高等代数第11章双线性函数与辛空间

1、1 线性函数,定义 设V是数域P上的线性空间, f是V到P的映射, 如果,V, kP, f (1) f ( + ) = f ()+f( )； (2) f (k) = kf(), 则称f为线性函数. f (0) = 0, f (-) = - f(), 若 =k11+k22+kss 则 f( )=k1f(1)+k2f(2)+,+ksf(s),第11章 双线性函数与辛空间,1 线性函数 2 对偶空间 3 双线性函数 *4 辛空间,例1 设a1,a2,an是P中任意数, X=(x1,x2, xn)是Pn中的向量. 函数 f(X)=f(x1,x2,xn)= a1x1+a2x2+anxn 是Pn上的一个线

2、性函数. 零函数0: 当a1=a2=an=0时, f(X)=0. 一般地, Pn上的任一个线性函数都可表成 f(X)=a1x1+a2x2+anxn 证明如下：,一般地, Pn上的任一个线性函数都可表成 f(X)=a1x1+a2x2+anxn 证 令 1=(1,0, ,0), 2=(0,1, ,0), n=(0,0, ,n). 则Pn中任一向量X=(x1,x2, xn)可表成 X = x11+x22+, xnn 设f 是Pn上的一个线性函数, ai=f(i), i=1,2, ,n 则 f(X)=a1x1+a2x2+anxn,例2 设A是数域P上一个n阶矩阵, 则A的迹 Tr(A)= a11+a2

3、2+ann 是Pnn上的一个线性函数. 例3 设V=Px, t是P中一个取定的数,定义Px上的函数Lt为: Lt(p(x)=p(t), p(x)Px 即Lt(p(x)为p(x)在t点的值, 则Lt(p(x)是Px 上的线性函数.,定理 设V是数域P上的n维线性空间,1,2, ,n 是V的一组基, 设a1,a2,an是P中任意n个数, 则存在唯一的V上的线性函数f,使 f(i)=ai , i=1,2,n 证 存在性 只须定义V上的函数f为 这是线性函数, 且f(i)=ai , i=1,2, ,n; 唯一性 任取V上的线性函数f和V中的任意向量, = x11+x22+xnn 都有 故f()由f(1

4、), f(2), f(n)唯一确定.,2 对偶空间,一. 对偶空间 设V是数域P上的n维线性空间, V上全体线性函数组成的集合记作L(V,P). 按自然的方法在L(V,P)上定义加法与数乘如下: (f +g)()= f()+g() V (kf)()=k(f() kP, V 命题 L(V,P)按上述定义作成数域P上线性空间. 证 首先证 L(V,P)关于上述加法与数乘封闭,直接验证即f +g与kf仍是线性函数, 如,( f +g)( +)= f(+)+g( +) = f()+f()+g()+g() =( f +g)()+( f +g)() ( f +g)(k)= f(k)+g(k) =kf()+

5、kg() =k( f +g)() 数乘可类似证明. 然后直接验证满足线性空间的8条性质. 定义 称数域P上的线性空间L(V,P)为线性空间V的对偶空间, 记作V*.,二. 对偶基 取V的一组基1,2, ,n,作V上n个线性函数f1,f2, ,fn,使得 因为fi在基1,2, ,n上的值已确定,所以这样的线性函数存在且唯一. 对V中的任意向量, = x11+x22+xnn = 都有 fi()=xi 即fi()是的第i个坐标的值.,引理 对V中的任意向量, 有 而对L(V,P)中的任意向量f, 有 证 是的直接结论, 即 又由和, V, 即得.,定理 线性空间L(V,P)的维数等于V的维数,而且f

6、1,f2, ,fn是L(V,P)的一组基. 证 首先证明f1,f2, ,fn是线性无关. 设 c1f1+c2f2+ ,+cnfn=0 (c1,c2,cnP) 依次用1,2, ,n代入即得c1=c2=cn=0.因此f1,f2, ,fn线性无关.又由知L(V,P) 中任一向量都可由f1,f2, ,fn线性表示,所以f1,f2, ,fn是L(V,P)的一组基,并且 dim L(V,P)=n=dimV. 定义 由决定的L(V,P)的基 f1,f2, ,fn称为1,2, ,n的对偶基.,例 考虑实数域R上的n维线性空间V=Pnx对任意取定的n个不同的实数a1,a2,an,根据Laglange插值公式,得

