第五章 系统稳定性1

1、第五章 系统的稳定性,本章重点： 1、Routh判据、Nyquist判据和Bode判据的应用； 2、系统的相对稳定性；,本章难点： Nyquist判据及其应用。,5-1 基本概念,一、稳定的定义：,由系统的初始状态所引起的响应，若随时间的推移逐渐衰减并趋向于零，系统能恢复原来的平衡状态，则称系统稳定。 相反，若在初始状态影响下，系统的时间响应随时间推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统不稳定。,二、稳定的条件,系统稳定的条件：系统全部特征根si都具有负实部，即都位于s左半平面。,2、若有部分极点位于虚轴上，而其余极点位于左半平面，则系统响应是等幅振荡曲线，系统称为临界稳定。通常认为临界

2、稳定也属于不稳定情况。,说明：1、线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构和参数，与外界输入及初始状态无关。,5-2 Routh稳定判据,基于特征根与特征方程系数的关系建立。 通过对系统特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，从而判断系统的稳定性。,一、系统稳定的必要条件,二、系统稳定的充要条件,将系统的特征方程的系数分成奇、偶两组，排成两行，作为Routh表的表头。,.,Routh判据（稳定性充要条件）：第一列各元素均为正， 符号改变次数=具有正实部的特征根数目,第一列中，从1到-30，符号改变一次，从-30到12，符号改变一次，所以系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。,

3、三、劳斯表计算中的两种特殊情况：,1）某行中第一个元素为零，而该行存在非零元素时，可用一个很小的正数代替第一零元素，计算劳斯表。,第一列中，符号改变两次，所以系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。,说明： (1)第一列元素符号改变的次数为不稳定根的个数； (2)若第一列元素符号不改变，系统为临界稳定。,2）某行中所有元素为零，可用该行的上一行元素构建辅助多项式，对其求导，将各阶导数的系数代替劳斯表中全为零的行，继续计算。,.,第一列中，符号改变一次，所以系统不稳定，有一个具有正实部的特征根。,四、低阶系统Routh判据形式,1、二阶系统 D(s)=a2s2+a1s+a0=0，其Routh判据为

4、： a20 a10 a00,2、三阶系统 D(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0=0，其Routh判据为： a30 a20 a10 a00 a1a2a0a3,五、劳斯判据的适用范围 1、实系数的代数方程式； 2、该判据采用闭环传递函数来描述系统稳定型。 （用的是特征方程的系数与特征根的关系）,5-3 Nyquist稳定判据,基于特征方程D(s)=1+GK(s)与GK(s )的关系建立。 通过GK(j)= G (j) H(j)的Nyquist图，采用几何法判别系统的稳定性。,Nyquist判据优点： 1、不需知道D(s)，采用实验的方法测得GK(j)的曲线，即可分析闭环系统的特性。 2、可指

5、明系统的稳定性储备相对稳定性。 3、如Routh判据，可指出系统具有的不稳定特征根（具有正实部特征根）的个数。 4、用开环传递函数判断闭环系统的稳定性。,一、幅角原理（Cauchy定理）,幅角原理：利用关系函数F(s)将s平面上的闭合曲线或轨迹映射到平面F(s)上。,其中：s为复变量，在s复平面上用s=+j表示； F(s)为复变函数，在F(s)复平面上用F(s)=+j表示。,设： F(s)在s复平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数，即对于在s复平面上的任一点，在用F(s)平面上必有一个映射点与之对应 。,二、辅助函数,三、Nyquist稳定判据,四、开环含有积分环节的Nyquist,五

6、、Nyquist判据应用方法 1、据开环传递函数确定具有正实部的极点个数p； 2、做GK(j)的Nyquist图，确定N，N即Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数； 3、运用Nyquist判据N=z-p确定z；若z=0，则系统稳定。,关于Nyquist判据的极点说明： 1、Nyquist判据实在GH平面判定系统的稳定性： 通过幅角原理将s平面的Ls曲线（虚轴）映射到GH平面上为GK(j)的Nyquist曲线，通过判断该轨迹包围(-1,j0)点的情况来判定系统的闭环稳定性。,2、Nyquist判据应用简单，因通常系统均为开环稳定系统，所以，要判定闭环系统的稳定性，只要看Nyquist是否逆时针包围(-1,j0)点即可。,3、开环Nyquist轨迹对实轴是对称的，所以只绘制出由0的曲线即可判定系统稳定性。,例,六、具有延时环节的系统的稳定性分析,延时环节不改变系统的幅值，但会使系统的相频滞后。如：,系统串入延时环节会使系统稳定性变差。,5-4 Bode稳定判据与系统的相对稳定性