进行了一次有关 “年夜饭在哪吃”的调查， 若年夜饭在家 吃的称为 “传统族” ， 否

8、则称为 “前卫族” ， 这两类家庭总数占各自小区家庭总数的比例如下： A 小区传统族前卫族 比例 B 小区 比例 C 小区 比例 1 2 2 3 1 2 1 3 传统族前卫族 传统族前卫族 3 4 1 4 （）从 A , B , C 三个小区中各选一个家庭，求恰好有 2 个家庭是“传统族”的概率(用比例 作为相应的概率)； （）在 C 小区按上述比例选出的20 户家庭中，任意抽取 3 户家庭，其中“前卫族”家庭 的数量记为 X，求 X 的分布列和期望EX. 24、申请某种许可证， 根据规定需要通过统一考试才能获得， 且考试最多允许考四次. 设X 表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知X

9、的概率分布如下： X P 1 0.1 23 0.3 4 0.1 x （）求一位申请者所经过的平均考试次数； （）已知每名申请者参加X次考试需缴纳费用Y 100X 30（单位：元）,求两位申请 者所需费用的和小于 500 元的概率； （）在（）的条件下, 4 位申请者中获得许可证的考试费用低于300 元的人数记为， 求的分布列. 25、在ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c. 满足2acosC ccosA b. （）求角C的大小； （）求sin AcosB+ sin B的最大值. 26、设数列a n 的前n 项和为S n ，且满足S1= 2,S n+1 = 3S n + 2(n=1,

10、2,3L ). （）求证：数列S n +1为等比数列； （）求通项公式an； 禳 镲 b （）若数列镲睚n是首项为 1，公差为 2 的等差数列,求数列bn的前n项和为Tn. 镲a n 镲铪 27、已知抛物线x y，O为坐标原点. （）过点O作两相互垂直的弦OM,ON,设M的横坐标为m，用m表示OMN的 2 面积，并求OMN面积的最小值； （） 过抛物线上一点A3,9引圆x2y21的两条切线AB、AC,分别交抛物 线于点B、C, 连接BC，求直线BC的斜率. 28、若圆 C 过点 M（0，1）且与直线l : y 1相切，设圆心 C 的轨迹为曲线 E，A、B（A 2 uuu ruuu r 在 y

11、轴的右侧）为曲线 E上的两点，点P(0,t)(t 0)，且满足AB PB(1). （）求曲线 E 的方程； （）若 t=6，直线 AB 的斜率为 求圆 N 的方程； （）分别过 A、B 作曲线 E 的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求 1 ，过 A、B 两点的圆 N 与抛物线在点 A 处共同的切线， 2 uuu r uuu r 证：t 与QAQB均为定值. 参考答案： 1.A2.C3.A4.D5.B6.B7.A8.D 9.x k(kZ Z)10.y x11. 15. 2 51312 52 或12. 2，13.14.， 5554436 1 ， 2 7 16. 解：按分层抽样应该从老

12、年职工组中抽取18 2人，所以不妨设 39 2C 2 1 老年职工组共有n人，则甲乙二人均被抽到的概率为： 2 ，解得：n 8，所以 C n 28 该单位共有员工89 72人. 17. 64 625 18. 900300 319.2e 20.2，2，2，1221. 110, 313 2cos(x) xx 4 .22. （）解：f (x) esin xecosx xe 令f (x) 0，解得：x k,k Z Z . 4 3 因为当x? (2k ,2k+),k ? Z Z时，f (x) 0； 44 5 当x? (2k ,2k+),k ? Z Z时，f (x) 0， 44 3 所以 f (x)的 单

13、调递增区 间是(2k-,2k+),k ? Z Z， 单调递减区间 是 44 5 (2k+,2k+),k ? Z Z. 44 （）由（）知，f (x)在, 上单调递减. 33 )上单调递减，在(,)上单调递增，在(, 4444 2 32 3 44e 0,f () 0, f () e 0f () 0, f () 4242 3 2 2 e4，最小值为e4. 所以f (x)在- ,上的最大值为 22 当x? ,? )时，- 因为 ee 7 4 3 4 1 ? e 2， 1sin x11 . e 2 1sin x11 所以 2 ，即 -e . - - e2e2 2 - 3 e4；当x = - 综上所述，

14、当x=时，f (x)在- ,+? )上取得最大值f ( )= 4244 32 3 4e.时，f (x)在- ,+? )上取得最小值f (- )= - 42 23. 解： （）记这 3 个家庭中恰好有 2 个家庭是传统族为事件 M. PM 12111312311 . 23423423424 () 在 C 小区选择的 20 户家庭中, “前卫族”家庭有 5 户，X 的可能取值为 0，1，2，3. 则 03C 5 C 15 91 ；PX 0 3228C 20 12C 5C15 35 ； PX 1 376C 20 1C 5 2C 15 5 ；PX 2 338C 20 30C 5 C 15 1 ；PX

