北京高考试题(理数,word解析版)

1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科）数学（理科） 本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中， 选出符合胜目要求 的一项. 1已知集合 A=xR|3x+20 B=xR|（x+1）(x-3)0 则 AB= A （-，-1）B （-1，- 22 ） C（-,3）D (3,+) 33 2 ， 利用二次不等式可得B x| x 1或x 3画出数 3 【解析】和往年一样，依然的

2、集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因 为AxR|3x 2 0 x 轴易得：A B x| x 3故选 D 【答案】D 0 x 2, 2设不等式组，表示平面区域为D，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标 0 y 2 原点的距离大于 2 的概率是 （A） 24 （B）（C）（D） 2446 0 x 2 【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点 D 0 y 2 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 1 2222 4 4 ，故选 D。P 224 【答案】D 3设 a，bR。“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（） A.充分而不必要条件B.必要而不充分

3、条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】当a 0时，如果b 0同时等于零，此时abi 0是实数，不是纯虚数，因此不 是充分条件；而如果abi已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a 0， 因此想必要条件，故选B。 【答案】B 4执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A. 2B .4C.8D. 16 【解析】k 0，s 1 k 1，s 1 k 2，s 2 k 2，s 8，循环结束，输 出的 s 为 8，故选 C。 【答案】 5.如图. ACB=90，CDAB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则() A. CECB=ADDBB. CECB=ADA

4、B C. ADAB=CD D.CEEB=CD 【解析】在ACB中，ACB=90，CDAB 于点 D，所以CD AD DB,由切割线定 理的CD CE CB,所以 CECB=ADDB。 【答案】A 6.从 0，2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为 () A. 24B. 18C. 12D. 6 【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。 如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析 (3 种选择)，之后十位(2 种选择)，最后百 位(2 种选择)，共 12 种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3 种情

5、况)，十位(2 种 情况)，百位(不能是 0，一种情况)，共 6 种，因此总共 12+6=18 种情况。 【答案】B 7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） 2 2 A. 28+6 5 B. 30+6 5 C. 56+ 12 5 D. 60+12 5 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥， 如图所示，图中蓝色数字所表示的为 直接从题目所给三视图中读出的长度， 黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题 所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得： S 底 10 ， S 后 10 ， S 右 10 ，S 左 6 5 ， 因 此 该 几

6、何 体 表 面 积 S S 底 S 后 S 右 S 左 306 5，故选 B。 【答案】B 8.某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前 m 年的年 平均产量最高。m 值为（） A.5B.7C.9D.11 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。 【答案】C 第二部分(非选择题共 110 分) 二.填空题共 6 小题。每小题 5 分。共 30 分. x 2t x 3cos 9直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_。 y 1ty 3sin 【解析】直线的普通方程x y 1 0，圆的普通方程为x y 9

7、，可以直线圆相交， 故有 2 个交点。 【答案】2 22 1 ，S2 a3，则a 2 =_。 2 1 【解析】因为S2 a3 a 1 a 2 a 3 a 1 a 1 d a 1 2d d a 1 ， 2 1 2 1 所以a2 a 1 d 1，S n na 1 n(n1)d n n。 44 1 2 1 【答案】a21，Sn n n 44 1 11在ABC 中，若a=2，b+c=7，cosB=，则 b=_。 4 10已知an等差数列Sn为其前 n 项和。若a 1 a2c2b214(c b)(c b) 【解析】 在 ABC 中，利 用余弦 定理cosB 2ac44c c 3,47(cb) ，化简得：

8、8c7b4 0，与题目条件bc 7联立，可解得b 4, 4c a 2. 【答案】4 12在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线=4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点. 其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60.则OAF 的面积为 【解析】由 y 4x可求得焦点坐标 F(1,0)，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为 2 k tan60 3，利用点斜式，直线方程为y 3x 3 ，将直线和曲线联立 A(3,2 3) 11y 3x3 ，因此SOF y 12 3 3 2 12 3 OAFA 22 ) B( ,y 4x 33 【答案】 3 13已知正方形 ABCD 的边

