北京西城初三上学期期末数学试题及

1、2016 年北京西城初三上学期期末数学试题及答案 北京市西城区 2015 2016 学年度第一学期期末试卷 九年级数学 2016.1 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1二次函数y x57的最小值是 A7B7C5D5 2 2如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，则 cosA 的值为 3 A 5 C 5 B 3 43 D 54 3如图，C 与AOB 的两边分别相切，其中OA 边与C 相切于点 P若AOB=90，OP=6，则 OC 的长为 A12B12 2 C6 2D6 3 4将二次函数y x26x 5用配方法化成y

2、(x h)2 k的形式，下列结果中正确的是 Ay (x 6)25 Cy (x 3)2 4 5若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是 12 cm，则此扇形的圆心角等于 A30 B60 C90D120 6如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A 的坐标为(1，2)， ABx 轴于点 B以原点 O 为位似中心，将OAB 放大为 原来的 2 倍，得到OA1B1，且点 A1在第二象限，则点 A1 的坐标为 By (x 3)25 Dy (x 3)29 1 A(2，4)B(，1) 2 C(2，4)D(2，4) 7如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东 37方向，距离 灯塔 40 海里的 A 处，它沿正北方向航

3、行一段时间后， 到达位于灯塔 P 的正东方向上的 B 处这时，B 处与 灯塔 P 的距离 BP 的长可以表示为 A40 海里 C40cos37海里 8如图，A，B，C 三点在已知的圆上，在ABC 中， ABC=70，ACB=30，D 是BAC的中点， 连接 DB，DC，则DBC 的度数为 A30B45 C50D70 9某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映，如果调整商品售 价，每降价1 元，每星期可多卖出20 件设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总 销售额为 y 元，则 y 与 x 的关系式为 Ay 60(300 20 x)By (60 x)(300 20

4、x) Cy 300(6020 x)Dy (60 x)(30020 x) 10二次函数y 2x28x m满足以下条件：当2 x 1时，它的图象位于x 轴的下方； 当6 x 7时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为 A8 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11若 12点 A(3，y 1 )，B(2，y 2 )在抛物线y x25x上，则y 1 y 2 （填“” ， “”或 “=” ） 13ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的DEF 的最小边长为 15，则DEF 的 周长为 B10C42D24 B40tan37海里 D40sin37海里 a3a b 的值为，则 b4

5、b 14如图，线段 AB 和射线 AC 交于点 A，A=30，AB=20 点 D 在射线 AC 上，且ADB 是钝角，写出一个满足条件 的 AD 的长度值：AD= 15程大位所著算法统宗是一部中国传统数学重要的著作 在算法统宗中记载：“平 地秋千未起，踏板离地一尺送行二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑 语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1 步=5 尺 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1 尺高，如将秋千的踏 板往前推动两步（10 尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高 是 5 尺美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日 不断好奇的能工巧匠，能算出这秋千

6、的绳索长是多少吗？” 如图， 假设秋千的绳索长始终保持直线状态， OA 是秋千的静止状态， A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB 是踏 板移动的轨迹 已知 AC=1 尺， CD=EB=10 尺， 人的身高 BD=5 尺 设 绳索长 OA=OB=x 尺，则可列方程为 16阅读下面材料： 在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 小敏的作法如下： 如图， （1）连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线 MN 交 OP 于点 C； （2）以点 C 为圆心，CO 的长为半径作圆， 交O 于 A，B 两点； （3）作直线 PA，PB 所以直线 PA，PB 就是所求作的

7、切线 老师认为小敏的作法正确 请回答：连接 OA，OB 后，可证OAP=OBP=90，其依据 是；由此可证明直线PA，PB 都是O 的切线，其依据 是 尺规作图：过圆外一点作圆的切线 已知：P 为O 外一点 求作：经过点 P 的O 的切线 O P 三、解答题（本题共 72 分，第 1726 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17计算：4cos30 tan60sin245 18如图，ABC 中，AB=12，BC=15，ADBC 于点 D，BAD=30 求 tanC 的值 19已知抛物线y x2 2x 3

8、与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧 （1）求 A，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴； （2）设此抛物线的顶点为C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求四边形 ACBD 的面积 20如图，四边形 ABCD 中，ADBC，A=BDC （1）求证：ABDDCB； （2）若 AB=12，AD=8，CD=15，求 DB 的长 21某小区有一块长 21 米，宽 8 米的矩形空地，如图所示社区计划在其中修建两块完全 相同的矩形绿地， 并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道 如果这两块 绿地的面积之和为 60 平方米，人行通道的宽度应是多少米？ 22已知抛物线C 1 ：y 1

