高数公式总结

1、高数公式大全 by rufen 高等数学高等数学公式公式汇汇总总 第一章 一元函数的极限与连续 1、常用常用初等初等函数函数公式公式： sin()sincoscossin cos()coscossinsin tantan tan() 1tantan cotcot1 cot() cotcot () () shsh chch sh chch chsh sh = = = = = = m m m 和差角公式： sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 + += + = + += + = 和差化积公式： 1 s

2、incossin()sin() 2 1 cossinsin()sin() 2 1 coscoscos()cos() 2 1 sinsincos()cos() 2 =+ =+ =+ =+ 积化和差公式： 2 222 2 2 2 222 sin22sincos cos22cos1 1 2sincossin 2tan tan2 1tan cot1 cot2 2cot 22 212 21 shsh ch chsh chchsh = = = = = = = = += = =+ 倍角公式： 高数公式大全 by rufen 2222 2222 sincos1;tan1sec; cot1csc;1 1 cos

3、 sin 22 1 cos cos 22 1 cos1 cossin tan 21 cossin1 cos 1 cos1 cossin cot 21 cossin1 cos xx xx ch xsh x +=+ = + = = + = = = + + = = 半角公式： 2 2 :ln(1 2 :ln(1) 2 11 :ln 21 xx xx xx xx ee shxarshxxx ee chxarchxxx shxeex thxarthx chxeex =+ + = + + = + 双曲正弦；反双曲正弦） 双曲余弦；反双曲余弦 双曲正切；反双曲正切 3322 ()()()abab aabb=

4、+m， 222 (1)(21) 12 6 n nn n + +=L 22 333 (1) 12 4 n n n + +=L 2、极限、极限 常用极限：1,lim0 n n qq =;1,lim1 n n aa =;lim1 n n n = ln(1( ) lim ln(1( )( )( )lim( ) ( )1/( ) ( )0, ( ),lim1( ) f x f xf xg xf x g xg x f xg xf xee + + = 若则 两个重要极限 1 00 sinsin1 lim1,lim0;lim(1)lim(1) x x xxxx xx ex xxx =+=+ :常用等价无穷小

5、2 11 1 cos; sin arcsin arctan ; 11; 2 1ln ; 1;(1) 1; ln(1) n xxa xxxxxxxx n axa exxaxxx + + 高数公式大全 by rufen 3 3、连续：、连续： 定义： 0 0 0 lim0;lim( )() xxx yf xf x = 00 00 lim( )lim( )()() xxxx f xf xf xf x + + =极限存在或 第二章 导数与微分 基本导数公式：基本导数公式： 0 000 0 00 0 ()()( )() ()limlimlimtan xxxx f xxf xf xf xy fx xxxx

6、 + = _0+0 ()()fxfx + =导数存在 122 22 0; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec; (cot )csc; (sec )sectan ; (csc )csc; ()ln ;(); 1111 (log); (ln); (arcsin ); (arccos ); ln 11 aa xxxx a Cxaxxxxxxxxx xxxxx ctgxaaa ee xxxx xax xx = = = = 22 22 22 11 (arctan ); (cot ); ();(); 11 1111 (); (); ();() 1 11 xarcxs

7、hxhx chxshx xx thxarshxarchxarthx ch xx xx = = + = + 2、高阶导数：、高阶导数： ( )( )( )( ) ! ()()!; ()ln() ()! nkn knnxnxnxnx n xxxnaaaee nk = ( )( )( ) 111 1( 1)!1( 1)!1! ( ); (); () ()() nn nnn nnn nnn xxxaxaaxax + = + ( )( ) (sin)sin(); (cos)cos(); 22 nnnn kxkkxnkxkkxn =+ =+ ( )1( )(1)1 (1)!1(1)! ln()( 1)ln