9、长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE CB的值为_， DE DC的最大值为_。 【解析】根据平面向量的数量积公式DE CB DE DA | DE| DA|cos，由图可知， | DE|cos| DA|，因此DECB | DA|21， DEDC | DE| DC|cos | DE|cos，而| DE|cos 就是向量DE在DC边上的射影，要想让DE DC最大，即让 射影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影为DC，所以长度为 1 【答案】1，1 14.已知f (x) m(x 2m)(x m3)，g(x) 2 2，若同时满足条件： xR，f (x) 0或g(x) 0； x(,4),f (

10、x) g(x) 0。 则 m 的取值范围是_。 【解析】根据g(x) 2 2 0，可解得x 1。由于题目中第一个条件的限制xR， x x f (x) 0或g(x) 0成立的限制，导致(x)在x 1时必须是f (x) 0的。当m 0时， f (x) 0不能做到f (x)在x 1时f (x) 0，所以舍掉。因此，f (x)作为二次函数开口只 能向下，故m 0，且此时两个根为x 1 2m，x 2 m3。为保证此条件成立，需要 1m x 1 2m 1 2，和大前提m 0取交集结果为4 m 0；又由于条件 2： x2 m 31 m 4 要求x(,4)，f (x)g(x) 0 的限制，可分析得出在x(,4

11、)时，f (x)恒负，因 此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即4应该比x 1,x2 两根中小的那个大，当 m(1,0)时， m 3 4，解得，交集为空，舍。当m 1时，两个根同为2 4， 舍。当m(4,1)时，2m 4，解得m 2，综上所述m(4,2) 【答案】m(4,2)（lbylfx） 三、解答题公 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15 （本小题共 13 分） 已知函数f (x) (sin xcosx)sin2x 。 sin x （1）求f (x)的定义域及最小正周期； （2）求f (x)的单调递增区间。 解（1） ：sin x 0 x k(k

12、Z)得：函数f (x)的定义域为x x k,kZ f (x) (sin xcosx)sin 2x (sin xcosx)2cos x sin x 2sin(2x)1 4 2 ； 2 sin2x(1cos2x) 得：f (x)的最小正周期为T （2）函数y sin x的单调递增区间为2k ,2k(kZ) 22 3 则2k 2x 2k k x k 24288 3 (k Z) 得：f (x)的单调递增区间为k ,k),(k,k 88 16 （本小题共 14 分） 如图 1，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE=2，将ADE 沿 DE

13、 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD,如图 2. (I)求证：A1C平面 BCDE； (II)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； (III)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由 解： （1）QCD DE，A 1E DE DE 平面ACD， 1 又QA 1C 平面ACD， 1 A 1C DE 又AC CD， 1 A 1C 平面BCDE。 （2）如图建系C xyz，则D2，0，0，A 0，3，0，E2，2，00，2 3，B0， uuu u ruuur A 1 B 0，3，2 3,A 1 E 2，1，0 r n设平面

14、A 1BE 法向量为x，y，z 3 uuur r z y 3y 2 3z 0 A 1Bn 0 2 则 uuu u r r 2x y 0y x A 1E n 0 2 r n 1，2， 3 z A1(0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0) D (-2,0,0) C (0,0,0) x 又M 1，0， 3 uuuu r CM 1，0， 3 uuuu r r CM n1342 rr cos uuuu 2|CM | n|1 43 1322 2 ， CM与平面A 1BE 所成角的大小45。 （3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为0，a，0，则a0，3 uuu ruuur 则A

15、 1 P 0，a， 2 3，DP 2，a，0 u u r 设平面A 1DP 法向量为n 1 x 1 ，y 1 ，z 1 3 z ay ay 1 2 3z 1 0 1 6 1 则 2x ay 01 11 x ay 11 2 u u r n 1 3a，6， 3a 。 ， 假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直， u u r r 则n1n 0，3a 123a 0，6a 12，a 2， 0 a 3，不存在线段BC上存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直。 17 （本小题共 13 分） 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理， 将生活垃圾分为厨余垃圾、 可回收物和其他 垃圾三类，并分别

16、设置了相应分垃圾箱， 为调查居民生活垃圾分类投放情况， 现随机抽取了 该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） ： 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 “厨余垃圾” 箱“可回收物” 箱“其他垃圾” 箱 400 30 20 100 240 20 100 30 60 （）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （）试估计生活垃圾投放错误额概率； （） 假设厨余垃圾在 “厨余垃圾” 箱、“可回收物” 箱、“其他垃圾” 箱的投放量分别为a,b,c 其中 a0，a bc=600。当数据a,b,c的方差s最大时，写出a,b,c的值（结论不要求 证明） ，并求此时s的值。 （注：s 2 2 2

