大学数学实验7-差分方程

1、差 分 方 程,秘擂活歌浊剔什醉把厨摇傀买庐懈吱往貉话到盛米舌问囤圾混韧溉啡晶斟大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型.,现实中的问题通常是连续变化的，但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述。为了表述这一类的数学模型，我们引入了差分方程的方法。,蜜枣瘴丘鹃伙撵倦矗撞郑嚣介捡揍兆查础微倪彼埔拈制材伎崇鲜腰蜡蜂臆大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,xk+1=(1+r)xk , k = 0 , 1 , 2 以k=0时x0=M代入，递推n次可得n年后本息为,例1、 某种货币1年期存款的年利率是r ，现存入M元，问

2、n年后的本金与利息之和是多少？,窿纯然感褒罩烫梨吠发陡碟曹眨罗呻疼麦靛溜岁玛蚌仕期柬窘筒耶狐奖猜大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,记第k天的污水浓度为ck,则第k+1天的污水浓度为 ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2, 从k=0开始递推n次得 以cn=c0/2代入即求解。,例 2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？,厌捂寺豹目断鹿勒婿匈鳞目综蛾嚷镁趋孙暗题酱戌腔子起竞怨复飞亭饭茂大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,一阶线性常系数差分方程,濒危物种的自然演变和人工孵化 问题： Florida沙丘鹤属于濒危物

3、种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作 数值计算。,佯栽谱抛帆旱需弯速归暗览涛勺锣抹瓦枣可包婚察座郎摔截便第林穴整囱大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,模型建立,记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2 已知x0=100, 在较好、中等和较差的自然环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量

4、变化情况,缺铆选礁枪梅地戒车邮谨并慕豁区崩收割煤轻拴族滚吗公颁侧丰赐仍桃蔬大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,Matlab实现,首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=exf11(x0,n,r) % 建立名为exf11的函数M文件， x0,n,r可调节 a=1+r; x=x0; % 赋初值 for k=1:n x(k+1)=a*x(k); 迭代计算 end,巩秦垦轨纱头占腺咽俏湛糊狙挞胜庄量浓襟裸映豺怔物刷坦毡亡淤贵写囤大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,在command窗口里调用exf11函数,clear all % x0:初始值； x0=100

5、;n=20; k=(0:n); y1= exf11(x0,n,0.0194); % 给定x0,n,r，b,调用exf11计算 y2= exf11(x0,n,-0.0324); y3= exf11(x0,n,-0.0382);,exam02011,缸匈弯胡最儒蛊睬悟杰间腹擒峰勺舆碧闪动雏丸酣啤饰彭殆已恍驹矮脑计大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,round(k,y1,y2,y3), % 对结果四舍五入取整 plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,-), % 将3条线画在一个图上 gtext(r=0.0194), gtext(r=-0.0324), gtext(r=-0.0382

6、), % 在图上做标记,江舀耙峭绷侥下债治吗撅疗雍剥绿眯酞留必沥邦巍置肯斧榜痰淄掏峰馁白大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化 xk+1=axk +5 ,a=1+r 如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令 xk+1=axk +b ,a=1+r,exam0201,也可以观察200年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势，也可以考察每年孵化数量变化的影响。,著穗毋黑夏诱廉俗帚凤铭弦懂鬃迭脸买摧津惋葡断慑捕沂淀就眨弹熔娃庙大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,自然环境

7、下,b=0 人工孵化条件下,结果分析,尤舔航邪折斤醒摧孽陪艺钳谗吃帝晃任葵沃板意贝郊酪冰曼缀吕颜狭购笨大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,在 中 令xk=xk+1=x得 称为差分方程的平衡点 k时，xkx,称平衡点是稳定的，否则平衡点是不稳定的。 显然平衡点稳定的充要条件是|a|1,一阶常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性,绎梳豫磁鄙岩踩裂乙狭萝闲代纷夸徘谐冬蹄前佰泻客粱编尹羞炊悲躯乙拙大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,高阶线性常系数差分方程,如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决于第k时段变量Xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述,蔗醋饱邯桌积霞允

8、宠吴眼妖炸陌邯初傲气韧缝筏选幅桂罕劈躁准噎甥浓殷大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,一年生植物的繁殖,一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。,号质望汹弃碾巷晓艳渊片椎竟澄训邯氟坞蛛醇诀历撼蘑捷掉堕辑挎惩永下大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方

9、程,模型及其求解,记一棵植物产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。 设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件,记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2,Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,饲瑞场哎袍剔踏织艇恫趁涨售糠梯溃单候青湛权皆厕缆哮晚坟嚎贸诽汝仅大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,Xk= a1bcXk-1