8、( )( )( 1) () nnnnn nn nn axx axxx += = + 牛顿-莱布尼兹公式： 高数公式大全 by rufen ( )()( ) 0 ( )(1)(2)()( )( ) () (1)(1)(1) 2! n nkn kk n k nnnn kkn uvC uv n nn nnk uvnuvuvuvuv k = = + =+ L LL 3、微分：、微分： 0 ()( )(); = ()( );yf xxf xdyoxdy fxxfx dx =+=+ = 连续极限存在收敛有界;=可微可导左导 右导连续； 不连续不可导 第三章 微分中值定理与微分的应用 基本定理基本定理 (

9、)( )( )(),( , ) ( )( )( ) ,( , ) ( )( )( ) F( ) f bf afbaa b f bf af a b F bF aF xx = = = 拉格朗日中值定理： 柯西中值定理： 当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 2、 ( ) 2 00 00000 0 (1)(1) 0 11 00 00 ()() : ( )()()()()()( ) 2! () ) : ( ); (, ),(0,1) ()( ) ()() (1)!(1)! n n n n nn n nn fxfx f xf xfxxxxxxxR x n o xx R xx x fxxxf xxxx

10、 nn + + =+ = + = + L泰勒公式 余项 ( )(1) 21 (0)(0)() : ( )(0)(0)( )( )( ); (0,1) 2!(1)! nn nn fffx f xffxxxx nn + + =+ + L麦克劳林公式 常用初等函数的展式： 2 1 1( );( );(0,1) 2!(1)! nx xn nn xxe exR x R xx nn + = += + L 高数公式大全 by rufen 3521 121 22 sin(21) 2 sin( 1)( );( );(0,1) 3!5!(21)!(21)! m mm mm xm xxx xxRx Rxx mm +

11、 + =+ += + L 242 22 2121 cos(1) cos1( 1)( );( );(0,1) 2!4!(2 )!(22)! m mm mm xxxxm xRx Rxx mm + + + = + += + L 241 11 10 1 1 ln(1)( 1)( )( 1)( 1); 2!3!1 ( 1) ( );(0,1) (1)(1) nnn nnn n nn n n n n xxxxx xxR x nnn R xx nx + = + + +=+ += + = + L 2 11 (1)(1)(1) (1)1( ); 2! (1)() ( )(1);(0,1) (1)! n n nn

12、 n n xxxxR x n n R xxx n + + += + =+ + L L L 2 0 1 ln (1)1( 1)( 1) 1 nnn n xxxxx x = =+= + = + L 3、 2222 3 2 30 22 2 1( )( ) .(:MMs ( )( )( )( ) Mlim=. (1) ( )( ) 1 0; . s dsy dxx ty tdtd KMM s yttttd K sds y tt KRK R =+=+=+ = = + + = 弧微分公式： 平均曲率：从点到点，切线斜率的倾角变化量；:弧长) 点的曲率： 直线的曲率：半径为 的圆的曲率： 2 3 (1)1

13、= y M Ky + = 曲线在点处的曲率半径: 高数公式大全 by rufen 第四章 不定积分 常用不定积分公式：常用不定积分公式： ( )( ); ( )( ); ( )( )f x dxF xCf x dxf xF x dxF xC=+=+ 1 1 (1); ln; 1 ; ; ln x xxx x x dxCdxxC x a a dxCe dxeC a + =+ =+ + =+=+ 22 22 sincos; cossin; tanln cos; cotln sin; secln sectan; cscln csccotln tanln csccot; 2 sectan; cscco

14、t; cossin sect xdxxCxdxxC xdxxCxdxxC xdxxxC x xdxxxCCxxC dxdx xdxxCxdxxC xx x = +=+ = +=+ =+ =+=+= + =+= + ansec; csccotcsc; ; ; xdxxCxxdxxC shxdxchxCchxdxshxC =+= + =+=+ 222 222 2222 22 22 arcsinarccos; arcsin; 1 1 arctanarccot; arctan; 1 11 ln; ln; 22 ln(); dxdxx x CxCC a xax dxdxx x CxCC xaxaa dx