9、 2x2 4x k与 x 轴只有一个公共点 （1）求k的值； （2）怎样平移抛物线C 1 就可以得到抛物线C 2 ：y 2 2(x 1)2 4k？请写出具体的平移 方法； （3）若点 A（1，t）和点 B（m，n）都在抛物线C 2 ：y 2 2(x 1)2 4k上，且n t， 直接写出m的取值范围 23如图， AB 是O 的一条弦，且AB=4 3点C，E 分别在O 上，且OCAB 于点 D， E=30，连接 OA （1）求 OA 的长； （2）若 AF 是O 的另一条弦，且点O 到 AF 的距离为2 2， 直接写出BAF 的度数 24奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成在综合

10、实践活动课中， 某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度 （测角仪高度忽略不计） 他 们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶 A 的仰角为 45，然后向最高 塔的塔基直行 90 米到达 C 处，再次测得最高塔塔顶 A 的仰角为 58请帮助他们计算 出最高塔的高度 AD 约为多少米 （参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60） 25如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径PC 是O 的切线，C 为切点，PDAB 于点 D，交 AC 于点 E （1）求证：PCE=PEC； （2）若 AB=10，ED= 33 ，sinA=，求 PC 的长 25

11、 26阅读下面材料： 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线y1 ax b与 双曲线y 2 k 交于 A（1，3）和 B（3，1）两点 x 观察图象可知：当x 3或1时，y1 y2； 当3 x 0或x 1时，y1 y2，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式ax b k 的解集 x 图 1 32 有这样一个问题：求不等式x 4x x4 0的解集 32 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x 4x x4 0的解集进行了探究 下面是他的探究过程，请将（2） 、 （3） 、 （4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当x 0时，原不等式不成立； 当x 0时，原不等式可以转化为x24x

12、1 4 ； x 当x 0时，原不等式可以转化为x24x1 （2）构造函数，画出图象 2 设y 3 x 4x 1，y 4 4 ； x 4 ，在同一坐标系 x 中分别画出这两个函数的图象 双曲线y 4 4 如图 2 所示，请在此坐标系中 x 2 画出抛物线 y3 x 4x 1； （不用列表） （3）确定两个函数图象公共点的横坐标 图 2 观察所画两个函数的图象， 猜想并通过代入函数解析式验证可知： 满足y3 y4的 所有x的值为； （4）借助图象，写出解集 结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x34x2 x4 0的 解集为 1 27如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数y x

13、2bxc的图象经过点 A（1，0） ， 2 且 当x 0和x5时 所对 应的 函数 值 相等 一 次函 数y x3与 二 次函 数 1 y x2bxc的图象分别交于 B，C 两点，点 B 在第一象限 2 1 （1）求二次函数y x2bxc的表达式； 2 （2）连接 AB，求 AB 的长； （3）连接 AC，M 是线段 AC 的中点，将点 B 绕点 M 旋转 180得到点 N，连接 AN，CN， 判断四边形 ABCN 的形状，并证明你的结论 28在ABC 中，ACB=90，AC=BC= 4，M 为 AB 的中点D 是射线 BC 上一个动点，连 接 AD，将线段AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到

14、线段 AE，连接ED，N 为 ED 的中点，连 接 AN，MN （1）如图 1，当 BD=2 时，AN=_，NM 与 AB 的位置关系是_； （2）当 4BD1390 14满足0 AD 10 3即可，如：AD=10 4 15 (4)2102 x2 x 16直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 三、解答题（本题共 72 分，第 1726 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17解：原式=4 32 3 ()23 分 22 1 =6 2 11 =5 分 2 18解：ADBC 于点 D， ADB=ADC=90 在 R

15、tABD 中，AB=12，BAD=30， BD= 1 AB=6， 1 分 2 AD=ABcosBAD = 12cos30=6 32 分 BC=15， CD= BCBD=156=93 分 在 RtADC 中，tanC= = AD 4 分 CD 6 32 3 =5 分 93 19解： （1）令y 0，则x2 2x3 0 解得x 1 1，x 2 3 1 分 点 A 在点 B 的左侧， A（1，0） ，B（3，0） 2 分 对称轴为直线x 1 3 分 （2）当x 1时，y 4， 顶点 C 的坐标为（1，4） 4 分 点 C，D 关于 x 轴对称， 点 D 的坐标为（1，4） AB=4， 1 S 四边形

16、ACBD =S ACB S DCB 442 165 分 2 20 （1）证明：ADBC， ADB=DBC 1 分 A=BDC， ABDDCB 3 分 （2）解：ABDDCB， ABAD 4 分 DCDB AB=12，AD=8，CD=15， 128 15DB DB=10 5 分 21解：根据题意，得(213x)(82x) 60 2 分 整理得x211x 18 0 解得x 1 2，x 2 9 3 分 x 9不符合题意，舍去， x 2 4 分 答：人行通道的宽度是2 米 5 分 22解： （1）抛物线C 1 ：y 1 2x2 4x k与 x 轴有且只有一个公共点， 方程2x24x k 0有两个相等的

