第七八章离散系统与Z变换GongpuWangBJTUV2.0.ppt

1、Signal and System,Dr. Gongpu Wang Ph.D. from University of Alberta Associate Professor in Beijing Jiaotong University Email: ,2,课程内容,第一章 信号与系统的基本概念 第二章 连续时间系统的时域分析 第三章 傅里叶变换 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的s域分析 第七章 离散时间系统的时域分析 第八章 z变换、离散系统的z域分析,3,第七章 离散时间系统与Z变换分析法,7.1 离散时间信号序列 7.2 离散时间系统的数学模型差分方程 7.3 常系数线性差分方程的求解 7

2、.4 离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应 7.5 卷积（卷积和）,4,连续时间信号： f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。,连续时间系统： 系统的输入、输出都是连续的时间信号。,连续时间信号、连续时间系统,5,离散时间信号、离散时间系统,离散时间信号： 时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其它时间没有定义。,离散时间系统： 系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字计算机。,离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。,6,量化,幅值量化幅值只能分级变化,采样过

3、程就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程得到离散信号。,数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。,7,系统分析,连续时间系统微分方程描述,离散时间系统差分方程描述,差分方程的解法与微分方程类似,8,本章内容,离散时间信号及其描述、运算； 离散时间系统的数学模型差分方程； 线性差分方程的时域解法； 离散时间系统的单位样值响应； 离散卷积。,注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几章对照，温故而知新。,学习方法,9,7.1 离散时间信号序列,离散信号的表示方法 离散时间信号的运算 常用离散时间信号,10,一离散信号的表示方法,11,序列的三种形式

4、,12,二离散信号的运算,1相加：,2相乘：,3乘系数：,4移位：,13,5倒置：,6差分：,7累加：,8重排（压缩、扩展）：,注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。,9序列的能量,14,三常用离散信号,单位样值信号 单位阶跃序列 矩形序列 斜变序列 单边指数序列 正弦序列 复指数序列,15,1单位样值信号,时移性,比例性,抽样性,注意：,16,利用单位样值信号表示任意序列,17,2单位阶跃序列,18,3矩形序列,19,4斜变序列,20,5单边指数序列,21,6正弦序列,N称为序列的周期，为任意正整数。,22,7复指数序列,复序列用极坐标表示：,复指数序列：,23,例题,试写出其序列形式并画

5、出波形。,波形：,序列形式：,解：,24,例题,25,7.2 离散时间系统的数学 模型差分方程,用差分方程描述线性时不变离散系统 由实际问题直接得到差分方程 由微分方程导出差分方程 由系统框图写差分方程 差分方程的特点,26,一用差分方程描述线性时不变离散系统,线性：均匀性、可加性均成立；,27,时不变性,28,二由实际问题直接得到差分方程,例如： y(n)表示一个国家在第n年的人口数 a(常数)：出生率 b(常数): 死亡率 设x(n)是国外移民的净增数 则该国在第n+1年的人口总数为：,y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n),=(a-b+1)y(n)+x(n),29,三由

6、微分方程导出差分方程,后差,或前差,30,列差分方程,若用后差形式,若在t=nT 各点取得样值,n代表序号,31,四由系统框图写差分方程,1基本单元,加法器：,乘法器：,32,延时器,单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离散值顶出来，递补。,标量乘法器,系统框图,33,五差分方程的特点,(1)输出序列的第n个值不仅决定同一瞬间的输入样值，而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。,(2)差分方程的阶数：差分方程中变量的最高和最低序号差数为阶数。 如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输出值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。,34,差分方程的特点,(4)差分方程描述离散时间系

7、统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写会画。,(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之处。,35,如图框图，写出差分方程,解：,一阶后向差分方程,一阶前向差分方程,例题,36,7.3 常系数线性差分方程的求解,1.迭代法,3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应,2.时域经典法：齐次解+特解；,4. z变换法反变换y(n),37,一迭代法,解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系。,解：,38,二时域经典法,1.齐次解：齐次方程的解,39,求待定系数,C由边界决定,齐次解,求差分方程齐次解步骤,

8、差分方程 特征方程特征根 y(n)的解析式由起始状态定常数,40,根据特征根，解的三种情况,2.有重根,3.有共轭复数根,41,求解二阶差分方程,特征方程,齐次解,定C1,C2,解出,特征根,解:,42,2.特解,线性时不变系统输入与输出有相同的形式,输入,输出,43,代入原方程求特解,特解,解:,44,45,三零输入响应+零状态响应,1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次,C由初始状态定（相当于0-的条件）,齐次解：,2.零状态响应：初始状态为0，即,求解方法,经典法：齐次解+特解,卷积法,46,7.4离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应,单位样值响应 因果性、稳定性,单位样值响应:,4

9、7,因果性、稳定性,对于线性移不变系统是因果系统的充要条件：,稳定性的充要条件：,单位样值响应绝对和为有限值（绝对可和）收敛。,因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。,48,滑动平均滤波器,非因果系统,49,7.5 卷积（卷积和）,卷积和定义 离散卷积的性质 卷积计算,50,一卷积和定义,51,时不变,均匀性,可加性,输出,卷积和的公式表明：,52,二离散卷积的性质,1交换律,2结合律,3分配律,4,不存在微分、积分性质。,53,三卷积计算,1.解析式法,2.图解法,3.对位相乘求和法求卷积,4.利用性质,离散卷积过程：序列倒置移位相乘取和,54,y(n)的元素个数?,55,解:,利用分配

