信号与线性系统分析(第四版)第3章.ppt

1、第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和,3.1 LTI离散系统的响应,注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。,差分与差分方程,差分方程的经典解,零输入响应和零状态响应,一、差分与差分方程,设有序列f(k)，则 ，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2) ，等 称为f(k)的移位序列。 仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。,1. 差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,定义差分,（1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k)

2、 = f(k) f(k 1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k1) = f(k) f(k1) = f(k)f(k1) f(k1) f(k2)= f(k) 2 f(k1) +f(k2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k1) + bmf(km),2. 差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。 将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an1y(

3、k 1) + + a0y(kn) = bmf(k)+ + b0f(km),差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。,例,一般不易得到解析形式的解。,差分方程的迭代解法,差分方程迭代解举例,例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k), 求y(k)。,解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) k=2 y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 k=3 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 1

4、0 k=4 y(4)= 3y(3) 2y(2) + f(4) = 10 ,二、差分方程的经典解,1.齐次解：,与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k),y(k) + an 1y(k 1) + a0y(k n) = bmf(k)+ b0f(k m),齐次方程 y(k) + an 1y(k 1) + + a0y(k n) = 0 特征方程 1 + an 1 1 + + a0 n = 0 ， 即 n + an 1n 1 + + a0 = 0 其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的特征根。,根据特征根，齐次解的两种情况,(2) 有重根 特征根为r重根时,例,例,差分方程齐次

5、解单根例,求解二阶差分方程y(k) 5y(k 1) + 6y(k 2) = 0 已知y(0) =2， y(1) =1，求y(k) 。,解：特征方程,齐次解,定C1， C2,解出,特征根,差分方程齐次解重根例,求差分方程y(k) + 6y(k 1) + 12y(k 2) +8y(k 3) = 0的解。,解：特征方程,齐次解,由初始条件定C1， C2 ， C3,三重特征根,2.特解yp(k):,激励f(k),响应y(k)的特解yp(k),特解的形式与激励的形式类似,例,或,差分方程全解举例,例：系统方程 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1

6、)= 1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。,解： 特征方程为 2 + 4+ 4=0 可解得特征根1=2= 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k2 , k0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0,代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/4,三、零输入响应和零状态响应,(1) 零输入响应：输入为零，差分方程为齐次,C由初始状态定（相当

7、于0的条件）,齐次解形式：,(2) 零状态响应：初始状态为0，即,求解方法,经典法：齐次解+特解,卷积法,y(k) = yzi(k) + yzs(k),例1,例2,零输入零状态举例,例：系统方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k0，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解：（1）yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k 1)+ 2yzi(k 2)= 0 yzi(1)= y(1)= 0, yzi(2) = y(2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1)

8、, yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2) yzi(0)= 3yzi(1) 2yzi(2)= 1 yzi(1)= 3yzi(0) 2yzi(1)=3 特征根为1= 1 ，2= 2,解为 yzi(k)=Czi1( 1)k+ Czi2(2)k 将初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= 2 yzi(k)=( 1)k 2( 2)k , k0,（2）零状态响应yzs(k) 满足,yzs(k) + 3yzs(k 1) + 2yzs(k 2) = f(k) yzs(1)= yzs(2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = 3yzs(k 1) 2y

9、zs(k 2) + 2k , k0 yzs(0) = 3yzs(1) 2yzs(2) + 1 = 1 yzs(1) = 3yzs(0) 2yzs(1) + 2 = 1,分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(1)k + Czs2(2)k + yp(k) = Czs1( 1)k + Czs2( 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= 1/3 , Czs2=1 yzs(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0,零输入响应举例,求系统的零输入响应。,系统的方程,解：零输入响应yzi(k)，即当f(k)=0时的解。,题中y(0)=y(1)=0 ，

10、是激励加上以后的，不能说明状态为0，需迭代求出 y(-1)， y(-2) 。,求初始状态,由初始状态确定C1，C2,解得,3.2 单位序列响应和阶跃响应,单位序列响应,阶跃响应,一、单位序列响应,单位序列(k)所引起的零状态响应，记为h(k) 。 h(k)=T0,(k),例1,例2,单位序列响应例1,例1：已知某系统的差分方程为 y(k) y(k1) 2y(k2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。,解： 根据h(k)的定义 有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) （1） h(1) = h(2) = 0 （1）递推求初始值h(0)和h(1)。,h(k)= h(k 1) + 2

11、h(k 2) +(k) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1,(2) 求h(k),对于k 0， h(k)满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 特征方程 (+1) ( 2) = 0 h(k) = C1( 1)k + C22k ， k0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= C1+2C2 = 1 解得C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)2k , k0 或写为 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)2k (k),单位序列响应例

12、2,例2： 系统方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) -f(k-2) 求单位序列响应h(k)。,解： h(k)满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k) (k 2) 令只有(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) 根据线性时不变性， h(k) = h1(k) h1(k 2) = (1/3)( 1)k + (2/3)2k(k) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)2k2(k 2),二、阶跃响应,g(k)=T(k), 0,由于,，(k) =(k) (k 1) = (k),所以,，h(k) =g

13、(k),(k2k1 ),两个常用的求和公式：,3.3 卷积和,卷积和,卷积和图解法,不进位乘法求卷积,卷积和的性质,一、卷积和,1 .序列的时域分解,任意序列f(k) 可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k1)+ f(2)(k2) + + f(i)(k i) + ,2 .任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,(k),h(k),由时不变性：,(k i),h(k i),f (i)(ki),由齐次性：,f (i) h(ki),由叠加性：,f (k),yzs(k),卷积和,3 .卷积和的定义,已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)

14、，则定义和,为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f1(k)f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。,举例,用定义求卷积和例,例：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yzs(k)。,解： yzs(k) = f (k)h(k),当i k时，(k i) = 0,(k)(k) = (k+1)(k),二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为 i得 f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转 f2(i)右移k f2(k i) （3）乘积： f1(i)

15、f2(k i) （4）求和： i 从 到对乘积项求和。 注意：k 为参变量。,举例,图解法求卷积和例,例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）换元,（2） f2(i)反转得f2( i),（3） f2(i)右移2得f2(2i),（4） f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(2) = 4.5,f2(i ),f2(2i),三、不进位乘法求卷积,f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。 如k=2时 f(2)= +f1(1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) +,=

16、+f1(1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k 1)+ f1(2)f2(k 2) + + f1(i) f2(k i) +,例： f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0 f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0,不进位乘法,f1(1) ， f1(2) ， f1(3),f2(0) ， f2(1),f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0),f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1),+ ,f1(3) f2(1),f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0),f1(1)f

17、2(1)+ f1(2)f2(0),f1(1) f2(0),f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 ,排成乘法,不进位乘法适用有限长序列卷积,若：,例如：,yzs(k)的元素个数?,举例,f(k) 序列 ， n1kn2,h(k) 序列 ， n3kn4,则 yzs(k) 序列 ， (n1 +n3) k (n2+n4),f(k) : 0k3 4个元素,h(k) : 0k4 5个元素,yzs(k) : 0k7 8个元素,不进位乘法求卷积和例,例: f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=0,3 ， 4， 0， 6,2 ， 1 ， 5,解:,15 ，20， 0， 30,3 ， 4， 0， 6,6 ，8， 0， 12,+ ,6 ，11，19，32，6，30,求f(k) = f1(k)f2(k),f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30 k=1,四、卷积和的性质,(1) 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.,(2) f(k)(k) = f(k) ， f(k)(k k0) = f(k k0),(3) f(k)(k) =,(4) f1(k k1) f2(k k2)