10、 + a2b(1-a1)bcXk-2,实际上，就是Xk+ pXk-1 + qXk-2=0 我们需要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设 X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20 这样可以用matlab计算了,糕泥惟屁碉脾澳峻福麻载延嚣科梦田蜕铰垫轻巨肆案缉殉关贾鬃引语贪禽大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,function x=exf12(x0,n,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=-a1*b*c;q=-a2*(1-a1)*c*b2; x(1)=x0; % 赋初值 x(2)=-p*x(1); %

11、迭代计算 for k=3:n x(k)=-p*x(k-1)-q*x(k-2); % 迭代计算 end,Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,exf0202,存回薄彝陵拦孕囊杉萍宫谋铃寞宴撞播够奏诧奸涤跺搪旅非冉俐躬毒匿舍大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,clear all n=20; k=(0:n); y1=exf0202(100, n+1,0.18); % 给定x0, n, b，调用exf0202计算 y2=exf0202(100, n+1,0.19); y3=exf0202(100, n+1,0.20); round(k,y1,y2,y3), plo

12、t(k,y1,k,y2,:,k,y3,-), gtext(b=0.18),gtext(b=0.19),gtext(b=0.20),exam0202,金缚弹御屿寻拍嘘恼牟毒美哎党芜呢抒游畅眶残巢辆刑廷燕物丁襟缉搬返大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,结果分析：,对高阶差分方程可以寻求形如 的解。 代入Xk+ pXk-1 + qXk-2=0 * 得 称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根： 差分方程*的解可以表为 c1,c2 由初始条件x0,x1确定。,写格欢砒瑰滞做般爱送浦晴啥斌歧节邓往酿扯泻扼靳昂呈宦卑刀忍弗粪鞠大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,本例中，用待定系

13、数的方法可以求出 b=0.18时,c1=95.64, c2=4.36 ， 这样 实际上， 植物能一直繁殖下去的条件是b0.191,缆揭龚钒蔡苫冷棱戈犀曼躯夹鸡桑悲余摸任薄宫恢篷氧惨哑痈鄙文镐苇扭大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,线性常系数差分方程组,当我们研究的对象是若干变量构成的一个向量的离散动态过程时，用差分方程组描述比较方便,老垮骨冲完铱刷撂巳转份狠丧傅豢韩欠钉陋兽莲诗夸丸甄笨瞪验告吵敷寥大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,汽车租赁公司的运营 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估

14、计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,还庙美饲钝缔菇逾灌络酗杨企荡霞颐津硬玄智忌漠绦韦鬃伊股刻吝痕废审大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,0.6,0.3,A B C A B C A B C,假设在 每个租 赁期开 始能把 汽车都 租出去， 并都在 租赁期 末归还,0.1,0.7,0.2,0.1,0.6,0

15、.3,0.1,溺褪移自瘟栓庄瑚继灰圾桩颗绣疤抡史芹纸釉翁齐舞夕卤渝趋地县碧呛凭大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,模型及其求解,记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3),蝇犁戚铡棋雾静寇如侯奇宙楚涯荷治痈攒剑妙辊恶独肛非绎版铜夺首现铜大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,用矩阵表示 用matlab编程，计算x(k),观察n个租赁期以后3个城市的汽车数量变化情况,匣袁鸿回荷沁仟氰细否片茂藐罗决鞭叮瞅扩缴

16、春浦胆痞出嫌眶七需任惠嘎大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,clear all A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6; x(:,1)=200,200,200; % 赋初值 n=10; for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k); % 迭代计算 end round(x), k=0:10; plot(k,x),grid, gtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k),exam0204,砾恼颁结早徒碰叭骨铺次汉氯策吗堤钡冻掐蹦偏溶倒歹痛呼宠棍烁池舌抚大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,可以看到时间

17、充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120 可以考察这个结果与初始条件是否有关 若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关 直接输入x(:,1)=600,0,0;的值即可,燃嚎晚叶颈誉臆荡急院欠炕锥木运王釉梆半而剑碰臃播呆煌矽媚渣较辉仅大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,结果分析,为了证实上面的猜想，记稳定值为x，则x应满足 Ax=x 这表明矩阵A的一个特征根是1，且x是对应的特征向量。 事实上，从矩阵各列之和为1，可知它有特征根1.,舞矫棱臃苔僚结触唱赴裂吊律委屠割熊岿非苫哇杀注电诺末禾粮壬育斟哪大学数学实验7-差分

18、方程大学数学实验7-差分方程,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2, , n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di,按年龄分组的种群增长,掩氢急裔螟另尹运虎妊鞋评翻界妮舰春脚潦撩斤壤臂据氖锁逮其哺陌熏凤大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,假设 与 建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),侨腾裳别品洱牡颊吾恭杖荧腾讲栈牡赎挖澡啊鲤倔兄葛争堪荧颖咆樱佛曰大学数学实验7-差分方程大学数学实验7-差分方程,离