课题研究：数学建模

1、关于该主题的研究数字学习建设模式目录摘要.摘要1.数学建模的定义.2.数学模型的建立.3.数学建模的分类.4.数学建模原理.4.1可分析和可推导的原则.4.2简化原则.4.3反射原理.5.应用模式框架.6.培养大学生素质和能力的数学建模.6.1提出的问题.6.2问题讨论.6.3建模准备.6.4建模.6.5问题的补充.7.设计概要.8.参考.摘要：数学建模与大学生能力的培养密切相关。本文系统地分析了数学建模的各个方面，包括数学建模的定义、分类、建立、原则和框架。同时，通过对污染问题的介绍和讨论，详细阐述了建模的思维过程；从这一过程可以看出，数学建模可以培养和提高四种重要的思维能力，即综合应用分析

2、能力、“双向”翻译能力、联想能力和洞察能力。因此，数学建模能够培养大学生的能力是不言而喻的。关键词：数学建模；思维过程；思维能力；环境污染。摘要数学建模与大学生能力培养密切相关。在现有草案体系的基础上，对数学建模的各个方面进行分析，对数学建模进行定义、分类，原则上建立框架。同时，对污染的讨论和介绍，详细描述了建模的思维过程；并从数学建模的过程中梳理出四种批判性思维能力的训练和提升，分析能力的综合应用，“双向”翻译、联想、渗透能力。因此，学生的数学建模能力，不言而喻。【关键词】数学建模；思维过程；思考；环境污染。众所周知，随着科学技术的发展，数学建模的应用越来越广泛，涉及到许多科学领域。计算机是

3、数学和电子学的结合体，在解决科学计算和模拟方面起着重要的作用。计算机在数学建模中的应用使得求解更加方便、快捷和准确，进而将问题求解的领域从连续和离散的确定性领域扩展到随机不确定性领域。计算机模拟是处理这类问题的重要方法。同时，数学建模训练不仅可以提高学生应用数学的意识，还可以加强数学与实践的联系，实施数学素质教育。通过数学建模训练，可以培养和提高学生多方面的思维能力。本文拟对数学建模与能力培养进行探讨和分析。1数学建模的定义数学建模是一种数学结构，它是针对或指某一事物系统的主要特征和关系，用形式化的数学语言来概括或近似表达的。这里的数学结构有两个具体的要求：第一，这个结构是一个纯粹的关系结构，

4、也就是说，它必须是一个在数学上抽象地抛弃一切与关系没有本质联系的东西之后的系统；其次，这个结构是用数学概念和数学符号来描述的。2数学模型的建立要将数学方法应用于任何实际问题，就必须用数字、图表、公式和符号来表达问题的内在规律，并经过数学处理后获得定量的结果供人们分析、预测、决策或控制。这个过程就是建立数学模型的过程。这一过程是对研究对象进行具体分析和科学抽象的过程，旨在找到一个理想化和简化的数学模型，能够反映问题的本质特征。这就要求我们善于近似、简化和抽象，即深刻理解实际问题所属学科领域的基本规律，掌握一些在问题中起关键作用的量及其依赖性，并熟练运用数学概念、符号、公式和规律来描述它们的内在本

5、质规律。这是从宏观角度构建数字模型的方法。从微观的角度来看，我们面临的实际问题一般都是复杂的，影响一定量变化的因素很多，而且往往是并存的。3数学建模的分类根据数学模型的性质和建立数学模型的不同方法，数学模型有多种分类方法：根据模型来源：理论模型和经验模型；分为经济模式、生态模式、人口模式、交通模式等。根据研究对象进行分类；根据模型使用的数学工具，可分为函数建模、方程建模、三角形建模、概率建模、作战计划建模、复杂建模、数表建模等；根据对研究对象内部结构和性能的理解程度，可分为白盒建模、灰盒建模和黑盒建模；根据模型的功能，分为描述性数学建模和解释性数学建模。数学建模的4个原则4.1分析和推导的原则

6、通过数学模型，可以对所研究的问题进行理论分析和逻辑推导，并得到一些明确的结果。4.2简化原则数学模型应该比现实的原则更简单。现实原则通常是多因素、多变量、多层次的复杂系统。作为数学抽象的结果，数学模型应该在不同程度上把握支配现象的最基本的东西，这可以使人们更容易理解原型系统，起到简化复杂性和简化困难的作用。另外，数学模型本身应该简单，即在建立数学模型时，应该尽可能采用简单的数学工具。4.3反射原理数学模型实际上是人类对现实世界的一种反映。数学模型和现实原型之间应该有一定的相似性。5 Fra应用模式一般包括三个部分：将物理动作转换成数字信号并输入数据的部分；数字信号被转换成物理动作、处理后的决策

7、信息输出部分和数学模型部分。数学模型是应用的核心部分，具有处理信息的功能，三者构成了应用模式的统一整体。数学模型的建立一般包括以下步骤：模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验、模型推广和应用。模型假设和模型建立是构成机理分析的两个最重要的步骤。我们对事物理解的两条主线是：划分和联系的原则；公共财产与灵活性相结合。我们将这两条主线应用到模型假设和模型建立的过程中，并列出常见的具体方法，使人们对数学建模有一个更详细、更全面的了解。6数学建模对大学生素质和能力的培养我们不遗余力地分析数学建模的各个方面，以便对数学建模的概况有一个基本的了解。现在我们开始讨论数学建模的主要体现，即构建一个实际

