高等数学C练习1

1、高等数学高等数学 C C期末期末练习练习 1 1 一、填空题一、填空题 1. 3 1 limcos 3 x x x xx + + = 0 2. 已知 . (0)0,(0)ffk=，则 0 ( ) lim 2 x f x x = 2 k . 3. 设 2 sin()yf x=，其中 f 可导，则dy = 22 2()cos()xfxf x . 4. 3 x y =的n阶导数 ( )n y= 3 ( ln3) xn . 5. 函数2xy = =的n阶麦克劳林展开式中含 n x项的系数为_ (ln2) ! n n _. 二二、选择题、选择题 1. 0 ()0fx=是可导函数( )f x在 0 x点处

2、有极值的（ B ）. A. 充分条件； B. 必要条件； C. 充要条件； D. 既非必要又非充分条件. 2.当0 x 时，与 3 x不是同阶无穷小的是（ A ） A. 3 xx+ ； B. 3 11x+ ； C. sinxx ； D. 3 ln(1)x . 3. 设 0 x是连续函数)(xf的拐点，则 0 x必是)(xf的（ D ） A. 驻点； B. 二阶导数为零的点； C. 二阶导数不存在的点； D. 以上都不对. 4. 1x =是函数 1 1 )( = x x xf的（ B ） A. 连续点； B. 可去间断点； C. 跳跃间断点； D. 第二类间断点. 5.设某需求函数为800.1

3、()C=500020PQ PQQ=+是价格，是需求量，成本，则当 150Q =时边际利润=( D ). ； B. 50； C. 40； D. 30. 三、三、解答解答下列各题下列各题. . 1.求极限 + sin 0 lim x x x + + + sin ln 0 ln 1 0 0 = lim lim lim1 xx x x x x x x e e e = = 解：原式 2. 求参数方程 2 3 2 39 xtt ytt =+ = 所确定的函数( )yy x=的一阶导数和二阶导数 解: 2 2 2 d d333 d (1) d d222 d d3 d3 d2 d d224(1) d y yt

4、 t t x xt t y y t x xtt t = + = + 3. 求由方程 1 sin0 2 xyy+=所确定的隐函数( )y x的二阶导数. 23 1 1y cos0 2 2 2cos 2sin4sin (2cos )(2cos ) yy y y yyy y yy += = = 解： = 4.设ba，证明不等式：()() abab e baeee ba. 证明：令( ), x f xe= 则( )f x在( , )a b满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在( , )a b，使得 ( )( )( )()f bf afba=，即 () ba eeeba = 因为( , )a b，所以 a

5、b eee ， 故 ()() abab e baeee ba 5.设函数 ,0 ( ) cos ,0 axbx f x xx + = ，为使函数( )f x 在0 x =处连续且可导，, a b应取什么 值？ 解: 00 lim( )lim() xx f xaxbb + =+= 00 lim( )lim cos1 xx f xx = 因为( )f x在0 x =处连续，所以 0 lim( ) x f x 存在，从而 00 lim( )lim( ) xx f xf x + = 即1b = 000 ( )(0) (0)limlimlim 0 xxx f xfaxbbax fa xxx + + +

6、= 000 ( )(0)coscos1 (0)limlimlim0 0 xxx f xfxbx f xxx + = 又( )f x在0 x =处可导， 所以(0)(0)ff + =,即0a = 综上所述当0,1ab=时( )f x在0 x =处连续且可导. 四、四、某企业生产一种产品，固定成本为 400 万元，多生产一个单位产品时成本增加 10 万元，设产品产销平衡且产品的需求函数为100050 xp=（x为产量，p为价格） ，问 该产品生产多少单位产品时所获利润最大？最大利润是多少？ 解：设利润为( )L x，因为100050 xp=，所以 1 (1000)20 5050 x px=. 则

7、2 ( )(10400)10400 50 x L xxpxx=+= +， 令 2 100 50 x Lx = +=，解出唯一驻点250 x =， 2 0 50 L = . 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润达到最大， 且最大利润为 (250)850L=（万元） 五、五、求函数 2 3 2 (1) x y x =+ + 的定义域、单调区间、极值、凹凸区间、拐点、渐近线. 解 ：（1）定义域：1x （2） 22 333 ( )22, (1)(1)(1) x f x xxx =+=+ + 则 233 363(1) ( ) (1)(1)(1) x fx xxx = += +

8、，由( )0fx=得1x = 344 6186(2) ( ) (1)(1)(1) x fx xxx = + ，由( )0fx=得2x = （3）列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: x (, 1) 1 ( 1,1) 1 (1,2) 2 (2,)+ ( )fx - 不存 在 + - - ( )fx - 不存 在 - - + ( )f x 不存 在 极大 值 11 4 拐点 8 (2, ) 3 （4） 2 3 lim( )lim22 (1) xx x f x x =+= + ，得水平渐近线2y =， 2 11 3 lim( )lim2 (1) xx x f x x =+= + ，得铅直渐近线1x = . 六、六、设函数( )f x在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,且(0)0f=. 证明：至 少存在(0,1)使得 1 ( )(1)( )feff =. 证明: 构造辅助函数( )( ) x F xe f x=, 则显然有( )F