15、xadxax CC xaaxaaxaax dx xxaC xa =+= +=+ =+= +=+ + + =+=+ + =+ 2 222222 2 2222 ln(); 22 arcsin 22 xa xa dxxaxxaC xax ax dxaxC a =+ =+ 高数公式大全 by rufen 2、常用、常用凑微分凑微分公式：公式： 2 2 2 2 1 2; ( ); (ln ); 11 ( 1); (1)() 1 (lntan ); cos sin dxdxdx dxddx xxxx xdx dxdxd x xx x dx dx xx = = =+=+ + = 3、有特殊技巧的积分、有特殊

16、技巧的积分 22 11 (1) sincossin() dx dx axbxx ab = + + sincos (2)lnsincos sincos cxdx dxAxBaxbxC axbx + =+ + 2 4 1 (3) 1 x dx x + + 22 11 () 1 ()( 2) d x x x x = + 第五章 定积分 1、基本概念、基本概念 00 11 1 ( )lim( )lim( )( )( )( ) , ( )( ) nn b b iia an ii i f x dxfxfF bF aF xF xf x n n = = 连续可积;有界+有限个间断点可积; 可积有界; 连续原函

17、数存在 ( )( )( )( ) x a xf t dtxf x= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x d f t dtfxxfxx dx = ( )( ( )( ) a b f x dxftt dt = ，( )( )( ) ( )( )( ) aa bb u x dv xu x v xv x du x= 高数公式大全 by rufen 2、常用定积分公式：、常用定积分公式： 0 ( ) ( )() aa a f x dxf xfx dx =+ ； 0 ( ),( )2( ) aa a f xf x dxf x dx = 为偶函数；( ),( )0 a a f

18、xf x dx = 为奇函数 22 00 (sin )(cos )fx dxfx dx = ； 222 000 (sin )(sin )(sin ) 2 xfx dxfx dxfx dx = T TT 2 T 0 2 ( )( )( ) a a f x dxf x dxf x dx + = ； TT 0 ( )( ) a n a f x dxnf x dx + = Wallis公式： 22 2 00 1 331, 1 2 2 42 sincos 2 431, 3 52 nn nn nn n n nn IxdxxdxI nnn n nn = L L 为正偶数 为正奇数 无穷限积分： +b + b

19、 - bb +- ( )lim( )(+ )( ); ( )lim( )(- )( ); ( )lim( )lim( )(+ )() aab b aa aaba f x dxf x dxFF a f x dxf x dxFF a f x dxf x dxf x dxFF + = = =+= 瑕积分： ( )lim( )( )lim( ); ( )lim( )lim( )( ); ( )( )( ) bb at tata bt aa tbtb bcb aac f x dxf x dxF bF t f x dxf x dxF tF a f x dxf x dxf x dx + = = =+ + 1

20、 ,1,1 p a dx pp x 收敛发散； 11 ,01,1 p a dxpp x 收敛发散 1 0 ( )(1)! xn ne xdxn + = ,(1)( )!; (1)1;nnnn+= 2 0 1 ( ) 22 x edx + = 高数公式大全 by rufen 第六章 定积分应用 1、平面图形的面积：、平面图形的面积： 直角坐标情形：( ) b a Af x dx=；( )( ) b a Af xg x dx= ；( )( ) d c Ayy dy= 参数方程情形：( )( )( )( );( ( ); ( )At dttt dtab = 极坐标情形： 2 1 ( ) 2 Ad =

21、 2、空间立体的体积：、空间立体的体积： 由截面面积：( ) b a VA x dx= 旋转体： 绕 x 轴旋转： 222 ( );( )( )() 2( );2( )( )() bb aa dd cc Vfx dx Vfxgx dx x Vyy dy Vyyy dy y = = 为积分变量 为积分变量 绕 y 轴旋转： 22 2( )2( )( );() ( )( )() bb aa d c Vx f x dxx f xg x dx x Vyy dy y = = 为积分变量 为积分变量 3、平面曲线的弧长：、平面曲线的弧长： 22222 ( )( )1( )( )( ) b a stt dt

