北京金园丁教育中心高三年级模拟五

1、北京金园丁教育中心北京金园丁教育中心 2011 年高三年级模拟五 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中只有分在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （理）设集合S x| x2 3 ,T x|a x a5，若S I T ，则实数a的取 值范围是（） A1 a 0B1 a 0 Ca 1或a 0Da 1或a 0 答案：B 解析：由于S x| x 1或x 5，要满足S I T ，须有 B （文）设集合U xN |0 x 8，S 1,2,4,5，T 3,5,7，则S I

2、 ( UT) A1,2,4B1,2,3,4,5,7C1,2D1,2,4,5,6,8 答案：A a 1 1 a 0，选 a55 1,2,4，选 A 解析：因为 UT 1,2,4,6,8 ，所以S I ( UT) 2 （理）复数z 13i ，则复数z表示的点在复平面内位于（） 12i A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限 答案：A 解析：由于 13i(13i)(12i)55i 1i，实部、虚部均为正，故选A。 (12i)(12i)512i x y 3, （文）设变量 x，y 满足约束条件x y 1,则目标函数z 4x2y的最小值为（） y 1, A12B10C8 D2 答案:D 解析:做出可

3、行域，如图,由图可知，当目标函数过直线y 1与 x y 1的交点（0，1）时，z取得最小值 2.选 D rrrrrr 2 3已知向量|a b|1,|a |b|1，则(a b)的值为( ) A2B 2 C3 D 3 答案：C r 2 r rr 2 r rrrrr 2 rr bb 1，b 1， 解析： 由| a b|1,得(a b) 1， 即a 2ag又| a |b|1， 所以2ag rr 2 r 2 r rr 2 故(ab) a 2ag bb 3，选 C 4将函数y sin2x的图象向左平移 解析式是（） Ay 2sin xBy 2cos xCy sin2x1 Dy cos 2x 答案：B 解析

4、：由题意得，y sin2(x 2cos x，故选 B。 5(理) 设Sn是等比差数列an的前项和，若a2 4，a5 A 2 222 个单位，再向上平移1 个单位，所得的图象的函数 4 )1 sin(2x)1 cos2x1 2cos2x11 42 1 ，则limS n （ ） n 2 1616 BC16 D16 33 答案：A 1 a 2 a 1q 4 a 1 16q limS 解析：由解得，所以，选 A。21 n 4 n 1q3a 5 a 1q a 8 2 1 （文）设Sn是等差数列an的前项和，若a2 8，a15 5，则 （） AS10 S11BS10 S11CS9 S10 DS9 S10

5、答案：C 解析：由 a 2 a 1 d 8 d 1 98 解得，所以S9 9a 1 d 8136 45， 2 a1 9 a15 a 1 14d 5 109 d 9045 45，故选 C 2 S 10 10a 1 6在ABC 中，若2sin Asin B cos(B A)，则该ABC 的形状是（） A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形 D不能判定 答案：B 解析：因为2sin Asin B cos(B A)，即2sin AsinB cosBcosAsinBsin A，所以 cosBcos AsinBsin A 0，得cos(B A) cos(C) cosC 0，cosC 0，所 以角C是钝角三角

6、形，选 B。 x2y2 7过双曲线 2 2 1 (a 0,b 0)上任意一点 P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于 ab uuuu r uuu r M、N 两点，则PMgPN的值是（） AaBbC2ab Da b 答案：A 2222 x2y2x2y2b 解析：双曲线 2 2 1的渐近线是 2 2 0，即y x，设点 P 的坐标是 ababa uuuu r aaa (x 0 , y 0 )，则 M、N 的坐标是(y 0 , y 0 ),(y 0 , y 0 )，所以PM (y 0 x 0 ,0), bbb uuuu r uuu ruuu r y 0 2a2 2 a2 2 a 22PN (y 0

