北京朝阳高三一模数学(文科)试题及

1、2015 年北京朝阳高三一模数学文科试题及答案 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（文史类）数学试卷（文史类） 20154 （考试时间 120 分钟满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110分）两部分 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 4040 分）分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 (AUB) （1）已知全集U a,b,c,d，集合 A a,b,B b,c，则 U等于 AbBd （2）已知命题 p:xR R ，sinx 1，则 A p:xR R ，sinx 1B

2、p:xR R , , sinx 1 C p: Ca,c,dDa,b,c x 0 R R , , sin x 0 1 D p: x 0 R R ， sin x 0 1 2y 2px(p 0) 的焦点与双曲线（3）若抛物线 x2 y2 2 开始 的右焦点重合，则p的值为 A 2 B2 D 2 2 （4）如图所示的程序框图表示的算法功能是 A计算 S 123456 的值 B计算 S 12345 的值 C计算 S 1234 的值 C4 S 1,t 2 t t 1 S St S 100? 否 输出 S 结束 第（4）题图 是 D计算 S 1357 的值 （5）已知x 1 log 1 2， 3 1 2x

3、2 2 ， x3满足 (1)x3log x ，则 33 3 Ax 1 x 2 x 3 Bx 1 x 3 x 2 Cx2 x 1 x 3 Dx3 x 1 x 2 f (x) 2sin(x )cos(x ) 66 图象的一条对称轴方程是（6）函数 52 x x x x 6 B. 3 C. 12 D. 3 A （7）已知实数 x ， y 满足 小值为 2x y 0, 2x y 0, 0 y t, 其中t 0若 z 3x y 的最大值为 5，则 z 的最 5 A 2 B1C0D1 （8）已知边长为 3 的正方形 ABCD与正方形CDEF 所在的平面互相垂直，M为线段CD 上的动点（不含端点） ，过M作

4、 MH/DE 交CE于H，作 MG/AD交BD 于G，连 结GH设 CM x(0 x 3) ，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥 CGHM 的 体积 y 与变量 x 变化关系的是 y yy y O O3 3x xO O3 3x x A y y B y y O O3 3x x O O3 3x x CD 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110110分）分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 1i （9）i为虚数单位，计算1i= a a 与b b的夹角为60， b b 满足 a a b b 1 ，（10） 已知平面向量a a， 则 a a(a

5、a b b) 22C :(x2) (y 2) 8 与 y 轴相交于 A,B 两点，则（11）圆 1 正视图 1 侧视图 弦 AB 所对的圆心角的大小为 （12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形， 则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积 俯视图 是 第（12）题图 （13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额， 每次收入不超过 4000 元，定额减除费用800 元；每次收入在4000 元以上的，定率减除 20%的费用.适用 20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为： （1）每次收入不超过 4000 元的：应纳税额=（

6、每次收入额800）20%（130%） （2）每次收入在 4000 元以上的：应纳税额=每次收入额（120%）20%（130%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280 元，这个人应得稿费(扣税前)为元 （14）记x2 x1为区间 x 1,x2 2,a ( a 0 )，其值域为的长度已知函数 y 2 ， x x m,n ，则区间 m,n的长度的最小值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （15） （本小题满分 13 分） 在ABC中，A 6 ，cos B ，BC 6 3 3 （）求AC的长； （）求ABC的面积 （16） （本小题满分 13 分）

7、某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校 各 10 名学生的考试成绩， 得茎叶图如图所示 （部分数据 不清晰） ： （）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 甲校乙校 32901568 2180*26* 平较高（直接写出结果） ； （）若在抽到的这 20 名学生中，分别从甲、乙两校 2*73 665 85 随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的学生， 求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校 学生成绩的概率 （17） （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱ABC C1 A 1B1C1 中，各个侧面均是边长为2的 A1B1 正方形，D为线段AC的中点 （）