17、实数根 (4)2 42k 0 1 分 解得k 2 2 分 （2）抛物线C 1 ：y 1 2x2 4x 2 2(x 1)2，顶点坐标为（1，0） ， 抛物线C2：y 2 2(x 1)28的顶点坐标为（-1，-8） ， 3 分 将抛物线C1向左平移 2 个单位长度，再向下平移 8 个单位长度就可以得到 抛物线C2 4 分 （3）3 m 1 5 分 23解： （1）OCAB 于点 D， AD=DB， 1 分 ADO=90 AB=4 3， AD=2 3 AOD=2E，E=30， AOD=60 2 分 在 RtAOD 中，sinAOD= AD ， OA OA= AD2 3 =43 分 sinAODsin

18、60 （2）BAF=75或 15 5 分 24解： （1）在 RtADB 中，ADB=90，B=45， BAD=90B=45 BAD=B AD=DB 1 分 设 AD=x， 在 RtADC 中，tanACD= DC= AD ，ACD=58， DC x 3 分 otan58 DB= DC+ CB=AD，CB=90， x +90=x 4 分 tan58o 将 tan581.60 代入方程， 解得 x240 5 分 答：最高塔的高度 AD 约为 240 米 25 （1）证明：连接 OC，如图 1 PC 是O 的切线，C 为切点， OCPC1 分 PCO=1+2=90 PDAB 于点 D， EDA=9

19、0 A+3=90 OA=OC， A=1 2=3 3=4， 2=4 即PCE=PEC 2 分 （2）解：作 PFEC 于点 F，如图 2 AB 是O 的直径， ACB=90 在 RtABC 中，AB=10，sin A BC=ABsinA=6 图 2 AC=AB2BC2=8 3 分 在 RtAED 中，ED= AE= 图 1 3 ， 5 3 ， 2 ED5 = sin A2 11 2 EC=ACAE= 2=4， PE=PC PFEC 于点 F， FC= 111 EC=， 4 分 24 PFC=90 2+5=90 A+2=1+2=90 A=5 sin5 = 3 5 55 FC =5 分 sin512

20、 在 RtPFC 中，PC= 26解： （2）抛物线如图所示； 1 分 （3）x 4，1或1； 3 分 （4）4 x 1或x 1 5 分 1 27解： （1）二次函数y x2bxc， 2 当x 0和x5时所对应的函数值相等， 1 二次函数y x2bxc的图象的对称 2 5 轴是直线x 2 1 二次函数y x2bxc的图象经过点 A（1，0） ， 2 10 bc, 2 1 分 b 5 . 2 c 2, 解得 5 b . 2 15 二次函数的表达式为y x2x2 2 分 22 （2）过点 B 作 BDx 轴于点 D，如图 1 1 一次函数y x3与二次函数y x2bxc的图象分别交于 B，C 两

21、2 点， 15 x3 x2x2 22 解得x 1 2，x 2 5 3 分 交点坐标为（2，1） ， （5，2） 图 1 点 B 在第一象限， 点 B 的坐标为（2，1） 点 D 的坐标为（2，0） 在 RtABD 中，AD=1，BD=1， AB=AD2 BD2=2 4 分 （3）结论：四边形 ABCN 的形状是矩形 5 分 证明：设一次函数y x3的图象与 x 轴交于点 E，连接MB，MN，如图2 点 B 绕点 M 旋转 180得到点 N， M 是线段 BN 的中点 MB= MN M 是线段 AC 的中点， MA= MC 四边形 ABCN 是平行四边形 6 分 一次函数y x3的图象与 x 轴

22、交于点 E， 当y 0时，x 3 点 E 的坐标为（3，0） DE=1= DB 在 RtBDE 中，DBE=DEB=45 同理DAB=DBA=45 ABE=DBA+DBE=90 四边形 ABCN 是矩形 7 分 28解： （1）10，垂直； 2 分 （2）补全图形如图所示； 3 分 结论： （1）中 NM 与 AB 的位置关系不变 证明：ACB=90，AC=BC， CAB=B=45 CAN +NAM=45 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AE， 图 2 AD=AE，DAE=90 N 为 ED 的中点， 1 DAE=45， 2 ANDE DAN= CAN +DAC =45， AND=90 NAM =DAC 4 分 2AN =cosDAN= cos45= AD2 2AC 在 RtACB 中，=cosCAB= cos45= AB2 在 RtAND 中， M 为 AB 的中点， AB=2AM ACAC2 AB2AM2 AM2 AC2 ANAM ADAC ANMADC AMN=ACD 点 D 在线段 BC 的延长线上， ACD=180ACB =90 AMN=90 NMAB 5