22、fx dxd =+=+=+ 变力做功：( ) b a WF x dx= 抽水做功：=,gdWdM g hdV g h=克服重力做功 质量高度 液体压力做功：=dFpdAg h dA= 压力 压强 面积， 第七章 向量代数与空间解析几何 两点间距离公式 ： 222 12121212 ()()()MMxxyyzz=+， (,); xyzxyz aa a aa ia ja k=+ rrrr (,) xyzxyz bb b bb ib jb k=+ rrrr 高数公式大全 by rufen (,); xxyyzz abab ab ab= rr (,) xyz aaaa= r 方向余弦： 222 222

23、 222 cos, cos, cos xx xyz yy xyz zz xyz aa aaaa aa aaaa aa aaaa = + = + = + r r r 单位向量：(cos,cos,cos ) a a e a = r r r 数量积：cos( , ) xxyyzz a ba ba ba ba ba b=+ r rr rr r $ 2 2 a aaa= r rrr 0i jj kk i= = r rr rr r ，1i ij jk k = r rr rr r 夹角余弦： 222222 cos( , ) xxyyyy xyzxyz a ba ba b a b a b a baaabbb

24、+ = + r r r r $ r r 向量积：()()() yzzyzxxzxyyxxyz xyz ijk a ba ba b ia ba bja ba b kaaa bbb =+= rrr rrrrr 0aa= rrr ，sin( , )a ba ba bS= rrr rr r $ 平行四边形， 空间位置关系：/0(,)0 y xz xyz b bb aba bab aaa = += rrrrrrrr 00 xxyyzz aba ba ba ba babab=+=+= rrr rrrrrr 平 面 的 方 程 ： 点 法 式 ： 000 ()()()0A xxB yyC zz+=； 一 般

25、 式 ： 0AxByCzD+= 截距式： 1 xyz abc += 两平面的夹角： 12 121212 222222 12 111222 cos n n A AB BC C n nABCABC + = + ur uu r ur uu r 点到平面的距离： 000 222 AxByCzD d ABC + = + 两平行平面的距离： 12 222 DD d ABC = + 高数公式大全 by rufen 直线与平面的夹角： 2 222222 sin n s AmBnCp n sABCmnp + = + r r r r 空间曲线C，曲线的投影 xoy C，空间立体，曲面，曲面的投影 xy D 球面：

26、 2222 000 ()()()xxyyzzR+= 椭圆柱面： 22 22 1 xy ab +=；双曲柱面： 22 22 1 xy ab =；抛物柱面： 2 2xpy= 旋转曲面：圆柱面： 222 xya+=；圆锥面： 2222 ()zbxy=+；双叶双曲面： 222 22 1 xyz ac + = 单叶双曲面： 222 22 1 xyz ac + =；旋转椭球面: 222 22 1 xyz ac + +=；旋转抛物面： 22 2xypz+= 二次曲面： 椭球面： 222 222 1 (0,0,0) xyz abc abc += 抛物面：椭圆抛物面： 22 22 xy z ab +=；双曲抛物

27、面： 22 22 xy z ab = 单叶双曲面： 222 222 1 xyz abc +=；双叶双曲面： 222 222 1 xyz abc += 椭圆锥面： 222 222 xyz abc += 总结总结 求极限方法：求极限方法： 1、 极限定义；2、函数的连续性；3、极限存在的充要条件；4、两个准则； 5、两个重要极限；6、等价无穷小；7、导数定义；8 利用微分中值定理； 9、洛必达法则；10、麦克劳林公式展开； 求导法：求导法： 1、导数的定义（求极限） ；2、导数存在的充要条件；3、基本求导公式； 4、导数四则运算及反函数求导；5、复合函数求导；6、参数方程确定的函数求 高数公式大全

28、 by rufen 导； 7、隐函数求导法；8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式/常用的高阶导数） ； 等式与不等式的证明：等式与不等式的证明： 1、利用微粉中值定理；2、利用泰勒公式展开；3、函数的单调性； 4、最大最小值；5、曲线的凸凹性 第八章 多元函数微分法及其应用 一、定义： 0000 0 (,)000(,) 0 (, )( , ) lim( ,)(,)( , ) xyxxxy x x x ff xx yf x yd f x yfxyfx y xxdx = + = 二、 微分： 0 ( , )( , ) lim0 xy zfx yxfx yy =可微，偏导连续可微连续+偏导存在， 全微分

