第5章系统的稳定性

1、,第五章 系统的稳定性,稳定性是控制系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。,如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。,稳定性的概念,系统稳定性，是指系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。 否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。,系统稳定性是系统固有的一种特性，只取决于系统结构参数，而与初始条件及外界作用无关。,定 义,李雅普诺夫稳定性

2、,对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。,稳定：设系统的平衡工作点为0，若扰动使系统偏离平衡工作点的初始偏差不超过 ，扰动引起的输出的终态不超过允许的域 ，称为李雅普诺夫意义下的稳定。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。,渐近稳定：系统的输出在初始偏差作用下，其终态能回到原始平衡工作点。,大范围渐近稳定：系统在任意初始条件下都保持渐近稳定。,李雅普诺夫定义下的稳定,0,线性系统的稳定性决定于系统本身固有的特性，与外界条件无关，决定于瞬态分量是否衰减。,稳定性的充分必要条件,设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲(t) ，这时系统的输出增量为为脉冲响应g(t)。相当于系统在扰动信

3、号作用下输出偏离原平衡状态的情况。,若t时，脉冲响应,即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳定的。,设系统闭环传递函数,闭环特征方程,设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下,闭环特征根,则系统脉冲响应的拉氏变换,得系统的脉冲响应函数,(1)若 为实数,若系统稳定,(2)若 为复数,发散,系统脉冲响应的拉氏变换,(3)若特征根为k个实根，r个复数根,系统稳定的充要条件： 线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都具有负实部，或都位于s平面的左半平面，则系统稳定。,说明：若系统有极点位于虚轴上或原点，其余极点均位于s平面的左半平面，则零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处于临界稳

4、定状态，属于不稳定系统。,例,已知单位反馈系统的开环传递函数 ，试说明系统是否稳定。,系统稳定,解：,系统的闭环传递函数为,特征方程,特征根,系统稳定的充要条件：全部特征根都具有负实部。,系统稳定的必要条件,闭环特征方程,若使全部特征根 p1,p2,pn 均具有负实部，系统必须满足以下条件：,特征方程的各项系数 ai的符号都相同。,特征方程的各项系数 ai0 ；,系统稳定的必要条件：特征方程的各项系数ai 0 。,劳斯（Routh）稳定判据,设系统的闭环特征方程式为如下标准形式,劳斯数列（劳斯表）,特点：逐行计算，运算中的空位置零，系数呈上三角形。,g1 = an,线性系统稳定的充要条件,劳斯

5、表中第一列各值为正。 若劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，等于系统特征方程具有正实部根的个数。,例,已知系统的特征方程 ， 试用劳斯判据判别系统的稳定性。,第一列的系数都为正数，系统稳定,解：,（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。,（2）列劳斯数列表,系统稳定的充分条件：劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号。,例,已知系统的特征方程 ，试用劳斯判据判别系统的稳定性。,有两个正实部的特征根，系统不稳定,解：,（1）系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。,（2）列劳斯数列表,劳斯数列表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征

6、方程具有正实部特征根的个数。,劳斯判据的特殊情况,1、劳斯数列中某一行的第一列元素为零，但其余不为零或不全为零,用一个很小的正数 来代替第一列等于零的元素，然后继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后令小正数 趋于零 ，再按照前述方法对系统稳定性进行判据。,第一列为零,系统不稳定，有两个根具有正实部,例,已知系统的特征方程 ，试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：,（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。,（2）列劳斯数列表,2、若劳斯数列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些绝对值相同，但符号相异的特征根。,(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相

7、异的根。,(1)用(k-1)行元素构成辅助多项式，辅助方程的最高阶次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。,(2)将辅助多项式对s求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。,解得,例,系统特征方程 ，试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：,（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。,（2）列劳斯数列表,全零行,辅助多项式,有两个共轭虚根，系统临界稳定。,例,已知系统特征方程 ，试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：,（2）列劳斯数列表,（1）系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。,辅助多项式,第一列元素不全为零，系统有正实部特征根，系统不稳定。,解得,劳斯判据的应用,可

8、以判别系统是否稳定，即系统的绝对稳定性。,可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。,可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。,稳定裕量的检验,令 ，即把虚轴左移 。将上式代入系统的特征方程式，得以 z 为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴（垂直线 ）的右边。,如果所有根均在新虚轴的左边（新劳思阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量 。,例,检验特征方程式 ，是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s=-1的右边。,解：,（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。,（2）列劳斯数列表,劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号，

