logistic模型和最小二乘

1、背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出 (1798),常用的计算公式,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下

2、降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Log

3、istic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),最小二乘拟合,问题：给定 拟合一个函数 y=f(x,t)，其中x为待定的参数向量,记误差,确定x的方法： 求x使得误差平方和,最小,MATLAB最小二乘拟合,命令 lsqcurvefit 基本用法 x,resnorm，res=lsqcurvefit(f,x0,t,y,lb,ub) 输入：f =f(x,t) x0=参数初值 t=自变量向量 y=函数值向量 lb ub =参数的上下界 输出 x=参数估计值 resnom=(误差平方和） res= r(误差向量),例子,已知美国人口数据如下（单位百万）,用

4、指数增长模型作人口预报,估计模型参数 r的MATLAB方法 1.建立M文件 myexp.m function f=myexp(x,t) f=x(1)*exp(x(2)*t);,2.建立M文件myexpexec.m t=0:21 y=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6, 50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7, 179.3,204.0,226.5,251.4,281.4 x0=4,0.3; x,norm,res=lsqcurvefit(myexp,x0,t,y),3. 利用MATLAB作图,比较结果 p

5、lot(t,y,+); hold on; y1=myexp(x,t); % 理论数据 plot(t,y1,*);,指数模型结果,如果用LOGISTIC 模型作拟合，步骤相同 1.建立m文件 mylogistic.m function f=mylogistic(x,t) f=x(1)/(1+(x(1)/3.9-1)*exp(-x(2)*t); 2. 和前面相同，只要将 myexp 换为mylogistic,LOGSTIC模型结果,两个模型结果比较,线性化后再参数估计,对指数模型,MATLAB线性回归命令,b = regress(y,X) 返回回归系数向量b, 线性模型 y = Xb, X 是 n

6、p 矩阵, y 是观察值向量,使用线性回归的M文件,t=0:21 y=3.9,5.3,7.2,9.6, ,251.4,281.4; logy=log(y); logy=logy; X=ones(22,1) t; b=regress(logy,X); x(1)=exp(b(1);x(2)=b(2); y1=myexp(x,t); plot(t,y,+,t,y1,*);,结果,对logistic 模型,MATLAB M文件,y=3.9,5.3,7.2,251.4,281.4; dy=diff(y); dyy=dy./y(1:21); dyy=dyy; tt=y(1:21); X=ones(21,1) tt; b=regress(