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文档简介

1、1,函数单调性的判别法,单调区间求法,小结 思考题 作业,第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性,曲线凹凸性的判别法,曲线的拐点及其求法,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,定理1,单调增加;,单调减少.,一、单调性的判别法,3,证,拉氏定理,(1),(2),此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.,4,例,解,定义域为,5,方法,问题,如上例, 函数在定义区间上不是单调的,定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数,的符号.,的分界点,二、单调区间求法,但在各个部分区间上单调,则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间,6,例,解,定义域,

2、单调区间为,7,例,解,单调区间为,定义域,8,区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零,如,不影响区间的单调性.,单调增加.,又如,内可导,且,等号只在,(无穷多个离散点)处成立,故,内单调增加.,9,例,证,10,例,证,定不出符号,11,12,证,练习,若令,则只须证明,单调增加.,而,拉氏定理,单调增加.,从而,13,?,(concave and convex),三、曲线凹凸性的判别法,1.定义,如何研究曲线的弯曲方向,14,定义1,恒有,凹,(凸),图形上任意弧段 位于所张弦的下方,图形上任意弧段 位于所张弦的上方,15,曲线弧上每一点的切线,定义2,(上),方,称为凹 弧.,(凸),

3、凹弧的曲线段,的切线斜率是单增的,是单增的,凸弧的切线斜率是单减的,是单减的.,而,利用二阶导数判断曲线的凹凸性,从几何直观上,随着x的增大,都在曲线的下,16,定理2,二阶导数,凹,(凸),2. 凹凸性的判别法,17,即,例,证,设,图形是凹的.,利用函数图形的凹凸性证明不等式:,18,例,解,凸,变,凹,的分界点.,19,1.定义,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的,拐点.,几何上,四、曲线的拐点及其求法,(inflection point),拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,20,拐点的第一充分条件,2. 拐点的求法,拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.,拐点的必要条件,具有二阶导数,则

4、点,(1),(2),是拐点的必要条件为,(或x0为二阶导数不存在的点),21,例,解,拐点,拐点,不存在,定义域为,(1),(2),(3),列表,22,例,解,拐点的第二充分条件,23,例,解,24,证,法一,用单调性证.,法二,用凹凸性证.,例,设,则,即,25,五、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,单调性的应用:,改变弯曲方向的点:,凹凸性;,拐点;,利用函数的单调性可以确定某些方程实根,的个数和证明不等式.,研究曲线的弯曲方向:,凹凸性的应用:,利用凹凸性证明不等式.,26,证,只要证,令,则,所以,即,有,得,思考题1,27,思考题2,2002年考研数学二, 8分,证明不等式,证,先证右边不等式.,设,单调减少,故有,即,再证左边不等式.,(两种方法),设函数,28,作业,习题3-4(

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