29、：( , )( , ) xy dzfx y dxfx y dy=+ 三、隐函数求导: o o d 1 ,0( ). d 2 , ,0( , ) , x y y x zz Fy F x yyf x xF F x y zzf x y F Fzz xFyF = = = = （）且 （）且 四、曲线的切线和法平面 1 、 曲 线 方程 ( ) :( ) ( ) xt Lyt zt = = = ，切 线： 000 000 ()()() ( )( )( ) xxyyzz ttt = ，法平面： 000000 ( )()( )()( )()0txxtyytzz+= 2 、 曲 线 方 程 ( ) : ( )

30、 yy x L zz x = = ， 切 线 ： 000 00 1()() xxyyzz y xz x = ，法 平 面 ： 00000 ()()()()()0 xxy xyyz xzz+= 3、曲线方程 ( , , )0 : ( , , )0 F x y z L G x y z = = ，切向量 0 0 , xyzxyz M M TF F FG G G= u r ，切线： 高数公式大全 by rufen 0 00 000 zxyzxy zxyzxy M MM xxyyzz FFFFFF GGGGGG = 四、曲面的切平面和法线 1( , , )0F x y z =、曲面方程：， 法 向 量

31、： 0 , xyz M nF F F= r ， 切 平 面 : 000000000000 (,)()(,)()(,)()0 xyz F xyzxxF xyzyyF xyzzz+=, 法 线 ： 000 000000000 ()()() (,)(,)(,) x xxyyzz F xy zF xy zF xy z = 2、( , )zf x y=曲面方程：，切平面 000000000 (,)()(,)()()0 xy fxyzxxfxyzyyzz+=， 法线： 000 0000 (,)(,)1 xy xxyyzz fxyfxy = 五、方向导数： 00 0 0 coscoscos xyz MM M

32、 M f fff l =+ 梯度： 0 0 grad, xyz M M ufff= 第九章：重积分第九章：重积分 一、 二重积分： 22 11 ( )( ) ( )( ) ( , )( , )( , )( , ) bxdx axcx DD f x y df x y dxdydxf x y dydyf x y dx = 2 1 ( ) ( ) ( cos ,sin )( cos ,sin ) D fd ddfd = 二、三重积分： 1、直角坐标系： 2 1 ( , ) ( , ) ( ,)dd d( , , )d xy zx y zx y D f x y,zVx yf x y zz= 2 1 (

33、 ) ( , , )( , , ). c c D z f x y z dvdzf x y z dxdy = 2、柱面坐标系： cos , sin , . xr yr zz = = = ,dvrdrd dz= 高数公式大全 by rufen 22 11 ( )( , ) ( )( , ) ( , , )dd( cos ,sin , ) d . z z f x y z dvrfzz = 3、球面坐标系： 2 sincos , sinsin ,sin, cos . xr yrdvrdrd d zr = = = 22 11 ( )( , ) 2 ( )( , ) ( , , )dd( sincos ,

34、 sinsin , cos ) sin d . r r f x y z dxdydzf rrrrr = 二、重积分的应用： 1、体积： 21 d d d( , ) ( , )d d xy D Vx y zz x yz x yx y= 2、曲面( , )zf x y=：面积： 22 1( , )( , )d d xy xy D Sfx yfx yx y=+ 3、质量：( , )d D Mx y=或, ,Mx y zdv =（） 4、质心( , )x y： ( , )( , ) , DD xx y dyx y d xy MM = 或 , , , , , , , , , xx y zdvyx y z

35、dvzx y zdv xyz x y zdvx y zdvx y zdv = （）（）（） （）（）（） 5、 转动惯量： 2222 ( , ),( , ),() ( , ) xyo DDD Iyx y dIxx y dIxyx y d=+ 或 2222 22222 (), ,(), , (), ,(), , xy zo Iyzx y zdv Izxx y zdv Ixyx y zdv Ixyzx y zdv =+=+ =+=+ （）（） （）（） 第第十十章：章：曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分 一、第一类曲线积分： （对弧长的曲线积分） ： 222 22 ( , )( ( ),( )(