15、3 3114C 20 所以 X 的分布列为 X P 0123 9135 22876 91355157 EX 01 23 228763811476 24. 解： （）由X的概率分布可得 0.1 x 0.10.31. x 0.5. 5 38 1 114 E(X) 0.110.520.330.14 2.4. 所以一位申请者所经过的平均考试次数为2.4 次. （）设两位申请者均经过一次考试为事件A，有一位申请者经历两次考试一位申请者经 历一次考试为事件B，两位申请者经历两次考试为事件C，有一位申请者经历三次考试一 位申请者经历一次考试为事件D.因为考试需交费用Y 100X 30,两位申请者所需费用 的

16、和小于 500 元的事件为AUBUCUD. P(AUBUC UD) 0.10.120.50.50.30.320.10.3 =0.61 所以两位申请者所需费用的和小于500 元的概率为 0.61. （）一位申请者获得许可证的考试费用低于300 元的概率为 0,1,2,3,4. 3 ，的可能取值为 5 96162 1 3 2 ,P( 1) C 4 ,P( 0) 55 625 5 625 216216 2 3 2 3 3 2 ,P( 3) CP( 2) C 4 4 5 5 625 5 5 625 813 .P( 4) 5 625 4 223 43 的分布列为 01234X P 16 625 96 6

17、25 216 625 216 625 81 625 25. 解： （）由正弦定理及2acosC ccosA b得， 2sin AcosC sinCcos A sinB. 在ABC中，A B C ， AC B，即sin(AC) sin B. 2sin AcosC sinCcos A sin(AC) sin AcosC sin B sin AcosC sin B sin AcosC 0 又0 A ，0 C ， sin A 0. cosC 0. C 2 . （）由（）得C 2 ，A B 2 ，即B 2 A. sin AcosB+ sin B= cos2B+ sin B= - sin2B+ sin B

18、+1= - (sin B- 1 2 5 ) + ， 24 0 B1时，an S n S n1 (3 1)(31) 3n1(31) 23n1. n1* 故an 23 ,nN N . 禳 镲 b （）因为 数列镲睚n是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 镲a n 镲铪 所以 b n= 1+ 2(n- 1)= 2n- 1. a n n- 1 所以 b n = 2(2n- 1)?3 . 1 30+ 2创331+ L + 2(2n- 1)?3n- 1. 所以 T n = 2创 1 31+ 2创332+ L + 2(2n- 3)?3n- 1 所以 3T n = 2创 1 所以 - 2T n = 2+ 4

19、? 3 2(2n- 1)?3n. 4? 32L + 4?3n- 12(2n- 1)?3n = 2+ 2? 3n6- 2(2n- 1)?3n(4- 4n)?3n4. n 所以 T n = 2+ (2n- 2)?3 . 27. 解： （）设M(x 1,x1 ),N(x 2 ,x 2 ).由OM ON得x 1x2 = - 1. 因为 x 1 = m,所以x 2 = - 所以OM = 24 22 1 . m m + m , ON = m2+1 . 4m 2 = 1. 所以 S OMN = 1111 OM ON =2+ m2+ 2 ?2 22m2 所以 当m= ? 1时，OMN面积取得最小值 1. 22

20、 （）设B(x3,x3),C(x4,x4)，直线 AB 的方程为y- 9= k1(x- 3)，AC 的方程为 y- 9= k 2 (x- 3). 因为 直线AB、AC与圆x y2 1相切， 2 2 所以 3k 1 - 7 1+ k2 1 = 3k 2 - 7 1+ k2 2 = 1. 22 所以 4k 1 - 21k 1 + 24 = 0,4k 2 - 21k 2 + 24 = 0. 2 所以 k 1,k2 是方程4k - 21k + 24= 0的两根. 所以 k 1 + k 2 = 21 . 4 y = x2, 2 由方程组得x - k1x- 9+ 3k1= 0. y- 9= k 1(x-

21、3) 所以 x 3 + 3= k 1 ，同理可得：x4+ 3= k2. 22x 4 - x 3 3 所以 直线BC的斜率为= x 4 + x 3 = k 1 + k 2 - 6= - . x 4 - x 3 4 28. 解、 （）因为点 C 到定点 M 的距离等于到定直线 l 的距离，根据抛物线定义可知，点 C 的轨迹是以点 M 为焦点，直线 l 为准线的抛物线，其方程为：x = 4y. （）因为 t=6，直线 AB 的斜率为 2 11 ，所以直线 AB 的方程是y =x+ 6. 22 1 y = x+ 6, 由得点 A，B 的坐标分别是(6,9),(- 4,4).2 2 x = 4y 11 x，所以 抛物线x2= 4y