固体电子论基础.ppt

1、第五章 固体电子论基础,特鲁特认为:金属中的价电子 电子气体 同离子碰撞 达到热平衡 电子移动 电流 电导,热导. 洛伦兹认为:电子气体服从麦克斯韦 玻尔兹曼统计. 经典电子气的理论计算结果: N个价电子,3N个自由度,总能量 ,只计算动能 , . 经典物理困难:试验值只有理论值的1%. 索末菲认为:电子不服从经典统计分布而遵守量子,统计分布Fermi-Dirac统计,从而计算出电子气体 的 ,获得了成功. 布洛赫和布里渊阐明了在周期场中运动的电子 的基本特征,为能带理论的建立奠定了基础. 近自由电子模型:自由电子+微扰 能带 , 根据禁带宽度的大小(金属,绝缘体,半导体),5.1电子气的能量

2、状态,金属中的价电子好比理想气体,无相互作用. 取平均势能为能量零点, . 电子逸出体外相当于在一定深度的势阱中运动的粒子所具有的能量. 三维无限深势阱中运动的粒子:,0,L,取箱内势能,其薛定谔状态方程为:,两边同除 分离变量:,方程的解:,边界条件:在势箱中运动的电子.,只剩下正弦项,余弦项为零. A为归一化常数,电子能量: 推广到无限个线度都是L的势阱 各个势阱相应位置波函数相等:,电子波函数: 波函数归一化: 电子能量:,电子动量: 电子速度: 驻波: 电子的平均动量,平均速度为零, 波矢在k空间,由一组量子数 表示. 为坐标的空间称为波矢空间也叫k空间. 每个点代表一个状态.,轴相邻

3、的两个代表点间的间距为 ,沿 轴相邻点的间隔也是 . 因而k空间每个状态的代表点占有体积: K空间单位体积含有的状态点数目: 平面波状态波矢 由一组量子数 确定, K空间: 为坐标轴的空间. 点:每个许可的状态可用一个点来代表.,相邻两个代表点间距: 波矢空间每个状态代表点占有的体积: K空间单位体积中含有状态数目: 从 中含有的状态数: 每个 波矢状态可容纳自旋相反的两个电子,所以体积元中可容纳的电子数:,自由电子能量:,E,能级密度与能量关系， 能量越大，也越大,.电子气的费米能量Fermi energy of electron gas,电子气体中的粒子：电子，e 满足：泡利不相容原理（P

4、aulis exclusion principle） 服从费米狄拉克统计（Fermi-Dirac statistics） 电子处在能量为E状态的几率：,是费米能量，或者化学势 意义：体积不变的条件下，系统增加一个电子所需要的自由能 是温度和电子数的函数 当 意义：表示在费米能级 ,被电子填充的几率和不被电子填充的几率是相等的,费米分布函数f(E)在不同温度时的图像. (1)T=0 k绝对温度,(2) (3)温度上升,函数f(E)发生大变化的能量范围变宽,但在任何情况,此能量范围约为 求费米(Fermi)能级 根据能级密度:,和热平衡时,电子处于能量为E的状态的几率: 以及能量EE+dE之间的电

5、子数 (1)当:,令 代表系统电子浓度, 求 数值估计,电子气系统每个电子的平均动能 (2) 每个电子的平均动能, 的解释:,即使在绝对零度,电子仍有相当大的平均能量。根 据热力学温度是平均动能的标志,T=0时,应该有 , 但是根据泡利不相容原理,每个状态只 能容纳两个自旋方向相反的电子,因此在绝对零度 不可能所有的电子都填在最低能态. 当 此时能量E大于 的能级可能有电子,能量小于,的能级可能是空的, 系统总电子数N. 第一项: 所以, 令,此为奇函数,此为偶函数,求 的关系: 在绝对温度时系统的总电子数:,当温度升高时, 比 小, 金属的费米能量:几个几十个 eV 费米温度:,一般温度下,

6、 自由电子能级: 当 时, 等能面的半径为:,物理意义(1)在绝对零度T=0k时,费米面以内的状态都被电子所占据,球外没有电子. (2) 时,费米球面半径 ,在 范围内能上的电子被激发到 之上约 的范围的能级.,5.3金属中电子气的热容The thermal capacity of electron gas in metal,洛伦兹自由电子论,N个自由电子,3N个自由度. 服从经典的统计规律: 试验结果，电子比热只有这个数值的百分之一. 索末菲认为:电子不遵守麦克斯韦-玻尔兹曼分 布,而是遵守费米-狄拉克分布. 自由电子构成电子气,有N个自由电子.,每个电子平均能量:,:绝对零度每个电子平均能

7、量.,每个的电子对热容量的贡献: 这是费米狄拉克统计方法计算的电子比热结果.,只有费米面附近 范围的电子受热激发才跃迁到较高的能级. 每个电子的能量 之间的电子才能被激发. 根据费米统计f(E)曲线可知,电子的能量范围约为 附近的 . 受激发的电子数(下页),每个电子具有热能 每个电子的平均能量是: 每个电子对热容的贡献: 讨论: (一)常温:,说明对增加系统热能有贡献的电子仅占总电子数的一小部分.所以通常温度下,金属的比热服从杜隆-珀替定律. 为了与试验结果相比较,计算金属没摩尔中自由电子对热容量的贡献: 每个原子有Z个自由电子(价电子),常温晶格对热容量贡献为: 电子对比热贡献很小. 当

8、电子气与晶格振动对热容量的贡献之比:,只有当温度很低时,才考虑电子对热容量的贡献. 二.温度甚低: 金属的摩尔热容是两部分之和: 截距r,斜率为b.,5.4功函数和接触势差,一.功函数: 电子在势阱内,势阱深度为 ,费米能级为 电子离开金属至少需要从外界得到： 称脱出功当电子获得能量时，电子逸出金 属，产生热电子发射电流 发射电流密度 查孙杜师曼公式,二接触电势差： （）两块不同的金属和接触或用导线联结会彼此带电，产生不同的电势 （）推导接触电势差：,每秒从金属单位面积逸出电子数： 每秒从金属单位面积逸出电子数： 如果，金属逸出的电子数比金属 多，金属带正电，金属带负电 荷V10,V20.附加

9、静电势能：e V1, e V2. 发射的电子数分别变为：,平衡时： ，由此得： 所以接触电势差： 此式表明：接触电势差来源于两块金属的脱出功不同 脱出功表明：真空能级与费米能级之差 所以，接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高,电子从费米能级高的金属流到费米能级低的金属 达到平衡时，两块金属的费米能级达到同一高度,.布洛赫波,晶体电子在规则排列的正离子势场中运动，势场具有晶格周期性 一维周期势场： 在周期场中运动的电子必须满足薛定谔方程： 布洛赫定理：,必定是按晶格周期函数调幅的平面波，即可 以写为 此种形式的波函数称为布洛赫函数 证明布洛赫定理： 平移算符：,V(x),H(x)有周期性，于是： 波函数不是周期函数，只满足： 现在将平移算符作用在薛定谔方程： 由此可知，,晶体有N个原胞，线度为L=Na,N个原胞的一维晶体就相当于首尾相连接的一个圆环,有,周期为a的一维晶格，倒格子的周期是 倒格子的坐标： 平移算符对这两个波函数有同样的效果为了使K的取值范围同算符的不同本征值一一对应，把K的范围限