36、 )( )( , ( ) 1( ) ( ( )cos , ( )sin )( )( ) b a L f x y dsftttt dtf x y ty t dx fd =+=+ =+ 222 ( , , )( ( ),( ),( )( )( )( ) L f x y z dsftttttt dt =+ 高数公式大全 by rufen 二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） ： 1、计算公式： ( , )( , ) ( , )cos( , )cos ( ( ),( )( )( ( ),( )( ) LL b a P x y dxQ x y dyP x yQ x yds PtttQttt dt +=

37、+ =+ 2、格林公式： ()( coscos) DD D QP dxdyPdxQdyPQds xx + =+=+ 蜒 3、Stokes 公式： Stokes dddz d dd dd dcoscoscos ( , , ) xy D P xQ yR y zz xx y dSf x y z dxdy xyzxyz PQRPQR + = += = 公式： 4、封闭曲线围城的面积： 1 2 D Axdyydx + = 三、第一类曲面积分： 22 :( , ) ( , , )( , , ( , ) 1 xy xy D zz x yf x y z dSf x y z x yZZ dxdy =+ ： 四、

38、第二类曲面积分： 1、计算公式： ( , , )( , , )( , , )( , , ) ( , , )(coscoscos ) n F x y z dSP x y z dydz Q x y z dzdxR x y z dxdy F x y ze dSPQRdS =+ =+ u ru r u rr ( , , )d d , , ( , )d d( , , )d d , , ( , )d d ( , , )( ( , ), , )( , , )( , ( , ), ) xyxy DD DyzDzx R x y zx yR x y z x yx yR x y zx yR x y z x yx y

39、 P x y z dydzp x y zy z dydzQ x y z dzdxp x y z x z dzdx = = = 上侧下侧 ； ； 2、投影转化法： coscos :( , ), coscos :( , , )0, zz x y dydzdxdyz dxdy dzdxdxdyz dxdy xy F F y x F x y zdydzdxdy dzdxdxdy FF zz = = = 高数公式大全 by rufen 3、高斯公式： + d dd dd d( coscoscos )d = ()d;.) P y zQ z xR x yPQRS PQR V xyz +=+ + 乙 。（ 为

40、外侧时取为内侧时取 4( , , )( , , )( , , )( , , ), , A x y zP x y z iQ x y z jR x y z kuu x y z=+= u rrrr， （） ;(,) ();rot xyzxyz xxyyzz divAPQRgraduu u u ijk div graduuuuA xyz PQR =+= =+= u r rrr u r 散度：梯度： 旋度： 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 一、常数项级数 1 n n u = 0 11 1 1 1-1/ 1 1111 ( 1) 0101 n n n pp nn q qq q PP PP nnPP =

41、= = 收 、常用级数：等比级数 几何级数： 发 收绝对收敛 级数：；交错 级数：收敛 发条件收敛 1 20 1 /lim(lim)1 1 n n n n nn n u S u u u + = = 、正项级数： 基本定理：收敛部分和有上届 比较审敛法：大收小收，小发大发 比较审敛法的极限形式： 同阶：同收同发；低阶：同收；高阶：同发 ，收敛 比值 根值审敛法：，发散 ，失效 -1 1 1 11 1111 31(0) , lim0 : n nn n nn nn n n nnnn nnnn u u uu Suru u uuuu = + + = = 、交错级数：（） 莱布尼茨审敛法：级数收敛， 绝对

42、收敛：收敛收敛，条件收敛收敛而发散，发散 高数公式大全 by rufen 1 4 lim lim0 / 1 lim(lim)1 1 n n n n n n n nn n S S u u u u + = = = 、任意项级数： ，收敛 利用定义：部分和有极限； ，发散 利用收敛的必要条件：发散； 利用正项级数（比值 根植）审敛法： ，绝对收敛收敛 ，绝对值发散发散 ，失效 二、幂级数： 0 0 ()n n n axx = 1、收敛半径： 1 1/ 0 lim(lim)0 0 n n n nn n a uR a + = = ， ， ， 2、常用等式： 0 1 (1) 1 n n xx x = =