17、 1 (x 1 x)2(x 2 x)2 (x n x)2，其中x为数据x 1,x2 , ,x n 的平均数） n 4002 = 6003 。 解： （）由题意可知： （）由题意可知： 200+60+403 = 100010 。 1 （）由题意可知：s2(a2b2c2120000)，因此有当a 600，b 0，c 0时，有 3 s280000 18 （本小题共 13 分） 2 已知函数f (x) ax 1a 0，g(x) x bx. 3 （1）若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点1,c处具有公共切线，求a，b的值； （2）当a2 4b时，求函数f (x) g(x)的单调区间，并求其

18、在区间,1上的最大值. 解： （）由1，c为公共切点可得： f (x) ax21(a 0)，则f (x) 2ax，k1 2a， g(x) x3 bx，则f (x)=3x2 b，k2 3b， 2a 3b 又f (1) a 1，g(1)1b， a 11b，即a b，代入式可得： a 3 b 3 1 （2）Qa2 4b，设h(x) f (x) g(x) x3 ax2a2x 1 4 1aa 则h(x) 3x2 2ax a2，令h(x) 0，解得：x 1 ，x 2 ； 426 Qa 0， ， a a aa 原函数在 单调递增， 在单调递减， 在， ， 上单调递增 26 2 6 a 2 a 6 a2a 若

19、1，即a2时，最大值为h(1) a； 42 aa a 若 1 ，即2 a 6时，最大值为h 1 262 若1 a a 时，即a6时，最大值为h 1 62 综上所述： a2 a 当a0，2时，最大值为h(1) a；当a2 , 时，最大值为h 1 4 2 19 （本小题共 14 分） 已知曲线C:5mx m2y 8mR . 22 （1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围； （2）设m 4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方） ， 直线y kx 4与 曲线C交于不同的两点M，N，直线y 1与直线BM交于点G，求证：A，G，N 三点共线. x2y2 1解： （1）原曲线方程可化简

20、得： 88 5 mm 2 88 5m m2 87 0由题意可得：，解得： m 5 2 5m 8 m2 0 （2）由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k21)x216kx 24 0， =32(2k23)，解得：k2 3 2 由韦达定理得：x M x N 16k24 ，x x MN 2k212k21 设N(x N , k x N 4)，M(x M , kx M 4)，G(xG， 1) MB方程为：y 3x M kx M 6 ， 1，x 2，则G x M kxM 6 r uuu r 3x M uuu ，1，AN x N ，AG x N k 2， x k 6 M uuu ruuu r 欲证A，G，N三点

21、共线，只需证AG，AN共线 即 3x M(x N k 2) x N 成立，化简得：(3k k)x M x N 6(x M x N ) x M k 6 将代入易知等式成立，则A， （lby lfx） G，N三点共线得证。 20 （本小题共 13 分） 设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所 有数的和为零. 记Sm,n为所有这样的数表组成的集合. 对于ASm,n， 记r i(A) 为A 的第i行各数之和（1剟i m） ，c j(A) 为A的第j列各数之和（1剟j；记k(A)为n） r 1(A) ，r 2 (A)，r m (A)，c 1(A) ，c2(A)，cn(

22、A)中的最小值. （1）对如下数表A，求k(A)的值； 110.8 0.10.31 （2）设数表AS2,3形如 1 a 1 b c 1 求k(A)的最大值； （3）给定正整数t，对于所有的AS2,2t 1，求k(A)的最大值. 解： （1）由题意可知r 1 A1.2，r 2 A 1.2，c 1 A1.1，c 2 A 0.7，c 3 A 1.8 kA 0.7 （2）先用反证法证明kA1： 若kA1 则|c 1 A| a 1| a 11，a 0 同理可知b 0，a b 0 由题目所有数和为0 即a b c 1 c 1 a b 1 与题目条件矛盾 kA1 易知当a b 0时，kA1存在 kA的最大值为 1 （3）kA的最大值为 2t 1 . t 2 2t 1 首先构造满足k(A) 的A a i, j (i 1,2, j 1,2,., 2t 1)： t 2 t 1 ，a