6.4数列通项与求和.ppt

1、6.4数列的通项与求和,知识梳理,数列求和的常用方法,1.公式法,2.倒序相加法,3.错位相减法,4.裂项相消法,5.分组转化法,6.并项法,定义及通项特征,涉及公式,典型例题,小结及作业,1.公式法:直接应用等差或等比数列求和公式及常见公式的 求和方法,(1) 等差、等比数列的求和公式_ _,(2)掌握一些常见的数列的前n项和.,1+2+3+n=;,1+3+5+(2n-1)=;,2+4+6+2n=;,12+22+32+n2=;,13+23+33+n3=.,答案：(2)n2n(n+1),返回知识框,2.倒序相加法,如果一个数列an,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数

2、列的前n项和即可用倒序相加法,如数列的前n项和公式即是用此法推导的.,3.错位相减法,如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如数列的前n项和公式就是用此法推导的.,答案：等差 练一练1,答案：等比 练一练2,注意事项： 1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.,4.裂项相消法 ：把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些 项可以相互抵消,从而求得其和.,2)常见的拆项公式有:,(1)

3、=-;,(2)=;,(3)=;,(4)=;,(5)=(-). 练一练3,5.分组转化法,把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解. 练一练4,6.并项求和法,一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.,例如Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050 基础自测,一、倒序相加法求和 例1.已知函数 则 解：,返回知识框,二、错位相减法 例2.设数列 的通项公式是 ，求其前n项和 。,方法提炼1.用错

4、位相减法求和时,应注意:,(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;,(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.,2.利用错位相减法求和时,转化为等比数列求和.若公比是个参数(字母),则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.,返回知识框,三、裂项相消法 例3.设数列 的通项公式是 ，求其前n项和 。,返回知识框,四、分组转化法求和,【例4】(1) 已知函数f(x)=2x-3x-1,点(n,an)在f(x)的图象上,an的前n项和为Sn，,求Sn.,(2)数列 的通项 ，求前n项和

5、Sn,Sn=a1+a2+an=(2+22+2n)-3(1+2+3+n)-n=-3-,n=2n+1-2.,解:(1)依题意an=2n-3n-1,(2),方法提炼1.数列求和应从通项入手,若无通项,则先求 通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和.,2.常见类型及方法.,(1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解;,(2)an=aqn-1,利用等比数列前n项和公式直接求解;,(3)an=bncn,数列bn,cn是等比数列或等差数列,采用分组求和法求an的前n项和.,返回知识框,基础自测,1.+等于().,A.,B.,C.1-,D.3-,答案：A,

6、2.已知数列an的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等 于().,A.13B.10,C.9D.6,3.数列(-1)n(2n-1)的前2 012项和S2 012=().,A.-2 012B.2 012,C.-2 011D.2 011,答案：D,答案：B,4.(东方红中学高三摸底) 已知数列an的前n项和为Sn且an=n3n,则Sn=.,答案：,能力提升,【1】已知等差数列an的首项a10,前n项和为Sn,且S4+a2=2S3;等比数列bn满足b1=a2,b2=a4.,(1)求证:数列bn中的每一项都是数列an中的项;,(2)若a1=2,设cn=,求数列cn的前n项和Tn.,(1)证明:

7、设等差数列an的公差为d,由 S4+a2=2S3,得4a1+6d+a1+d=6a1+6d,a1=d,则an=a1+(n-1)d=na1.,b1=2a1,b2=4a1.,等比数列bn的公比q=2,则bn=2a12n-1=2na1,2nN*,bn中的每一项都是an中的项.,(2)解:当a1=2时,bn=2n+1,cn=,=2,则Tn=c1+c2+cn=,2,=2,=.,【2】 (2011课标全国高考,理17)等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.,(1)求数列an的通项公式;,(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列的前n项和.,解:(1)设数列an

8、的公比为q.由=9a2a6得=9,所以q2 = . 由条件可知q0,故q=.,由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.,故数列an的通项公式为an=.,(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-.故=-=-2,+,=-2,=-,所以数列的前n项和为-.,方法提炼1.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并 不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.,2.一般情况如下,若an是等差数列,则=,= .此外根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和.,3.

9、常见的拆项公式有:,(1)=-;,(2)=;,(3)=;,(4)=;,(5)=(-).,【3-1】 已知等差数列an和正项等比数列bn,a1=b1=1,a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.,(1)求数列an,bn的通项公式;,(2)若cn=2an,求数列cn的前n项和Tn;,(3)求使Tn52成立的n的最大值.,解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为,q,由题设知a3+a5+a7=9,3a5=9.a5=3.,则d=.,an=a1+(n-1)d=.,a7=4.,又=b3b7=16,=b3b7=16.,又b50,b5=4.,q4=4.,又q0,q=.,bn=b1qn

10、-1=.,(2)cn=2an=(n+1)2n-1,Tn=c1+c2+cn,=2+32+422+(n+1)2n-1,2Tn=22+322+n2n-1+(n+1)2n,-得-Tn=2+21+22+2n-1-(n+1)2n=-(n+1)2n+1=-n2n,Tn=n2n.,(3)由Tn52,得n2n52.,n2n是递增数列,而当n=3时,323=2452;,当n=4时,424=416=6452.,n的最大值为3.,【3-2】 已知在数列an中,a1=3,点(an,an+1)在直线y=x+2上.,(1)求数列an的通项公式;,(2)若bn=an3n,求数列bn的前n项和Tn.,解:(1)点(an,an+

11、1)在直线y=x+2上,an+1=an+2,即an+1-an=2.,数列an是以3为首项,2为公差的等差数列,an=3+2(n-1)=2n+1.,(2)bn=an3n,bn=(2n+1)3n.,Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,3Tn=332+533+(2n-1)3n+(2n+1)3n+1.,-得-2Tn=33+2(32+33+3n)-(2n+1)3n+1,=9+2-(2n+1)3n+1,=-2n3n+1,Tn=n3n+1.,方法提炼1.用错位相减法求和时,应注意:,(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;,(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特