9、故没有根在s右半平面。,新的劳斯阵列表,令 s= z-1，代入特征方程式，得,即：,从表中可看出，第一列符号改变一次，故有一个根在直线s= -1（即新坐标虚轴）的右边，因此稳定裕量不到1。,分析系统参数对稳定性的影响,一单位反馈控制系统下图所示，求使系统稳定的k的范围。,系统的传递函数为,特征方程,系数都为正实数,例,解：,列劳斯阵列表,0 K 30,K 0，30-K 0,特征方程,系统稳定的充分条件：劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号。,即,解得,乃奎斯特稳定判据,乃奎斯特(Nyquist)稳定判据,简称奈氏判据,又称频域法判据，是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性G

10、(j)H(j)与复变函数F(s)=1+G(s)H(s)位于s平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。,乃氏判据是一种图解法，它根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性。频域判据使用方便，易于推广。,基本原理,幅角映射是指利用关系函数F(s)将s平面上的闭合曲线或轨迹映射转换到另一个平面上。,映射的概念,幅角原理,假设复变函数F(s)为单值，且除了s平面上有限的奇点外处处连续，也就是说F(s)在s平面上除奇点外处处解析，那么对于s平面上的每一个解析点，在F(s)平面上必有一点（称为映射点）与之对应。,当系统的开环传递函数为,例,s和F(s)的映射关系,若s平面上一封闭曲线Ls包围F(s)

11、 的Z个零点和P个极点（不经过F(s)的任何极点），则在F(s)平面上必有一对应的封闭映射曲线LF。当复变量s在s平面上顺时针方向沿Ls变化一周时，在F(s)平面上的映射曲线绕原点顺时针转过N圈，即N =Z -P。N0顺时针，N0逆时针，N=0表示不包括F(s)平面的原点。,复变函数F(s)的选择,闭环特征方程,开环传递函数,闭环传递函数,辅助函数,特 点,F(s)的零点即为系统闭环传递函数(s)的极点， F(s)的极点即为开环传递函数Gk(s)的极点。,F(s)与开环传递函数G(s)H(s)只相差常量1，F(s)的几何意义为：F(s)平面的坐标原点就是GH平面上的 (-1, j0) 点。,F

12、(s)=1+G(s)H(s)关系图,线性定常系统稳定的充要条件：闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0 的全部特征根都具有负实部，即(s)在s平面的右半平面没有极点。,F(s)在s平面的右半平面没有零点。,即,选择一条封闭曲线Ls包围整个s平面的右半平面，则封闭曲线Ls称为s平面上的乃氏轨迹。,s平面的Nyquist轨迹,若 F(s) =1+ G(s)H(s) 在s右半平面有Z个零点和P个极点，当 s 沿s平面上的乃氏轨迹移动一周，在F(s)平面上的映射曲线 LF 将顺时针包围原点 N =Z -P 圈。,由于 F(s) -1= G(s)H(s)，因此，F(s) 的映射曲线LF包围原点的圈数

13、就等于 G(s)H(s) 的映射曲线LGH包围 (-1, j0)点的圈数。,闭环系统稳定的充要条件：F(s)在s平面的右半平面没有零点，即 Z=0 。,若G(s)H(s)的乃氏轨迹逆时针包围(-1, j0)点的圈数等于其在s右半平面的极点数P，即 N =P，由N =Z -P 得出Z=0，闭环系统稳定。,乃奎斯特稳定判据,1、s平面虚轴上无开环极点,乃氏稳定判据,如果开环传递函数G(s)H(s)在s右半平面上有P个极点，当由 -变化到 +时，G(s)H(s)平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针包围 (-1, j0) 点P圈，则闭环系统稳定；反之，闭环系统就不稳定。,或,当由 0变化到 +时，G(s)H(s)平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针包围 (-1, j0) 点P/2 圈，则闭环系统稳定；反之，闭环系统就不稳定。,若 P= 0，闭环系统稳定的充要条件是G(j)H(j)不包围 (-1, j0) 点。,2、s平面原点处有开环极点,虚轴上有开环极点时的乃氏轨迹,如果有个开环极点在s平面的原点处，则G(s)H(s)平面上的乃氏轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从,即,当系统的开