10、律,56,使用对位相乘求和法求卷积 步骤： 两序列右对齐 逐个样值对应相乘但不进位 同列乘积值相加（注意n=0的点）,57,第七章 作业习题,7-2， 7-12，7-28，7-29，7-30，7-32，7-33， 7-35 每周二 交给助教。,58,59,课程内容,第一章 信号与系统的基本概念 第二章 连续时间系统的时域分析 第三章 傅里叶变换 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的s域分析 第七章 离散时间系统的时域分析 第八章 z变换、离散系统的z域分析,60,第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析,8.2 z变换的定义、典型序列的z变换 8.3 z变换的收敛域 8.4 逆z变换 8.5 z变换

11、的基本性质 8.7 用z变换解差分方程 8.8 离散系统的系统函数,61,本章主要讨论： z变换的定义、收敛域、性质； 利用z变换解差分方程；,62,8.2 z变换的定义、典型序列的z变换,z变换的导出,z变换的定义,典型序列的z变换,63,z变换的导出,抽样信号的拉氏变换离散信号的z变换,64,65,若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序 列） 存在的序列取z变换,66,67,一单位样值函数,二单位阶跃序列,68,三斜变序列的z变换,已知,两边同时乘以z-1 ，可得,（用间接方法求）,69,同理可得,n是离散变量，所以对n没有微积分运算； z是连续变量，所以对z有微积分运算；,70,

12、四指数序列,1右边序列,注意：z 变换相同时，左边序列的定义。,71,五正弦与余弦序列,单边余弦序列,同理,72,8.3 z变换的收敛域,收敛域的定义 两种判定法 讨论几种情况,主要内容：,73,一收敛域的定义,收敛的所有z 值之集合为收敛域。,对于任意给定的序列x(n) ，能使,ROC: Region of convergence,不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。,74,二两种判定法,1比值判定法,则： 1：发散,即令正项级数的一般项,则 1：发散,2根值判定法,若有一个正项级数,75,三讨论几种情况,1有限长序列的收敛

13、域,2右边序列的收敛,3左边序列的收敛,4双边序列的收敛,76,1有限长序列的收敛,所以，收敛域为 的z平面,77,2右边序列的收敛,78,若该序列收敛，则要求,即收敛域为：,解：,79,3左边序列的收敛,80,解：,81,4双边序列的收敛,82,解：,83,四总结,x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心 的圆环；,ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；,有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；,84,8.4 逆z变换,部分分式展开法 幂级数展开法 围线积分法留数法,主要内容：,85,Z逆变换,举例：,86,部分分式展开法,1z变换式的一般形式,8

14、7,2求逆z变换的步骤,88,3极点决定部分分式形式,对一阶极点,89,解：,同理：B2,查表,90,8.5 z变换的基本性质,主要内容：,线性,位移性,序列线性加权,序列指数加权,初值定理,终值定理,时域卷积定理,91,一线性,a,b为任意常数。,ROC：一般情况下，取二者的重叠部分,某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。,(表现为叠加性和均匀性）,92,二位移性,单边z变换,(1) 左移位性质,(2) 右移位性质,(1) 左移位性质,93,(2)右移位性质,而左移位序列的单边z变换不变。,94,零极点相消，收敛域扩大为整个z平面,例题,95,例题,利用右移位性质：,解:,9

15、6,例题,解:,方程两边取z变换,带入边界条件,97,整理为,98,三序列线性加权,共求导m次,99,四序列指数加权,同理,证明：,（z域尺度变换）,100,例题,解：,101,五初值定理,证明初值定理：,102,推理 x(1)？,理解,103,例题,解：,104,六终值定理,105,无,无,有，1,有，0,例题,106,终值存在的条件,(1) X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;,例： ，终值为0,(2)若极点位于单位圆上，只能位于 ，并且是一阶极点.,注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件 只有第一条。,例：u(n)，终值为1,107,七时域卷积定理,描述：两序列在时域

16、中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。,注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点 相抵消，则收敛域可能扩大。,108,例题,解:,109,由Y(z)求y(n),110,8.7 用z变换解差分方程,描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。,求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 时域方法烦琐 z变换方法,差分方程经z变换代数方程； 可以将时域卷积频域（z域）乘积； 部分分式分解后将求解过程变为查表； 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。,111,一应用z变换求解差分方程步骤,(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）,(2)由z变换方程求出响应Y(z),(3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n),一步骤,112,二差分方程响应y(n)的起始点确定,全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定,对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前,观察Y(z)分子分母的幂次,分母高于分子的次数是响应的起点,三差分方程解的验证,113,例题,解：,方程两端取z变换,114,115,解：,116,117,8.8 离散系统的系统函数,一单位样值响应与系统函数 二离散系统的稳定性,主要内容：,118,一单位样值响应与系统函数,1.定义,2.h(n)和H(z)为一对z变换对,119,线性时不变离散系统由线性常系数差分方