3.1-分岔.ppt

1、第三章 混沌 第一部分分岔与奇怪吸引子,一 简单数学分岔 引言 分岔概念 1 切分岔 2 转换键型分岔 3 叉式分岔 4 霍夫型分岔,弹性压杆的分岔,引言 分岔概念,分岔是一种普遍的自然现象。力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。 许多重要物理现象数学上可以某类微分方程来描述。数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。,弹性压杆的分岔,引言 分岔概念,在Ps 平面上 当 PPc 时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向 +s 或-s 方向,不同平衡状态的分岔点为 Pc。这时保持

2、直线是不稳定的，稍有扰动平衡状态便会偏向 +s 或 -s 。两种偏向 +s 或 -s 状态是稳定的。,1. 切分岔,数学模型,方程： 由 得平衡点 (a)当0时, 解 x0 为虚数，因此不存在奇点， (b)当0时出现两个奇点, 表明上述方程的解在 x0=0 处发生了分裂。,1. 切分岔,数学模型,0 两个奇点的稳定性 在解 x0 附近取一点，计算它与平衡点距离随时间变化。设距离： , 随时间变化：,忽略高阶量,解 ，当 时， ，解是稳定的，是稳定的结点。 解 ，当 时， ，解是不稳定的，它是鞍点。 切分岔是一个鞍结分岔 相流形状,解的稳定性与相流,1. 切分岔,解,2 转换键型分岔,利用方程：

3、 解在分岔点 ( x0 ,)(0,0) 处 发生转折，故称 转换键型分岔 解的稳定性 采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知： 0，平衡点 x0=0 是稳定的,平衡点 x0= m 是不稳定的； 0，平衡点 x0=0 是不稳定的，平衡点x0= m 是稳定的。,数学模型,平衡点,由分岔图可见，0或0都是一对鞍结点： 0时，x0=0 轴线是结点，x0= 是不稳定的； 0时，x0=0 的轴线是不稳定的，x0= 是稳定结点。 由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形状如下图。,2 转换键型分岔,相流,3 叉式分岔,利用方程： 由 得平衡点 分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。 解的稳定性： 0

4、时只有 x0= 0 的平衡点，经分析方法可知它是稳定的。 0有三个平衡点， x0= 0 是不稳定的，解 是稳定的。,数学模型,相流图形,杜芬方程具有叉式分岔 由势能曲线知： a. 在 时仅有一个平衡点： b.在 时存在三个平衡点： 可见在参数 k = 0 处发生了一次从单解 转为三解的叉式分岔。 c.在这三个平衡点中， ，处 在势能极小点，是稳定的； 处在势能极大点，是不稳定的平衡点。,3 叉式分岔,杜芬方程的叉式分岔,4 霍夫型分岔,数学模型,引入极坐标,求导,代入原方程,令正弦余弦系数相等,4.霍夫型分岔,分岔分析,C，t0 为积分常数。,1. 0，距离 随时间而缩短，当时间t时0。这表明

5、轴线上各点是稳定的焦点。 2. 0， 值随时间增长，不论初始 的大小如何，当t时都有 1/2，形成闭合圈即极限环。,4.霍夫型分岔,分岔分析,参数从负变到正，从焦点产生出极限环,这种分岔称霍夫分岔。分岔点位于=0。,4.霍夫型分岔,极限环,Hopf 分岔有超临界和亚临界的区别,二 平方映射与倍周期分岔,1. 平方映射 2. 平方映射的不动点及其稳定性 3. 平方映射的周期解,物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。一个以x为连续变量的单参数的动力学系统： 这里为系统参数。设系统状态作等间隔 t，t+1，t+2，t+3，变化，则时间演化方程改写为： 当时间间隔不取整数，各时

6、刻写成 相应的状态为： 时间演化方程变成离散方程： 数学上称为映射的方程。,映射方程,1平方映射,映射方程计算,1平方映射,对一个映射 的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值 将其代入映射计算得 ，将 代入映射计算得 ，由 可算得 ，如此一直计算得 。,例如： 一个简单映射 1 次迭代： 2 次迭代： n 次迭代： 于是有：,映射与微分方程对应关系,迭代计算,解方程,1平方映射,动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：,平方映射导出生态平衡方程,1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一个世代交替的生物种群是

7、在一个受制约的环境中生息繁衍的。 第 n 代数量: 第 n+1 代数量: A 如不考虑生存环境对种群生存的影响，第 n 代与第 n+1代有如下关系： 当 R 1，种群数量将线性地无限制增长。,1平方映射,平方映射导出生态平衡方程,B 种群受环境制约，数量有最大限额 ，种群繁殖空间 ，第 n 代与第 n+1代关系,1平方映射,平方映射计算,方程展开 xn+1 值与 xn 值是平方关系，称平方映射，文献中称洛吉斯蒂映射 (logistic map), 该式是抛物线表示式，也称抛物映射。 由于亲、子两代种群数约化值均在0 1间，因此参数取值在0，4内。,1.平方映射,可用迭代方法计算上述离散映射，即