7、x 0 ,0)，故PMgPN x 0 2 y 0 a (1 2 ) 2 y 0 a2，选 A bbbb 8在上海世博会期间，某特许商店销售11 种小型纪念品，其中 10 元 1 件的有 8 种，5 元 1 件的有 3 种，小张用50 元钱买纪念品（每种至多买一件） ，刚好把钱用完，则他不同买法的 种数是（） A210 种B256 种C266 种 D286 种 答案：C 解析：由题意可知，买10 元 1 件的 5 种，或2 种 5 元 1 件的，4 种 10 元 1 件的，则共有不 同的买法是：C8C3C8 C8C3C8 524314 87638765 56210 266，选C 3214321

8、9一个正方体的棱长是 8，在其内部的底面上放入四个大小相同的小球，使相邻的两个小 球彼此相切，并且都与相邻的正方体的侧面相切， 在这四个小球的上面再放一个球， 使这个 球在正方体内部，则这个球的体积最大值是（） A 32125128256 BC512 D 3633 O 答案：B 解析：设最后放入的球的半径是r，球心是O，先放入的四个小球的半径 D是 2，球心分别是 A、B、C、D，则O ABCD是正四棱锥，如图，由 题 意 得 C r 22 2 2 2 r 2 8 ， 解 得 r 5 ， 故 2 AB 445125 V r3( )3 3326 1 2 10设 F 为抛物线y x 的焦点，与抛物

9、线相切于点P(4,4)的直线l与x轴的交点 4 是Q，则PQF等于（） A BC D 6432 答案：D 11 x，k y| x4 (4) 2，直线l的方程是y 4 2(x4)， 22 uuu ruuu r 所 以 点Q的 坐 标 是(2,0)， 又 F(0,1)， 则QP (2,4),QF (2,1), 所 以 解析：因为y uuu r uuu r QPg QF44 r uuu r cosPQF uuu 0,故PQF ，选 D 2|QP|QF |2 5 5 11 （理）已知y f (x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意xR，满足f (x2) f (x)， 当0 x 1时，有f (x) x。

10、如果直线y xm与曲线y f (x)恰有两个交点，则实数 2 m的值是（ ） A0B2k(k Z)C2k或2k 答案：D 解析：由题意知，函数y f (x)是以 2 为周期的 函数，其图像如图所示，显然在0,2)这个区间内， 直线y xm在如图所示的两个位置时， 恰好有两 个交点，此时m 0或m 11 (kZ) D2k或2k (kZ) 44 1 ，故在实数集R上， 4 1 m的值是2k或2k (kZ)，选 D 4 （文）已知y f (x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意xR，满足f (x2) f (x)，当 0 x 1时，有f (x) x2，直线y x2与曲线y f (x)的交点坐标只能是（

11、 ） A(2,0)B(2,0)C(1,1)或(2,0) D(1,1)或(2,0) 答案：D 解析：由题意知，函数f (x)是以 2 为周期的函数，其图 像如图所示，显然直线y x2与曲线y f (x)的交点 坐标是(1,1)或(2,0)，选 D 12如图，正方体ABCD A 1B1C1D1 的棱长为 1，线段B 1D1 上有两个动 点 E，F，且EF 2 ，则AC BE；EF / /平面ABCD；三 2 棱锥ABEF的体积为定值；异面直线AE,BF所成的角为定值。上 述结论中错误的是 （） A BC D 答案：C 解 析 ： 正 确 ， 易 证 AC 平面D 1DBB1 ，从而AC BE; 正

12、 确 ， 由 于 EF / BD,EF /平面ABCD；正确，可证AC 平面ABCD,即AC 平面 BEF,即点 A 到平面 BEF 的距离是定值，而B 到 EF 的距离为BB 1 的长，故三棱锥ABEF的体积为定 值； 错误，可判断当 F 与B 1重合或点 E 与 D 1 重合时，异面直线AE,BF所成的角是不 相等的。故选 C. 第卷第卷 ( (非选择题非选择题共共 9090 分分) ) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 13. （理）样本容量为 200 的频率分布直方图

