立体几何中的向量方法

1、复习策略立体几何是每年高考的重点，且试题基本保持相对稳定，因此复习时要注意以下几个方面：1.梳理定义、定理，如线面、面面平行与垂直的判定和性质定理.2.通过典型问题掌握基本解题方法，如空间角与距离的求法，简单几何体的面积与体积的计算，与球有关的组合体等问题.3.注意数学思想方法的运用，如转化与化归思想、等积变换、分割与补形、空间图形平面化等.4.充分发挥空间向量的作用，通过向量的坐标运算方法去研究空间图形，从而提高解题技巧.立体几何中的向量方法1空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a

2、2，a3)；aba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3(R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，cosa，b.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|.2立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：

3、设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为(2)用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1

4、u20.(4)点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d. 一种思想向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题 三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：(1)平行(2)垂直(3)点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是求异面直线之间距离，

5、直线与平面距离和平面与平面距离的基础3空间的角(1)异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线aa，bb.则把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0的角(3)二面角的平面角如图在二面角l的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则AOB叫做二面角的平面角2空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角

6、满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的夹角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小()如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，()如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n2三种成角 (1)异面直线所成的角的范围是； (2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是0， 易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2

7、的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点三种空间角的向量法计算公式1.两条异面直线所成角的求法 设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则cos =|cos |=|ab|a|b|(其中为异面直线a,b所成的角).2.直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,两向量e与n的夹角为,则有sin =|cos |=|en|e|n|.3.二面角的求法我们对于二面角的处理常常是转化为平面角,所以在解决二面角时有以下三种方法:(1)先作出二面角的平面角,再利用向量的数量积公式求解:设AOB是二面角l的一个平面角,则向量OA与OB所成

8、的角就是所求的二面角的大小.cos =OAOB|OA|OB|,求出的值即可,注意二面角的范围是0,.(2)利用平面的法向量求解:设n1是平面的法向量,n2是平面的法向量.a.若两个平面的二面角如图(1)所示,则n1与n2之间的夹角就是欲求的二面角;b.若两个平面的二面角如图(2)所示,设n1与n2之间的夹角为.则两个平面的二面角为-.(3)利用与棱垂直的向量求解:设n1是在平面内垂直于二面角的棱l的向量,n2是在平面内垂直于二面角的棱l的向量(如图(3).设n1、n2之间夹角为,则二面角l大小为.方法点睛向量法解决线线、线面、面面的平行、垂直关系用向量法证明线面间的位置关系,首先建立合适的空间

9、直角坐标系,借助直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直关系证明线面间的垂直、平行关系,利用向量的坐标运算证明几何关系.该类型充分体现了向量的工具性.例：(2011年福建卷,理20)如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,四边形ABCD中,ABAD,AB+AD=4,CD=2,CDA=45.(1)求证:平面PAB平面PAD; (2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长;在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P、B、C、D的距离都相等?说明理由.解:(1)因为PA平面ABCD, AB平面ABCD, 所以PAAB.1分又ABAD,PAAD=A, 所以AB平面PA

10、D.2分又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.3分第(1)问赋分细则:(1)证出PAAB得1分,未写出AB平面ABCD不得分;(2)证出AB平面PAD得1分,未写出PAAD=A不得分;(3)写出平面PAB平面PAD得1分.(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系Axyz(如图).在平面ABCD内,作CEAB交AD于点E,则CEAD.4分在RtCDE中,DE=CDcos 45=1,CE=CDsin 45=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4得AD=4-t,所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),CD=(-1,1,0),P

11、D=(0,4-t,-t).5分设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由nCD,nPD,得-x+y=0,(4-t)y-tz=0.取x=t,得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).又PB=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30得cos 60=|nPB|n|PB|,即|2t2-4t|t2+t2+(4-t)22t2=12,解得t=45或t=4(舍去,因为AD=4-t0),6分 所以AB=45.7分假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.8分设G(0,m,0)(其中0m4-t),则GC=(1,3-t-m,0),GD=(0,4-t-m,0),GP=(0,-m,t).由|GC|=|GD|得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m;()由|GD|=|GP|得(4-t-m)2=m2+t2.()由()、()消去t,化简得m2-3m+4=0.()由于方程()没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P、B、C、D的距离都相等.11分从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P、B、C、D的距离都相等.12分第(2)问赋分细则:(1)建立坐标系得1分,未说明如何建立坐标系扣1分;(2)用t表示出CD、PD得1分;(3)设出平面法向量,计算正确得1分;(4)