北京市高考模拟系列试卷(二)数学文试题

1、北京市 2012 届高考模拟系列试卷（二）数学文试题【新课 标版】 题号 得分 一二三 第卷为选择题，共 60 分；第卷为非选择题共90 分。满分 100 分，考试时间为 120 分 钟。 第卷（选择题，共 60 分） 一、本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符 合题目要求的 1 已 知 全 集U a,b,c,d,e，M a,c,d，N b,d,e， 则(CUM) N等 于 （） AbBdCb,eDb,d,e 2已知i为虚数单位，复数z A 12i ，则复数z的虚部是 1i C （） 33 Bi 22 37 3“cos”是“cos2 ”的 525

2、 1 i 2 D 1 2 （） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 uuu ruuu ruuu ruuu r 4如图，已知点O是边长为 1 的等边ABC的中心，则(OAOB)(OAOC)等于 A （） 1 9 B 11 C 96 D 1 6 5某种子公司有四类种子，其中豆类、蔬菜类、米类及水果类分别有 40 种、10 种、30 种、 20 种，现从中抽取一个容量为20 的样本进行出芽检测。若采用分层抽样的方法抽取样 本，则抽取的蔬菜类与水果类种子种数之和是 （） A4B5C6D7 |x| 6已知0 a 1，则函数y a |log a x|的零点的个数为 A

3、1 （） B2C3D4 7设a,b是两条直线，,是两个平面，则a b的一个充分条件是 （） Ba ,b ,/ Da ,b/, Aa ,b/, Ca ,b ,/ 8设函数f (x) 于（） | x|abab ，对于任意不相等的实数a,b，代数式 f (ab)的值等 x22 Bb Da、b中较大的数 Aa Ca、b中较小的数 22 9由方程x x yy 1确定的函数y f (x)在(,)上是 A奇函数 2 （） B偶函数C减函数D增函数 2 y2 1的右焦点重合， 抛物线的准线与x 10已知抛物线y 2px的焦点F与双曲线x 3 轴的交点为K，点A在抛物线上且| AK | A4 （） B8 2 |

4、 AF |，则AFK的面积为 D32C16 11从区间（0，1）上任取两个实数a和b，则方程2a x b 有实根的概率为 x A （） 3 4 B 121 CD 332 12已知g(x)为三次函数f (x) a 3x ax2cx的导函数，则它们的图象可能是 3 （） ABCD 第卷（非选择题，共90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上。 13一个多面题中某一条棱的正视图、侧视图、俯视图长度分别为a,b,c，则这条棱的长为 _。 14 已知圆C的圆心与点M(1,2)关于直线x y 1 0对称， 并且圆C与x y 1 0相 切，则圆C的方程为_

5、。 15执行如图所示的程序框图，若输入x 0.1，则输出m的值是_。 16如图的倒三角形数阵满足： 第 1 行的n个数，分别是 1，3，5，2n1； 从 第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；数阵共有n行问：当 n 2012时，第 32 行的第 17 个数是； 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分）在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若tan A3， cosC 5 。 5 （1）求角B的大小； （2）若c 4,求ABC面积。 18 （本小题满分 12 分）已知 A、B、C 三个箱子中各装有

6、2 个完全相同的球，每个箱子里 的球，有一个球标着号码 1，另一个球标着号码 2现从 A、B、C 三个箱子中各摸出 1 个球 （）若用数组(x, y,z)中的x,y,z分别表示从 A、B、C 三个箱子中摸出的球的号码， 请写出数组(x, y,z)的所有情形，并回答一共有多少种； （）如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和， 猜中有奖那么猜什么数获奖的可能 性最大？请说明理由。 19（本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥P ABCD中， 底面ABCD为菱形，BAD 60， Q为AD的中点。 （1）若PA PD，求证：平面PQB 平面PAD； （2）点M在线段PC上，PM tPC，试确定t的值，

7、使PA/平面MQB； 20 （本小题满分 12 分）等差数列an中，a1 3，前n项和为Sn，等比数列bn各项均 为正数，b 1 1，且b 2 S 2 12，b n的公比 q （1）求an与bn； （2）求 S 2 b 2 111 S 1 S 2 S n 21 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A 1,1，P 是动点，且三角 形POA的三边所在直线的斜率满足kOPkOA kPA 22 （本小题满分 14 分）已知m,tR R，函数f (x) (x t)3 m （）当t 1时， （）若f (1)1，求函数f (x)的单调区间； （）若关于x的不等式f (x) x31在区间1

8、,2上有解，求m的取值范围； （）已知曲线y f (x)在其图象上的两点A(x 1, f (x1) ，B(x 2 , f (x 2 )（x 1 x 2 ） 处 的切线分别为l 1 ,l 2 若直线l 1 与l 2 平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结 论 （）求点 P 的轨迹C的方程； uuu vuuu v （）若 Q 是轨迹C上异于点P的一个点，且PQ OA， 直线OP与QA交于点 M，试探究：点 M 的横坐标是否为定值？并说明理由 y y 3 3 2 2 P P A A 2211 1 1 O O 11 22 1 12 2 x x 参考答案 一选择题 1、C；2、B；3、A；4、D；5

9、、C；6、B；7、C；8、D；9、C；10、B；11、D；12、D； 二填空题 a2b2c2 22 13；14(x3) (y 2) 8；150；16237； 2 三解答题 17解析： （1）由cosC 52 5 sinC ,tanC 2 55 Q tanB tan(AC) 又0 B ，B （2）由正弦定理 tan AtanC 1；4 分 1tan AtanC 4 ；6 分 bcc 可得，b ；8 分sin B 10， sin BsinCsinC 由sin A sin(BC) sin( 所以ABC 面积SABC 4 C)得，sin A 3 10 ；10 分 10 1 bcsin A 6；12 分