7、到n个多项式 满足 现设 c1p1(x)+c2p2(x)+cnpn(x)=0 用ai代入即得 所以p1(x), p2(x), pn(x),线性无关.,又因为V是n维的, 所以p1(x),p2(x),pn(x)是V的一组基. 现设LiV*是在ai点的取值函数: Li(p(x)=p(ai) p(x)V 则Li是V上的线性函数, 且满足 所以L1, L2, Ln是p1(x), p2(x), pn(x)的对偶基.,三. 不同基的对偶基之间的关系 定理 设1,2,n及1,2,n,是线性空间V的两组基,它们的对偶基分别为f1,f2, ,fn和g1,g2, ,gn,如果由基1,2,n到1,2,n的过渡矩阵为

8、A, 则由f1,f2,fn到g1,g2, ,gn的的过渡矩阵就是(AT)-1. 证,四. 对偶空间的对偶空间 设V是数域P上的线性空间,V *是其对偶空间.取定V中的一个向量x, 定义V *的一个函数x如下, fV *, x : V*=L(V, P) P f x(f )=f(x) 由 x(f+g)=(f+g)x=f(x)+g(x)=x(f )+x(g) x(kf )=(kf )x=kf(x) =kxx(f ) 所以, x是V *上的线性函数, 因此x是V *的对偶空间(V *)*= V *中的一个元素, 就记作x*.,定理 如下V 到 V*的映射是一个同构映射 x x* . 证 由 F : V

9、 V* x x* 首先证 F(x1+x2)=F(x1)+F(x2) x1,x2V F(kx)=kF(x) xV, kP fV*, F(x1+x2)(f )=(x1+x2)*(f )=f(x1+x2) =f(x1)+f(x2)=x1*(f)+x2*(f ) =(x1*+x2*)(f ) = (F(x1)+F(x2)(f ) F(kx)(f)=(kx)*(f )=f(kx)=kf(x) =kx*(f) =(kx*)(f)=(kF(x)(f),其次证明F是双射: 如果x* 是V*上的零函数,即fV*,都有 f(x)=0 则由引理之,x=0, F是单射;又因为V与V*维数相同,所以F是双射, F是同构

10、映射. 注 说明V 和 V *是互为线性函数空间的,故称为对偶空间.,3 双线性函数,一. 双线性函数的概念 定义 设V是数域P上的线性空间, f(,)是V上一个二元函数, 即对V中任意两个向量, ,根据f 都唯一对应P中一个数f(,)满足: (1)f(, k1 +k2 )= k1f(, 1)+k2f(, 2); (2)f(k11+k22, )= k1f(1, )+k2f(2, ) 则称f(,)是V上一个双线性函数.,例1 欧氏空间V的内积是V上的双线性函数. 例2 设f1(,), f2(,) 都是线性空间V上的线性函数, 则 f(,)= f(,) ,V 是V上一个双线性函数. 例3 设Pn是

11、数域P上n维列向量构成的线性空间, X,YPn,又设A是P上一个n阶矩阵,令 f(X,Y)=XTAY 则f(X,Y)是Pn上一个双线性函数. 若XT=(x1,xn), YT=(y1,yn),A=aijnn ,则 注和是双线性函数f(,)的一般形式如下:,度量矩阵 定义设f(,)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数, 1,2,n是V的一组基, 则矩阵 为f(,)在基1,2,n下的度量矩阵.,取V的一组基1,2,n,设 则,令aij=f(i,j) i,j =1,2, ,n 则 f(,)=XTAY A即为f(,)在基1,2,n下的度量矩阵. 反之,任给数域P上一个n阶方阵如上A=aij, 则对

12、V中任意向量,定理 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.,非退化性,定义 设f(,)是数域P上线性空间V上的一个双线性函数, 如果从 f(,)=0 V 可推出=0, 则称f是非退化的. 定理 双线性函数f(,)是非退化的充分必要条件是其度量矩阵是非退化矩阵. 注 对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵简化.但对一般矩阵则比较复杂.,定义 设f(,)是数域P上线性空间V上的一个双线性函数, 如果对V中任意两个向量,都有 f(,) = f(,), 则称f(,)为对称双线性函数.如果对V中任意两个向量,都有 f(,) = - f(,), 则称f(,)为反对称双线性函数.,定理 双线性函数是对称的