13、如图所示.根据样 本的频率分布直方图估计 , 样本数据落在2,14)内的频数 为 答案：154 解析：由于在14,22范围内的 频数 是0.06，所以频率是 组距 故在2,14)范围内的频率是10.24 0.76， 所以频数 0.76200 1540.064 0.24， （文）某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工 人数的 2 倍。为了解职工的工资收入状况， 现采用分层抽样方法进行调查， 在抽取的样本 中有青年职工 32 人，则该样本中包含的老年职工人数为 答案：18 解析:由比例可得该单位老年职工共有90 人，用分层抽样的比例应抽取老年职工18

14、 人。 22 14.已知直线 3x y 4 0与圆x (y 2) 25交于 A、B 两点，P 为该圆上异于 A、B 的一动点，则ABP 的面积的最大值是 答案：32 （0,2） 解析： 圆x (y 2) 25的圆心 C， C 到直线 AB 的距离是d 22 |3024| 3， 31 所以| AB| 2 52328,显然当点 P 是 AB 的中垂线与圆的交点时，ABP 的面积最 大，此时SV ABP 1 8(35) 32 2 x 2 x1,x 0或x 2 15.（理）若函数f (x) 在 R 上连续，则ab axb,0 x 2 答案：0 解 析 ： 函 数f (x)在R上 连 续 ， 则 须 在

15、x 0,x 2处 连 续 ， 所 以 应 有 x0 lim f (x) lim f (x) lim f (x) f (0)，lim f (x) lim f (x) lim f (x) f (2)，即 x0 x0 x2x2 x2 a0b 1 a 1 ，得，故ab 0 2ab 1b 1 2 x1,x 0 （文）若函数f (x) 1 ，则方程f (x)1 0的根是 2 x ,x 0 答案：1 或1 解析：当x 0时，由2x11 0得x 1；当x 0时，由x 1 0得x 1，所以方 1 2 程f (x)1 0的根是 1 或1。 3x y6 0, 16. （理）设x, y满足约束条件x y2 0,若目标

16、函数z axby(a0,b0)的最大 x 0, y 0, 值为 12，则 答案： 23 的最小值为 ab 25 6 解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 z axby过直线x y2 0与直线3x y 6 0的交点 （4,6）时, 目标函数z axby(a0,b0)取得最大值 12, 即，即，而4a6b 122a3b 6 23232a3b13ba1325 , =( )() 2 abab66ab66 2010 （文）在(x 2) 的二项展开式中，含x的奇次幂的所有项之和为 S，当x 2时，S 等于 答案：23014 2010 解 析 ： 设 (x 2)a 0 x 2010a 1x 2

17、009L a 2009xa2010 ， 则 当 x 2 时 ， 有 a 0 ( 2)2010a 1( 2) 2009L a 2009 2 a 2010 0 当x 2时，有a0( 2)2010a 1( 2) 2009L a 2009 2 a 2010 23015 有a 1( 2) 2009L a 2009 2 230152 23014 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (17. (本小题满分本小题满分 1010 分分) ) c， 如图， ABC 是O 的内接三角形，

18、角 A、 B、 C 的对边分别是a、且a b、7,b 2,c 3, uuu r uuu r OC； (1)求OBg (2)求AOB 的面积。 b2c2a24971 ，解： （1）在ABC 中由余弦定理得cos A 2bc2232 A 60，BOC 120， 再由正弦定理得2R 00 21a72 21 R 3 分 03sin Asin603 uuu r uuu ruuu ruuu r 21217 OC |OB|g |OC |cosBOC cos1200 5 分 所以 OBg 336 |OA|2|OB|2| AB|213 （2）在AOB 中由余弦定理得cosAOB 2|OA|g |OB |14 s

