第三章 第6讲 函数与方程

1、,第 6 讲 函数与方程 1函数的零点,(1)方程 f(x)0 有,函数 yf(x)的图像与 x 轴有,函数 yf(x)有零点,实根,交点,f(a)f(b)0,(2)如果函数 yf(x)在区间(a，b)上的图像是连续不断的，,且有,，则函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点,2二分法 (1)如果函数 yf(x)在区间m，n上的图像是连续不断的一,条曲线，且,，通过不断地把函数 yf(x)的零点所在区,间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点,近似值的方法叫做,f(m)f(n)0,二分法,(2)给定精度，用二分法求函数 yf(x)的零点近似值的步骤,如下：,m，n,f(m)f(n

2、)0,确定区间,，验证,，给定精度,；,求区间,的中点,；,m，n,x1,计算 f(x1)：若 f(x1)0，则 x1 就是函数 yf(x)的,；若,f(m)f(x1)0，则令,(此时零点 x0(m，x1)；若 f(x1)f(n)0，,则令,(此时零点 x0(x1，n),零点,nx1,mx1,2lgx 0 有解的区域是(,1用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经 计算 f(0)0，可得其中一个零点 x0_，第二次,应计算_以上横线上应填的内容为(,),A,A(0,0.5)，f(0.25) C(0.5,1)，f(0.75),B(0,1)，f(0.25) D(0,0.5)，f(0

3、.125),),B,1 x A(0,1 B(1,10 C(10,100 D(100，),3设 f(x)2xx4，x0 是函数 f(x)的一个正数零点，且 x0,(a，a1)，其中 aN，则 a,.,(，2)(6，),4如果二次函数 yx2mx(m3)有两个不同的零点，,则 m 的取值范围是,2,5如图 361 的函数图像与 x 轴均有交点，其中不能用,二分法求图中交点横坐标的是,(填序号).,图 361,考点 1,估算方程的解的范围,例 1：利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：,那么方程 2xx2 的一个根位于下列区间的(,),A(0.6,1.0) B(1.4,1.8) C(1.8,

4、2.2) D(2.6,3.0),解题思路：判断函数 f(x)2xx2 在各个区间两端点的符,号,解析：由 f(0.6)1.5160.360，f(1.0)2.01.00，故排,除 A；,由 f(1.4)2.6391.960，f(1.8)3.4823.240，故排除 B； 由 f(1.8)3.4823.240，f(2.2)4.5954.840，可确定方,程 2xx2 的一个根位于下列区间(1.8,2.2)，故选 C.,估算方程的解的范围，通常用二分法按步骤,去操作,【互动探究】 1若函数 f(x)axxa(a0 且 a1)有两个零点，则实数,a 的取值范围是,a|a1,解析：设函数 yax(a0，

5、且 a1)和函数 yxa，则函数 f(x)axxa(a0 且 a1)有两个零点，就是函数 yax(a0， 且 a1)与函数 yxa 有两个交点，由图像可知当 01 时，因为函数 yax(a1) 的图像过点(0,1)，而直线 yxa 所过的点一定在点(0,1)的上 方，所以一定有两个交点所以实数 a 的取值范围是 a1.,考点 2,二分法的应用,例 2：已知函数 f(x)lnx2x6. (1)证明函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明函数 f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过 1 . 4,【互动探究】 2已知 f(x)的图像是连续不断的，有

6、如下的 x 与 f(x)的对应 值表：,则函数 f(x)存在零点的区间是,(2,3)，(4,5),考点 3,一元二次方程根的分布,例 3：是否存在这样的实数 k，使得关于 x 的方程 x2(2k 3)x(3k1)0 有两个实数根，且两根都在 0 与 2 之间？如 果有，试确定 k 的取值范围；如果没有，请说明理由,【互动探究】,3已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10.,(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区,间(1,2)内，求 m 的范围；,(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求 m 的范围,解：(1)由已知，抛物线 f(x)x22mx2m1 与 x 轴的交 点分

7、别在区间(1,0)和(1,2)内，画出示意图如图 362，得,图 362,错源：解方程组时没有注意转换的等价性 例 4：当实数a为何值时，圆 x2y22axa210 与抛,【互动探究】,例 5：已知 f(x)log4(4x1)kx(kR)是偶函数 (1)求 k 的值；,有一个公共点，求实数 a 的取值范围,与二次方程 ax2bxc0(a0)的根的分布有关的结论： (1)方程 f(x)0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小af(r) 0.,1设函数 f(x)(1x)2ln(1x)2. (1)求函数 f(x)的单调区间；,1 (2)当 x e,1，e1,时，不等式 f(x)m 恒成立，求实数 m,的取值范围； (3)关于 x 的方程 f(x)x2xa 在0,2上恰有两个相异实 根，求实数 a 的取值范围,解：(1)函数定义域为(，1)(1，),由 f(x)0，得20； 由 f(x)0，得 x2 或1 x0. 因此递增区间是(2，1)，(0，)；递减区间是(， 2)，(1,0),2关于 x 的方程(x21)2|x21|k0，给出下列四个 命题： 存在