13、, 当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵;双线性函数是反对称的, 当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.,对称双线性函数,定理5 设V是数域P上n维线性空间, f(,)是V上的对称双线性函数, 则存在V的一组基1,2,n,使f(,)在这组基下的度量矩阵是对角矩阵. 说明(1) 这是由于欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数,而且它在任一组基下的度量矩阵是正定矩阵;另一方面,对称矩阵在合同变换下一定能化为对角形. (2) 本定理也可用类似于Schimidt正交化的方法进行证明.,推论 设V是复数域上n维线性空间, f(,)是V上的对称双线性函数, 则存在V的一组基1,2,n,对V中任意

14、向量和, =x11+x22+xnn, =y11+y22+ynn f(,) = x1y1+x2y2+xryr (0rn) 推论 设V是实数域上n维线性空间, f(,)是V上的对称双线性函数, 则存在V的一组基1,2,n,对V中任意向量和, =x11+x22+xnn, =y11+y22+ynn f(,)=x1y1+xpyp xp+1yp+1+xryr (0prn),定义 设V是数域P上线性空间, f(,)是V上的双线性函数, 当=时,称V上的函数f(,)为与 f(,)对应的二次齐次函数. 注(1)对称双线性函数与 二次齐次函数是一一对应的(注意对称的条件); (2) 二次齐次函数的坐标表达式就是二

15、次型,它与对称矩阵一一对应,而这个对称矩阵就是唯一的与该二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵.,反对称双线性函数,定理6 设V是数域P上n维线性空间, f(,)是V上的反对称双线性函数, 则存在V的一组基1,-1,r, -r,1, s,使,由定理5, V上的对称双线性函数f(,)是非退化的,则有V的一组基1,-1,r,-r,使 (前一不等式由非退化条件保证),称这样的基为V的对于f(,)的正交基 由定理6, V上的反对称双线性函数f(,)如果是非退化的,则有V的一组基1,-1, r,-r,使 由于非退化的条件,定理6中的1, s不可能出现.因此,具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是

16、偶数维的.,定义 设V是数域P上的线性空间, 在V上定义了一个非退化双线性函数, 则V称为一个双线性度量空间. 当f是非退化对称双线性函数时, V称为P上的正交空间. 当V是n维实线性空间, f是非退化对称双线性函数时, V称为P上的准欧氏空间. 当f是非退化反对称双线性函数时, V称为辛空间. 有着非退化双线性函数f的双线性度量空间常记作(V, f ).,*4 辛空间,1、辛正交基 辛空间(V, f )中一定能找到一组基1,2, ,n,-1,-2,-n,满足 f(i,-i)=1, (1in) f(i,j)=0, (-ni,jn, i+j 0) 称这样的基为辛正交基.,2、任一2n阶是非退化反

17、对称矩阵K可把一个数域P上2n维空间V化成一个辛空间,且使K为V的某组基e1,e2, ,en,e-1,e-2,e-n下的度量矩阵.又此辛空间在某组辛正交基1,2, ,n,-1,-2,-n下的度量矩阵为 故K合同于J. 即任一2n阶非退化反对称矩阵皆合同于J.,3、设有两个辛空间(V1, f1)和(V2, f2),K是V1和V2作为线性空间的同构,如果满足: f1(u,v) = f2(Ku,Kv) 则称K是(V1, f1)和(V2, f2)的辛同构. (V1, f1)到(V2, f2)的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把(V1, f1)的一组辛正交基变成 (V2, f2)的辛正交基. 两个辛空间是同构的当且仅当它们有相同的维数. 辛空间(V, f )到其自身的辛同构称为(V, f )的辛变换.,辛变换的乘积还是辛变换. 辛变换的逆变换还是辛变换. 设(V, f )是辛空间, u,vV,满足f(u,v)=0,则称u,v为辛正交的. 设W是V的子空间,令 W=uV f(u,w)=0,wW. W显然是V的子空间,称为W的辛正交补空间. 定理7 设(V, f )是辛空间, W是V的子空间,则 dimW = dimV - dimW,定义9 设(V, f )是辛空间, W是V的子空间.若WW, 则称W为(