43、， 1 (1) 1 n n x xx x = = ， 0 1 ( 1)(1) 1 nn n xx x = = + 1 ln(1) ( 11) n n x xx n = = ， 1 1 ( 1)ln(1) ( 11) n n n x xx n = =+ 1 2 01 1 (1) (1) (1) nn nn nxnxx x = += ， 2121 01 1111 ln (1) 212121 nn nn x xxx nnx + = + = + 21 0 arctanx=( 1)(1) 21 n n n x x n + = + 高数公式大全 by rufen 2 0 2135121 1 1 2242

44、0 e1 (,) !2! ( 1) sin( 1) (,) (21)!3!5!(21)! cos( 1)1 ( 1)(,) (2 )!2!4!(2 )! ln(1) nn x n nnn n n nn nn n xxx xx nn xxxx xxx nn xxxx xx nn x = = = = + + + =+ + + = + + + + + ； ； ； 23 11 1 1 2 ( 1) ( 1)( 1, 1 23 (1)(2) (1) (1)1 ! (1)(1) (1) 1 ( 1, 1) 2! nn nn n n n n xxxx xx nn n xx n n xxxx n = = =+

45、 + + + += + + = + + ； ； 3、泰勒展开： (1) ( )1 0000 0 1( ) ( )() ,(),( )(),(, ) !(1)! lim( )0 n nnn nnn n n n f f xaxxafxR xxxx x nn R x + + = = + = 三、 0 1 (cossin) 2 nn n a anxbnx = + 傅里叶级数： 0 1 12( )(cossin)( ) 2 (- ,), 11 ( )cos(0,1,2)( )sin(1,2) () ( ) nn n nn a Tf xanxbnxS x xx af xnxdx nbf xnxdx n f

46、 x S x = =+= + = = LL - 、：， （且间断点） 其中，；，。 间断点处， 0 0 () 2 2 ( )0,( )sind ; 2 ( )0,( )cosd ; nn nn f x f xabf xnx x f xbaf xnx x + + = = 若为奇函数正弦级数（） 若为偶函数余弦级数（=） 0 1 22( )(cossin)(,), 2 11 ( )cos(0,1,2)( )sin(1,2) nn n ll nn ll an xn x Tlf xabxx ll n xn x af xdx nbf xdx n llll = =+ + = LL 、：，（且间断点） 其中

47、，；，。 高数公式大全 by rufen 0 1 - / 1 3( ), (1), ( )( ) ( )( )(cossin)(, ) 2 (- )( ) ( ) 2 (2)0, ( )( ) ( )sin,(0, nn n n n f x xl lf xF x an xn x f xS xabxl l ll flf l xlS x xlf xF x n x f xbxl l = + = =+ + = = = 周期延拓 奇延拓 偶延拓周期延拓 、非周期函数 ：展开限制 ， 时， ：展开限制 奇延拓： 0 0 1 0 ); 2 ( )sin ( 1, 2, ) (0( )0); ( )cos0,

48、 2 2 ( )cos (0, 1, 2, ) l n n n l n n x bf xdxnxlS x ll an x f xaxl l n x af xdxn ll = = =+ = ；或 时， 偶延拓：（） ，端点处不间断。 第十二章第十二章 微分方程微分方程 : 一、基本类型的一阶微分方程 ( ) ( )( ) 1:( ) ( ) ,( ) ( ) 2: ( )( ) ( )0 : ( )0 :( ) P x dx P x dxP x dx dydy f x g yf x dx dxg y dy P x yQ x dx Q xye Q xyeQ x edxC = += = =+ 、可分离变量方程分离变量，两边积分 、一阶线性微分方程 齐次 通解：， 非齐次 通解： 00 0 3( , )d( , )d0() , . (1) (2)( , )( ,)d( , )d. (3) u