19、inAOB 1cos AOB 2 3 3 7 分 14 所以 S V AOB 1121213 33 |OA|g |OB|sinAOB 10 分 2233144 18. (18. (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) （理）某校设计了一个实验学科的实验考查，考生从6 道备选题中一次性随机抽取3 道题， 按照题目要求独立完成全部实验操作，规定;至少正确完成其中 2 道题的便可通过考试，已 知 6 道备选题中，考生甲有4 道题能正确完成，2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概 率都是 2 ，且每题正确完成与否互不影响。 3 （1）考生甲通过实验考查的概率； （2）求乙考生正确完成的题数的概

20、率分布列及数学期望 E 。 解：(1)由题意知，考生甲要通过实验考查，就必须正确完成所抽取的3 道题中的 2 道题或 213C 4 C 2 C 4 1244 3 道题，所以所求概率是P 5 分 3C 6 205 （2）由题意知， 0,1,2,3， 又 P( 0) (1) 2 3 1 , 327 22224 1 2 P(1) C 3 g (1)2 ；P( 2) C3 2g( )2(1) , 339339 28 9 分P( 3) ( )3 327 所以乙考生正确完成题数的概率分布列为 0123 1248 P 279927 1248 故所求数学期望是E 0123 212 分 279927 （文）某校

21、设计了一个实验学科的实验考查，考生从6 道备选题中一次性随机抽取3 道题， 按照题目要求独立完成全部实验操作，规定;至少正确完成其中 2 道题的便可通过考试，已 知 6 道备选题中，考生甲有4 道题能正确完成，2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概 率都是 2 ，且每题正确完成与否互不影响。 3 （1）考生甲通过实验考查的概率； （2）求考生甲、乙都通过实验考查的概率。 解：(1)由题意知，考生甲要通过实验考查，就必须正确完成所抽取的3 道题中的 2 道题或 213C 4 C 2 C 4 1244 3 道题，所以所求概率是P 5 分 3C 6 205 （2）由（1）知，甲通过实验考查的概率是

22、P 1 4 ； 5 4820 ，10 分 92727 42016 12 分 52727 o 而乙考生通过实验考查也必须正确完成的所抽取的3 道题中的 2 道题或 3 道题，故乙通过 实验考查的概率是P 2 C 3 g( ) (1)( ) 2 2 3 2 2 3 2 3 3 又甲、乙两人是否通过实验考查是相互独立的， 所以考生甲、乙都通过实验考查的概率是P P P 2 1g 19. (19. (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) BAC 90 ，三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示， 截面为A 1B1C1 ， A 1 A 平面ABC，A 1A 3，AB 2，AC 2，AC

23、 11 1， （1）证明：平面A 1 AD 平面BCC 1B1 ； （2）求二面角ACC1 B的大小 解法一： （1）Q A 1 A 平面ABC，BC 平面ABC， BD1 DC2 A 1 A BC2 分 在RtABC中，AB 2，AC 2， BC 6， Q BD:DC 1: 2，BD 6BD3AB ，又， 3AB3BC DBAABC，ADB BAC 90o，即AD BC4 分 又A 1 AI AD A，BC 平面A 1 AD， Q BC 平面BCC 1B1 ，平面A 1 AD平面BCC 1B1 6 分 （2）如图，作AE C1C交C1C于E点，连接BE， 由已知得AB 平面ACC1A 1 A

24、E是BE在面ACC 1 A 1 内的射影 由三垂线定理知BE CC1， AEB为二面角ACC 1 B的平面角9 分 过C1作C1F AC交AC于F点，则CF AC AF 1， C 1F A1A 3， C 1CF 60 o 在RtAEC中，AE ACsin60 2 o 3 3 2 在RtBAE中，tan AEB AB26 AE33 AEB arctan 6 ， 3 6 12 分 3 即二面角ACC1 B为arctan 解法二： （1）如图，建立空间直角坐标系， 则A(0， 0，0)B( 2， 0，0)C(0， 2，0)A 1(0， 0，3)，C1(01 ， ，3) ， uuu r 1 uuu r