8、问题的数学模型，并对模型的结果进行分析、检验和应用。其中，构建数学模型的探索过程不仅可以提高学生应用数学的意识，还可以加强教学与实践的联系，实施素质教育。通过数学建模训练，可以培养和提高思维能力的四个方面：综合应用分析能力、“双向”翻译能力、联想能力和洞察能力。接下来，我们将介绍一个具体的例子，这样思维能力的四个方面就可以在具体的例子中体现出来。6.1提出的问题：湖泊为人们提供了大量的水资源。除了饮用水，鱼还可以饲养和运输，这也是人们旅游的好地方。但是湖泊也被人们倾倒的垃圾和工厂排放的废气污染了。它们日益受到工业和生物污水的污染，如洗涤剂中的磷酸盐、杀虫剂中的滴滴涕和各种重金属化学元素。这些污

9、染会杀死水中的鱼和各种水生动植物。过量的磷酸盐会导致水体富营养化，并散发出难闻的气味。湖泊水污染很难控制，因此尝试根据湖泊水污染的特点对其进行建模。6.2问题讨论：湖泊的特点之一是湖水覆盖面积相对较大，周围污染源相对复杂，很难指明污染的原因。湖泊污染难以控制的原因是污染现象总是与社会政治经济因素密不可分，不考虑这些因素很难得到综合治理。通常，控制水污染的方法是依靠自然过程和水本身的自净能力来减轻污染。这对于河流污染控制来说一般是有效的，因为一旦被污染，它可以很快地自我清洁，但是对于被污染的湖水来说却不是一件容易的事情，因为被污染的水体会在湖中停留很长时间，仅仅依靠生物降解，一个大湖要多久才能明

10、显改善其污染程度？因此，湖水的平均停留时间对提高湖水的清洁度非常重要。显然，它是我们研究湖泊问题的关键参数。通过以上分析和讨论，我们可以得出以下三个结论：(1)湖泊污染受多种因素影响。(2)水体自洁不能有效解决湖泊污染。(3)湖泊污染与水在湖泊中的平均滞留时间密切相关。6.3建模准备：通过2中的讨论，我们对湖泊污染问题有了一个大致的了解，也找到了解决问题的方向。在实际问题中，初始数据可能是大量而复杂的。在充分占有数据的基础上，如何快速把握主要矛盾，摒弃次要因素，简化问题层次，是数学建模的重要要求之一，即“洞察能力”。它是一种直觉地理解和把握事物内在本质的能力，或者简而言之，它是一种“看透”的能

11、力。接下来，我们将进一步讨论和探索这个问题，并运用“综合应用分析能力”(即运用所学的数学思想和方法进行综合应用分析)将问题抽象成一个基本的数学模型。在这个分析过程中，我们会看到数学建模可以培养思维能力是不言而喻的。首先，考虑到2中的结论(1)，由于污染源很多，我们不可能分析所有种类的物质(污染物)，但由于它们都对湖水有影响，我们可以抽象出最本质的部分，即湖水中污染物的浓度，并定义出湖泊的污染状况。此外，由于污染物的流入和流出渠道不同，而且由于污染物的浓度不同，与湖水的混合速度也不同，为了得到一个统一的处理方法，我们可以考虑将所有的“流入”合并为唯一的进入渠道，将所有的“流出”合并为唯一的输出渠

12、道。同时，假设所有污染物都是“瞬时”的，这不会造成局部污染浓度的差异。其次，(2)在2中使我们能够从宏观的角度忽略生物因素，即忽略水的自净作用，即除了外流之外，污染物的衰变、沉积和蒸发等因素也可以忽略。最后，2中的(3)提供了研究该问题的一个重要参数，即湖水的滞留时间。从另一个角度来考虑，那就是排干湖水所需的时间。根据自然常识，我们知道湖水的含水量受不同季节降雨量的影响。此外，由于天气的温度，它还会造成快速蒸发的现象，并会影响入流。综上所述，我们可以建立一个理想的数学模型，它可以抽象为一个简单的“物理模型”:池水的盐度问题。让我们在下面介绍这个问题：(背景)池中有一定量的盐水，一定浓度的盐水从

13、池的一端注入池中。混合盐水将从水池的另一端流出。下面，为了解决“污染问题”，我们现在使用建模来描述池中盐水浓度的动态：(1)假设：1假设注入到池中的盐水快速且均匀地与池中的原始盐水混合，从而改变池中盐水的浓度。2参与模型的变量是不断变化的，并且足够平滑。(2)建模：【分析】(1)从假设可以看出，池内盐水的体积和浓度仅取决于盐水的注入速度和盐水的流出量速度和浓度。我们可以用数学符号来翻译它们：让R1 (t)和P1 (t)代表盐水注入的速度和浓度，r0 (t)和P0 (t)代表盐水流出的速度和浓度，V(t)是池塘中盐水的体积，p(t)是池塘中盐水的浓度。显然，这些量都是时间t的函数，并且可以假设它们足够平滑(连续可导)(2)因为(1)中的量都是随时间连续变化的，所以我们可以在一个小的时间段内考虑这些量之间的关系。(3)根据物质平衡原理，在时间段t，t *t内，池中纯盐的变化量应等于该时间段内纯盐的流入量与流出量之差；在此期间，池中盐水的体积变化应等于流出的盐水体积和流入的盐水体积之差。解决方