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1、,第四章 数值积分与数值微分 2 牛顿柯特斯公式,一、牛顿柯特斯公式,二、偶阶求积公式的代数精度,三、几种低阶求积公式的余项,四、举例,一、牛顿柯特斯公式,1. 牛顿柯特斯公式,对于机械求积公式,将积分区间a,b划分为n等分，步长,选取等距节点 构造出的插值型求积公式,称作Newton-Cotes公式,柯特斯系数,2. 柯特斯系数的计算,由插值型求积公式可知,所以,引入变量变换,则,于是有,( ),即柯特斯系数的计算公式,当n=1时，,故一阶的牛顿柯特斯公式为,梯形公式,当n=2时，,故二阶的牛顿柯特斯公式为,辛甫生(Simpson)公式,而 n= 4时的牛顿柯特斯公式为,这里,特别称为,柯特

2、斯(Cotes)公式,注：其余柯特斯系数详见书上表4-1.,二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数精度,作为插值型的求积公式，n阶牛顿柯特斯公式至少具有n次代数精度，那么,两种特殊偶阶求积公式的代数精度,辛甫生(Simpson)公式,首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数精度，进一步当 f(x)=x3时，,而,这时有S=I,即辛甫生公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立，,又容易验证它对 f(x)=x4 是不准,确的，因此，二阶辛甫生公式实际上具有三次代数精度。,对四阶柯特斯公式进行检验发现：,四阶柯特斯公式实际上具有五次代数精度。,这不是偶然，一般地，有下面的定理。,偶数求积公式的代数精度,定理,当n为偶数时，牛顿柯特斯公式至少有n+1次代数精度。,注：在实际应用时，出于对计算复杂性和计算速度的考虑，我们常常使用低阶偶数求积公式，代替高一阶的奇数求积公式。,三、几种低阶求积公式的余项,利用数值求积公式的余项公式,1. 求梯形公式的余项,2. 求辛甫生公式的余项,辛甫生公式,3. 柯特斯公式的余项,四、举例,解,用梯形公式计算,余项,所以,

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