25、 Q BD:DC 1: 2，BD BC 3 2 2 2 ， 0 2 分D点坐标为 3 ， 3 ruuuruuu r 2 2 2 uuu AD ，BC ( 2， 02，0) AA 1 (0， 0，3) 3 ， 3 uuu r uuu r 2 2 uuu r uuur 2 BCgAD ( 2) 203 0，4 分 由于BCgAA， 0 1 33 BC AA 1 ，BC AD， 又 A 1 AI AD A， BC 平面A 1 AD，又BC 平面BCC 1B1 ， 平面A 1 AD 平面BCC 1B1 6 分 uuu r 0， 0)为平面ACC 1 A 1 的法向量，（2）Q BA平面ACC1A 1

26、，取m m AB ( 2， uuu ruuuu r 设平面BCC1B 1 的法向量为n n (x，y，z)，则BCgn n 0， CC 1gn n 0 3 2x2y 0 y， x 2y，z 3 y 3z 0 1，)， 9 分则可取y 1，则n n ( 2， 3 3 22 010 cos m m，n n 3 3 2 3 22222( 2) 0 0 g ( 2) 1 3 即二面角ACC1 B为arccos 20. (20. (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) （理） 已知数列an满足a1 22 足bn an1 a n (n 1) 15 ， 5 15 12 分 5 13(1a n1) 2(

27、1a n ) ,a nan1 0(n 1)， 数列b n满 ， 1a n 1a n1 2 （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn中的任意三项不可能构成等差数列。 2 2(1a n ) 3 2 2 令 c n 1a n ，则 c n2 c n 3 解： （1）由题意可知，1an1 2 又c 1 1a 2 2 332 ，则数列c n是首项为 c 1 ，公比为的等比数列， 344 ，3 分 n1 3 2 即c n 43 2 n n1 3 2 3 2 2 故1a ( )n1 a n 1 4 343 又a 1 ， 1 0，a nan1 0 2 n1 故an (1) 3 2 1( )n1 6 分 4

28、 3 （2）因为b n a 为 2 n1 3 2n 3 2n1 1 2 n1 a 1 1 ，即数列b n是首项 4 3 4 3 43 2 n 12 ， 公比为的等比数列， 假设数列bn存在三项br,bs,b t (r s t)按某种顺序成等差 43 数列，由于数列bn是递减数列，于是有br bs b t ，则只有可能有2bs brb t 成立 所以2 g( ) 即 22 3 srt 12 43 s1 12 r1 12 t1g( )g( ) （*）9 分 4343 2r3st2t3rs 整理得 22sr3ts 3tr2tr 由于r,s,t均是正整数，且r s t，所以上式左边为偶数，右边为奇数，

29、故（*）式 不可能成立，导致矛盾。故数列bn中任意三项不可能成等差数列。12 分 * （文）数列an满足a11,an 3an14n6 (n 2,nN ). （1）设bn an 2n，求证：数列bn是等比数列； （2）求数列an的前n项和Sn. 解： （1）由题意知 b n a n 2n 3a n1 4n6 2n 3a n1 6n6 ， bn1 3an6(n1)6 3(3an14n6)6n 3(3an16n6) 即 b n1 3b n 4 分 又 b 1 a 1 2 1 0 所以数列bn是以1为首项，3 为公比的等比数列。 6 分 n1n1 （2）由（1）知an2n 3 a n 2n3 8 分

30、01n1 所以 S n a 1 a 2 L a n 2(1 2L n)(3 3 L 3) n(n1)13n3n1 2 n(n1) 12 分 21322 21. (21. (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) （理） 已知抛物线C：y 2x， 直线y kx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点， 过M作x轴的垂线交C于点N （1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行； 2 uuu r uuu r （2）是否存在实数k使NAgNB 0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由 2x 2 2)，2x 1 2)，B(x 2， 解： （1）如图，设A(x 1 ， 把y kx2代入y 2x得2x k

