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文档简介

1、定理 (比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,(常数 k 0 ),定理 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,例 等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,时, 等比级数发散 .,时, 等比级数收敛 ;,交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,例. 讨论 p 级数,(常

2、数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,p 级数收敛 .,2) 若,6,第4章 级数series 4.1 复数项级数,7,内容要点,1：复数项级数；,2：幂级数，阿贝尔定理，收敛圆和收敛半径，和函数的性质；,3:解析函数的泰勒展式，一些初等函数的泰勒展开式；,4：罗朗级数，解析函数的罗朗展开式；,一、复数列的极限,1.定义,记作,2.复数列收敛的条件,那末对于任意给定的,就能找到一个正数N,证,从而有,所以,同理,反之, 如果,从而有,证毕,12,4.1 收敛序列和收敛级数,13,14,15,二、级数的概念,1.定义,表达

3、式,称为复数项无穷级数.,其最前面 n 项的和,称为级数的部分和.,部分和,收敛与发散,说明:,与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是:,18,2.复数项级数收敛的条件,证,因为,定理4.1.2,说明,复数项级数的审敛问题,实数项级数的审敛问题,(定理4.1.2),解,所以原级数发散.,课堂练习,必要条件,重要结论:,不满足必要条件,所以原级数发散.,级数发散;,应进一步判断.,3. 绝对收敛与条件收敛,注意,应用正项级数的审敛法则判定.,定理三,证,由于,而,根据实数项级数的比较准则, 知,由定理二可得,证毕,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,说明,如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛.,定义,所以,综上:,30,4.1 收敛序列和收敛级数,31,这个是公比小于1的几何级数，所以（a）级数是绝对收敛,32,33,34,故原级数收敛.,所以原级数非绝对收敛.,例3,解,下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.,而,解,练习,1,解,所以数列发散.,2,故原级数收敛, 且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,思考题,思考题答案,否.,放映结束，按Esc退出.,41,作业,P97: 1, 3,42,四、小结与思考,通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复

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