10、 2 18解析： （）数组(x, y,z)的所有情形为： （1，1，1） ， （1，1，2） ， （1，2，1） ， （1，2，2） ， （2，1，1） ， （2，1，2） ， （2，2，1） ， （2，2，2） ，共 8 种 答：一共有 8 种5 分 注：列出5、6、7 种情形，得2 分；列出所有情形，得4 分；写出所有情形共8 种，得 1 分 （）记“所摸出的三个球号码之和为i”为事件Ai（i=3，4，5，6） ，6 分 易知，事件A 3 包含 1 个基本事件，事件A 4 包含 3 个基本事件，事件A 5 包含 3 个基本 事件，事件A 6 包含 1 个基本事件，所以， 10 分 1331

11、 P(A 3 ) ，P(A 4 ) ，P(A 5 ) ，P(A 6 ) 8888 故所摸出的两球号码之和为4、为 5 的概率相等且最大 答：猜4或5获奖的可 12 分 能性最大 19解析： （1）连 BD，四边形 ABCD 菱形，ADAB，BAD=60 ABD 为正三角形， Q 为 AD 中点， ADBQ PA=PD，Q 为 AD 的中点，ADPQ 又 BQPQ=QAD平面 PQB， AD平面 PAD 平面 PQB平面 PAD；6 分 （2）当t 1 时，PA/平面MQB 3 下面证明，若PA/平面MQB，连AC交BQ于N 由AQ/ BC可得，ANQ BNC， AQAN1 BCNC2 Q PA

12、/平面MQB，PA平面PAC，平面PAC I平面MQB MN，PA/MN PMAN111 即：PM PC t ；12 分 3PCAC33 q3a 2 12 20解析： （1）由已知可得解之得，q 3或q 4（舍去） ，a2 63a 2q q a n 3(n1)3 3n，b n 3n16 分 （2）证明：Q Sn n(33n)122 11 ()8 分 2S n n(33n)3 nn1 1112111111121 (1) (1) S 1 S 2 S n 322334nn13n1 12 分 21解析： （）设点P(x,y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOPkOA kPA得 y1y 1 ，2 分 x1

13、x1 整理得轨迹C的方程为y x2（x 0且x 1） ， 2), M(x 0 ,y 0 )，（）设P(x 1,x1 2),Q(x 2 ,x 2 4 分 uuu vuuu v 由PQ OA可知直线PQ/OA，则k PQ k OA ， 2x 2 x 1 210 故，即x 2 x 1 1，6 分 x 2 x 1 10 uuuu ruuu r 由O、M、P三点共线可知，OM (x 0 , y 0 )与OP (x 1,x1 2)共线， x 0 x 1 2 x 1 y 0 0， 由（）知x 1 0，故y 0 x 0 x 1 ，8 分 uuuu ruuu r 21)共线， 同理，由AM (x 0 1,y 0

14、 1)与AQ (x 2 1,x 2 21)(x 2 1)(y 0 1) 0，即(x 2 1)(x 0 1)(x 2 1)(y 0 1) 0，(x 0 1)(x 2 由（）知x 2 1，故(x 0 1)(x 2 1)(y 0 1) 0，10 分 将y 0 x 0 x 1 ，x 2 1 x 1 代入上式得(x 0 1)(2 x 1)(x0 x 1 1) 0， 整理得2x 0 (x 1 1) x 1 1， 由x 1 1得x0 ，即点 M 的横坐标为定值 （方法二） 2), 设P(x 1,x1 2),Q(x 2 ,x 2 1 2 1 2 12 分 uuu vuuu v 由PQ OA可知直线PQ/OA，

15、则k PQ k OA ， 2x 2 x 1 210 故，即x 2 x 1 1，6 分 x 2 x 1 10 直线 OP 方程为：y x 1x ；8 分 (x 1 1)21 x 1 2，直线 QA 的斜率为： x 1 11 直线 QA 方程为：y 1 (x 1 2)(x 1)，即y (x 1 2)x x 1 1；10 分 11 ，点 M 的横坐标为定值12 分 22 22解析： （） （i）因为f (1)1，所以m 1，1 分 联立，得x 则f (x) x 11 x33x23x， 而f (x) 3x26x3 3(x1)2 0恒成立， 所以函数f (x)的单调递增区间为(,)4 分 （ii）不等式

16、f (x) x31在区间1,2上有解， 3 即 不等式3x23xm 0在区间1,2上有解， 即不等式m 3x23x在区间1,2上有解， 等价于m不小于3x23x在区间1,2上的最小值6 分 因为x1,2时，3x23x 3(x)20,6， 所以m的取值范围是0,) （）因为f (x) x3的对称中心为(0,0)， 而f (x) (xt)3m可以由f (x) x3经平移得到， 所以f (x) (xt)3m的对称中心为(t,m),故合情猜测，若直线l 1 与l 2 平行，则点A与点 B关于点(t,m)对称 1 2 3 4 9 分 10 分 对猜想证明如下： 因为f (x) x t m x33tx23t2x t3 m， 所以f (x) 3x26tx 3t2 3(xt)2 ， 所以l 1 ，l 2 的斜率分别为k 1 3(x 1 t)2，k 2 3(x 2 t)2 又直线l 1 与l 2