8、求证：BD平面ACC 1 A 1 ； （）求证：直线AB 1 平面BC 1D ； （） 设M为线段BC 1上任意一点， 在 D 使CE DM，并说明理由 A D C B BC 1D 内的平面区域 （包括边界） 是否存在点E， （18） （本小题满分 13 分） 设数列 （）写出 a n的前n项和为 S n，且 a 1 4 ， a n1 S n， nN N. ， a 2 a 3， a 4的值； （）求数列 a n的通项公式； b n中，有 b 2 a 2， b 3 a 3，求数列 a n b n的前n项和Tn（）已知等差数列 （19） （本小题满分 14 分） x2y2 已知椭圆C : 2 2

9、1(a b 0)的两个焦点分别为F 1(2,0), F2 (2,0) ，离心率 ab 为 6 过焦点F2的直线l（斜率不为 0）与椭圆C交于A,B两点，线段AB的中点为D， 3 O为坐标原点，直线OD 交椭圆于M,N两点 （）求椭圆C的方程； （）当四边形MF 1NF2 为矩形时，求直线l的方程 （20） （本小题满分 13 分） 已知函数f (x) (x)ex，aR R （）当a 0时，求曲线 y f (x) 在点 (1,f (1)处的切线方程； （）当a 1时，求证： f (x) 在 (0,) 上为增函数； a x （）若 f (x) 在区间 (0,1) 上有且只有一个极值点，求a的取值范

10、围 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学参考答案（文史类） 2015.4 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 题号 答案 题号 答案 （1） B （9） （2） D （10） （3） C （11） （4） B （5） A （12） （6） C （7） D （13） （8） A （14） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 i 3 2 90 3 6 7 4 2800 3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （15） （本小题满

11、分 13 分） （）因为cos B 6 B(0,) ，又sin2B cos2B 1， 3 3 . 3 所以sin B ACBC 由正弦定理得， sin Bsin A . AC6 33 2 .所以 3 所以 AC 4 . 6 分 （）在ABC中，sinC sin(B60 ) oo sin Bcos60 cos Bsin60 o 13 sin BcosB 22 1336 + 23 = 23 3+3 2 6 =. 所以 S ABC 11 ACBCsinC46 22 = 3+3 2 6 = 2 3+62 .13 分 （16） （本小题满分 13 分） 解： （）从茎叶图可以看出，乙校10 名学生的考试

12、成绩的平均分高于甲校10 名学生的考 试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高 4 分 （）设事件M：分别从甲、 乙两校随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的同学，抽到的学 生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩 由茎叶图可知，甲校成绩不低于90 分的同学有 2 人，从小到大依次记为 校成绩不低于 90 分的同学有 5 人，从小到大依次记为 其中 A 1, A2；乙 B 1,B2 ,B 3 ,B 4 ,B 5 A 1 = 92, A 2 = 93,B 1 = 90,B 2 = 91,B 3 = 95,B 4 = 96,B 5 = 98. 分 别 从 甲 、 乙 两 校 各 随 机 抽 取 1

13、名 成 绩 不 低 于 90 分 的 同 学 共 有 A 1B1, A1B2 , A 1B3 , A 1B4 , A 1B5 , A 2 B 1, A2 B 2 , A 2 B 3 , A 2B4 , A 2B5这 10 种可能 其 中 满 足 “ 抽 到 的 学 生 中 ， 甲 校 学 生 成 绩 高 于 乙 校 学 生 成 绩 ” 共 有 A 1B1, A1B2 , A 2 B 1, A2B2这 4 种可能 P(M) 所以 42 105 即分别从甲、乙两校随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的同学，抽到的学生中，甲校 2 学生成绩高于乙校学生成绩的概率为 5 . 13 分 （17） （本

14、小题满分 14 分） 解： （）证明：因为三棱柱的侧面是正方形， 所以CC 1 BC,CC 1 AC, BCI AC = C . 所以CC 1 底面ABC 因为BD底面ABC，所以CC 1 BD A 由已知可得，底面ABC为正三角形 因为D是AC中点，所以BD AC 因为AC? CC1 C D B A1 O B1 C1 C，所以BD 平面ACC 1A1 5 分 （）证明：如图，连接B 1C 交BC 1 于点O，连接OD 显然点O为B 1C 的中点 因为D是AC中点， 所以AB1/OD 又因为OD平面BC 1D ，AB1平面BC 1D ， 所以直线 （）在D 10 分 AB 1 / 平面BC 1