8、给定参数值与初始值 x0 ，就有：,该迭代过程还可以采用图解的方法来表示,作图计算,准备: 1. 建立坐标系 2. 作条抛物线： 3. 作对角线，称恒等线 通过它做投影。,1.平方映射,平方映射 在 平面上是一条抛物线，抛物线高度由 m 值决定。,作图计算,1.平方映射,平方映射 在 平面上是一条抛物线，抛物线高度由 m 值决定。,一、从横坐标 x0 处作竖直线与抛物线相交，这点的纵坐标高度即为 x1;,二、从此点作水平线与对角线相交，此交点横坐标即为x1；,三、再由此点作竖直线，得到与抛物线相交时的高度x2，再将x2移植到对角线上，找到横坐标x2。从这里作竖直线与抛物线相交得x3，如此反复,

9、作图计算,1.平方映射,平方映射 在 平面上是一条抛物线，抛物线高度由 m 值决定。,平方映射的不动点,通过作图或数值计算表明，当参数取某些值时，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1相同时的数值，它不再因继续迭代而发生变化。对平方映射，不动点为： 解此方程得： 即有两个不动点。,2 .平方映射的不动点,平方映射的两个不动点,2 .平方映射的不动点,实际上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点A与B。 抛物线的高度与值有关，最大高度在 m=1/2 处且等于/4。,如果参数 较小(m1)，抛物线高度较低，它与迭代线只有一个交点，即原点A。在这种情况

10、下，不管初值如何迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。,m1时走向不动点 A,当参数m1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次数 n 的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。,2 .平方映射的不动点,=13 时走向不动点B,当 1 时平方映射会出现第二个不动点。下图 m 值为2.0与1.8时的迭代，可以看到虽然起始值很小，但每次迭代值增加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。,2 .平方映射的不动点,2.3 时振荡走向不动点B,当

11、m 值增大到2.3 时，迭代结果开始出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数值。例如，当m =2.8 时，迭代值经过多次衰减振荡后逐步稳定。,2.3 时通过振荡走向不动点B,2 .平方映射的不动点,不动点的稳定性,非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。 上述计算可见，当3迭代值出现持续振荡，说明迭代在= 3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。 如一维映射 具有不动点，即有解 设 en 为对不动点的偏离量，需继续迭代，有： 对右边在 x* 附近展开：,2 .平方映射的不动点,不动点的稳定性,略去高阶小项，并利用不动点方程则得： 对于稳定的不动点， 应有： ，即 对于不稳定的不动点, 应

12、有: ，即,2 .平方映射的不动点,不动点的稳定性,对于稳定的不动点，应有 , 即：,映射在不动点处斜率为 45,迭代单调的趋近于,迭代经过几次起伏趋近于,超稳定不动点，最有利的稳定情况，迭代图上对应于,2 .平方映射的不动点,不动点的稳定性,对于稳定的不动点，应有 ,即：,2 .平方映射的不动点,二周期解,当参数从=2.8 继续增大时，迭代出现的振荡将维持下去，这种情况称为周期解。图为= 3.2时迭代情况，取 x0=0.04，在迭代进行几次后，其终值在一大一小的两个定值之间跳跃，并与起始值无关，称为周期2 轨道运动。,3.平方映射的周期解, =3.2 时xn+1在一大一小两个值间跳跃,四周期

13、解,值进一步增大时迭代会出现的振荡起伏。值增大到3.5 以上，迭代的终值起伏每隔四次出现重复，称为周期 4 轨道运动。图为 =3.52 时的 xn+1n 曲线，仍取x0=0.2为起始值。,=3.52 时，xn+1 出现4周期循环。,3.平方映射的周期解,倍周期解序列,计算表明，随 m 的增加，稳定的周期轨道还在增加，于是可得如下倍周期分岔序列。 1.00 m 3.00 周期1轨道(不动点) 3.00 m 3.4495 周期2轨道 3.4495 m 3.5541 周期4轨道 3.5541 m 3.5644 周期8轨道 3.5644 m 3.5688 周期16轨道,3.平方映射的周期解,倍周期解序列,通常在确定的值下，迭代会进入一个周期 p的重复循环，即在次数 in 后迭代有： xn， xn+1， ， xn+p-1 xn+p， xn+p+1， ， xn+2p-1 重复相同的值，称为周期 p 轨道。如 P =1，称周期1轨道，为不动点；p =