31、x2 0， 由韦达定理得x 1 x 2 22 k ，x 1x2 1， 2 k k2 x 1 x 2 k x N x M ，N点的坐标为 ， 24 48 k2 k mx ， 3 分设抛物线在点N处的切线l的方程为y 84 mkk2 0， 将y 2x代入上式得2x mx 48 22 Q 直线l与抛物线C相切， mkk2 m 8 m22mk k2 (mk)2 0，m k 8 4 2 即lAB6 分 uuu r uuu ruuu ruuu r （2）假设存在实数k，使NAgNB 0，则NA NB，又Q M是AB的中点， 1 | AB|由（1）知 2 111 y M (y 1 y 2 ) (kx 1 2

32、kx 2 2) k(x 1 x 2 )4 222 | MN | k21 k2 42 22 4 k2k2k216 9 分Q MN x轴， | MN | y M y N |2 488 | x 1 x 2 | 1k g (x 1 x 2 ) 4x 1x2 又| AB| 1k g 1 2 k k 1g k2161k g 4(1) 2 2 2 2 222 k2161 2k 1g k216 ，解得k 2 84 uuu r uuu r 即存在k 2，使NAgNB 012 分 （文）已知函数f (x) ax x bx(其中常数a,bR),且g(x) f (x) f (x)的 图象关于原点对称. (1)求函数f

33、 (x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间0,2上的最大值和最小值. 解： （1）由题意得f (x) 3ax 2xb， 因此g(x) f (x) f (x) ax (13a)x (b2)xb，2 分 由于g(x)的图象关于原点对称，所以有g(x) g(x)，即对任意实数x，有 32 2 32 a(x)3(13a)(x)2(b2)(x)b ax3(13a)x2(b2)xb 1 ,b 0， 3 1 32 所以函数f (x)的解析表达式为f (x) x x 6 分 3 1 32 （2）由（1）知，g(x) x 2x，所以g(x) x 2，令g(x) 0，解得 3 整理，得13

34、a 0,b 0，从而a x 1 2, x 2 2，则当x 2或x 2时，g(x) 0，从而函数g(x)在区间 (, 2,2, )上是增函数；当 2 x 2时，g(x) 0，从而函数g(x)在区 间 2, 2上是减函数。9 分 由上述讨论知，函数g(x)在区间0,2上的最大值只能在x 0或x 2处取得；最小 值应在x 4 2处取得，而g(0) 0,g(2) ，所以函数函数g(x)在区间0,2上的最大 3 值g(0) 0，最小值为g( 2) 22. (22. (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 4 2 12 分 3 （理）已知函数f (x) x 2xaln x （1）若f (x)是区间（

35、0，1）上单调函数，求a的取值范围； （2）若对任意的t 1，恒有f (2t 1) 2 f (t)3，试求a的取值范围。 解： （1）函数f (x)的定义域是(0,)， 1 分 由于f (x) 2x2 2 a ， 且函数f (x)在 （0， 1） 上单调， 所以对任意的x(0,1)有f (x) 0 x 或f (x) 0（这里 “=”只对个别x成立）3 分 a 2(x x)或a 2(x x)， 22 从而a 0或a 46 分 2 （2）由f (2t 1) 2 f (t)3整理得 2(t 1) 2alnt aln(2t 1) 0 令 g(t) 2(t 1) 2alnt aln(2t 1) 则g(t) 4(t 1) 2 2a2a2(t 1)2t(2t 1)a 8 分 t2t 1t(2t 1) ） 当a 2时，t 1，t 1 0,2t(2t 1) 2 g(t) 0对t 1恒成立，g(t)在1,上递增， g(t) g(1) 0，即式对t 1恒成立。10 分 ） 当a 2时 ， 令g(t) 0且t 1， 解 得1 t 1 14a ， 于 是g(t)在 4 1,1 14a 1 14a1 1 4a 上递减，在,上递增，从而有g() g(1) 0， 444 即式不可能恒成立。 综上所述a 2.12 分 （文）同理