15、D BC 1D 内的平面区域（包括边界）存在一点E，使CE DM C1 A1 M E A D C B B1 此时点E是在线段C1D上. 证明如下： 过C作CE C1D交线段C1D于E， 由 （） 可知BD 平面ACC 1A1 ， 而CE平面ACC 1A1 ， 所以BD CE 又CE C1D，BDI C1D = D， 所以CE平面BC 1D 又DM 平面BC 1D，所以 CE DM 14 分 （18） （本小题满分 13 分） （）解：因为 a1 4 ， a n1 S n， 所以 a 2 S 1 a 1 4 ， a 3 S 2 a 1 a 2 4 4 8 ， a 4 S 3 a 1 a 2 a

16、3 4 48 16 （）当n 2时， 3 分 a n S n S n1 2n12n 2n 又当 n 1时，a1 S 1 4 4, n 1, a n n 2 , n 2. 6 分所以 （）依题意， b 2 a 2 4 ， b 3 a 3 8 . 则由 b 1 d 4 b 1 2d 8 得， b 1 0b 4(n1) ， d 4 ,则n. 0,n 1, a n b n n2(n1)2,n 2. 所以 所以 因为 a n b n (n1)2n2(nN *) = . T n a 1b1 a 2b2 a 3b3 a 4b4 .a n1bn1 a nbn 0124 225326.(n2)2n1(n1)2n

17、2 ， 所以 所以 2T n 125 226327.(n 2)2n2(n1)2n3 T n 24 25 26 27. 2n2(n1)2n3 . 24(12n1) (n1)2n3 16(n2)2n3 12 . 所以Tn 16 (n2)2n3 . 13 分 （19） （本小题满分 14 分） 解： （）由题意可得 c 2, 6 c ,解得a 6，b 2. a3 2 a b2c2, x2y2 1 5 分故椭圆的方程为 62 （）由题意可知直线l斜率存在，设其方程为y k(x2)，点A(x 1, y1) ，B(x2, y2)， M(x 3, y3 )，N(x 3,y3 )， x 2 由 6 y2 1,

18、 得(13k2)x212k2x12k26 0 2， y k(x2), 所以x x 12k2 1 2 13k2 因为y 1 y 2 k(x 1 x 2 4) 4k 13k2 ， 所以AB中点D( 6k2 13k2 , 2k 13k2 ) 因此直线OD方程为x3ky0 (k 0) x3ky 0, 由 x 2y2解得y2 2 3 ，x 6 2 1,13k2 3 3ky 3 因为四边形MF uuuur uuuu r 1NF2 为矩形，所以F 2M F2 N 0， 即(x32,y3)(x32,y3) 0 所以4 x2 2 3 y 3 0 所以4 2(9k21) 13k2 0 解得k 33 3 故直线l的

19、方程为y 3 (x2) （20） （本小题满分 13 分） x x 0，f (x) x3 x2 解：函数 f (x)定义域为 axa x x2 e. （）当a 0时， f (x) xex ， f (x) (x1)ex . 所以 f (1) e, f (1) 2e . 所以曲线 y f (x) 在点 (1,f (1)处的切线方程是y e 2e(x1) ， 14 分 即 2ex y e = 0 . 3 分 x3 x2 x1 xe 2 f (x) x （） 当 a 1时， . 32 设 g(x) x x x1，则g (x) 3x 2x1 (3x1)(x1) . 2 令 g (x) (3x1)(x1) 0 得， x 11 x 3 或 x 1，注意到x 0 ，所以 3 . 0 x 1 3 . 令 g (x) (3x1)(x1) 0 得，注意到 x 0 ，得 11 (0, )( ,) 3 上是减函数，在 3 所以函数 g(x) 在上是增函数. x 1122 g( ) 0 3 时取得最小值，且 327 .所以函数 g(x) 在 所以 g(x) 在 (0,) 上恒大于零. x3 x2 x1 xe 0 2 x(0,)f (x) x 于是，当，恒成立. 0,