中考数学专题突破导练案第六讲四边形与多边形试题

1、第六讲四边形与多边形【专题知识结构】【专题解题分析】四边形与多边形在中考中的常见考点有多边形的内角和与外角和；平行四边形的性质与判定，平行四边形中有关角及线段的相关计算；矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定；四边形的综合考查等中考中四边形与多边形的考查形式多样，对平行四边形、菱形等的判定的考查也常出现开放型题目；解决四边形问题常用的数学思想就是转化思想、方程思想；常用的数学方法有分类讨论法，逆向思维法等.【典型例题解析】例题1: 如图所示，正方形ABCD的边长为6，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为6【考点

2、】PA：轴对称最短路线问题；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点此时PD+PE=BE最小，而BE是等边ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的边长为6，可求出AB的长，从而得出结果【解答】解：设BE与AC交于点P，连接BD，点B与D关于AC对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；正方形ABCD的边长为6，AB=6又ABE是等边三角形，BE=AB=6故所求最小值为6故答案为：6例题2: 如图，DBAC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE

3、；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形通过给出的已知条件便可（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决【解答】（1）证明：E是AC中点，EC=ACDB=AC，DBEC 又DBEC，四边形DBCE是平行四边形BC=DE （2）添加AB=BC （ 5分）理由：DBAE，四边形DBEA是平行四边形BC=DE，AB=BC，AB=DEADBE是矩形例题3：（2017 四川绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与

4、BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点若AC=2，AEO=120，则FC的长度为（）A1B2CD【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据RtBOF求得OF的长，即可得到CF的长【解答】解：EFBD，AEO=120，EDO=30，DEO=60，四边形ABCD是矩形，OBF=OCF=30，BFO=60，FOC=6030=30，OF=CF，又RtBOF中，BO=BD=AC=，OF=tan30BO=1，CF=1，故选：A例题4：如图，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、

5、BC于点E、F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L9：菱形的判定【分析】（1）由矩形可得ABD=CDB，结合BE平分ABD、DF平分BDC得EBD=FDB，即可知BEDF，根据ADBC即可得证；（2）当ABE=30时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知ABD=2ABE=60、EBD=ABE=30，结合A=90可得EDB=EBD=30，即EB=ED，即可得证【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形，ABDC、ADBC，ABD=CDB，BE平分ABD、DF平分BDC，EBD=AB

6、D，FDB=BDC，EBD=FDB，BEDF，又ADBC，四边形BEDF是平行四边形；（2）当ABE=30时，四边形BEDF是菱形，BE平分ABD，ABD=2ABE=60，EBD=ABE=30，四边形ABCD是矩形，A=90，EDB=90ABD=30，EDB=EBD=30，EB=ED，又四边形BEDF是平行四边形，四边形BEDF是菱形例题5：如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L8：菱形的性质【分析】

7、（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中，BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BEEF，设BE=x，则 DE=x，AE=6x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6x）2，解得：

8、x=，BD=2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=例题6：( 2017达州)如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作O与AD相切于点P若AB=6，BC=3，则下列结论：F是CD的中点；O的半径是2；AE=CE；S阴影=其中正确结论的序号是【分析】易求得DF长度，即可判定；连接OP，易证OPCD，根据平行线性质即可判定；易证AE=2EF，EF=2EC即可判定；连接OG，作OHFG，易证OFG为等边，即可求得S阴影即可解题；【解答】解：AF是AB翻折而来，AF=AB=6，AD=BC=3，

9、DF=3，F是CD中点；正确；连接OP，O与AD相切于点P，OPAD，ADDC，OPCD，=，设OP=OF=x，则=，解得：x=2，正确；RTADF中，AF=6，DF=3，DAF=30，AFD=60，EAF=EAB=30，AE=2EF；AFE=90，EFC=90AFD=30，EF=2EC，AE=4CE，错误；连接OG，作OHFG，AFD=60，OF=OG，OFG为等边；同理OPG为等边；POG=FOG=60，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，S阴影=（S矩形OPDHS扇形OPGSOGH）+（S扇形OGFSOFG）=S矩形OPDHSOFG=2（2）=正确；故答案为【点评】本题考查了矩形面

10、积的计算，正三角形的性质，平行线平分线段的性质，勾股定理的运用，本题中熟练运用上述考点是解题的关键【达标检测评估】一、选择题：1. 如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A6cmB7cmC8cmD9cm【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可【解答】解：根据折叠前后角相等可知BAC=EAC，四边形ABCD是矩形，ABCD，BAC=ACD，EAC=EAC，AO=CO=5cm，在直角三角

11、形ADO中，DO=3cm，AB=CD=DO+CO=3+5=8cm故选：C2. （2017 四川绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点若AC=2，AEO=120，则FC的长度为（）A1B2CD【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据RtBOF求得OF的长，即可得到CF的长【解答】解：EFBD，AEO=120，EDO=30，DEO=60，四边形ABCD是矩形，OBF=OCF=30，BFO=60，FOC=6030=30，OF=CF，又RtBOF中，BO=B

12、D=AC=，OF=tan30BO=1，CF=1，故选：A3. （2017.四川眉山）如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（）A14B13C12D10【考点】L5：平行四边形的性质【分析】先利用平行四边形的性质求出AB=CD，BC=AD，AD+CD=9，可利用全等的性质得到AEOCFO，求出OE=OF=3，即可求出四边形的周长【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，周长为18，AB=CD，BC=AD，OA=OC，ADBC，CD+AD=9，OAE=OCF，在AEO和CFO中，AEOCFO（ASA），OE=OF=1

13、.5，AE=CF，则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12故选C4. （2017山东临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A四边形B五边形C六边形D八边形【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n2）180=3602解得n=6则这个多边形是六边形故选：C【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360，多边形的内角和为（n2）1805. （2017山东临沂）在ABC中，点D是边BC上的点（与

14、B，C两点不重合），过点D作DEAC，DFAB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A若ADBC，则四边形AEDF是矩形B若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论【解答】解：若ADBC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D【点评】本题考查了矩形

15、的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键二、填空题：6. （2017山东临沂）在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sinBDC=，则ABCD的面积是24【分析】作OECD于E，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，由sinBDC=，证出ACCD，OC=3，AC=2OC=6，得出ABCD的面积=CDAC=24【解答】解：作OECD于E，如图所示：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，sinBDC=，OE=3，DE=4，CD=4，点E与点C重合，ACCD，OC=3，AC=2O

16、C=6，ABCD的面积=CDAC=46=24；故答案为：24【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，得出ACCD是关键7. （2017.湖南怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOB=60，AC=6cm，则AB的长是（）A3cmB6cmC10cmD12cm【考点】LB：矩形的性质【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由AOB=60，判断出AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，OA=OC=OB=OD=3，AOB=60，AOB是等边三角形，AB=OA=3

17、，故选A8. （2017.湖南怀化）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长是10cm【考点】L5：平行四边形的性质；KX：三角形中位线定理【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，继而求出答案【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，BO=DO，点E是AB的中点，OE为ABD的中位线，AD=2OE，OE=5cm，AD=10cm故答案为：109. （2017.江苏宿迁）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是【考点】PA：轴对

18、称最短路线问题；LE：正方形的性质【分析】作出点E关于BD的对称点E，连接AE与BD交于点P，此时AP+PE最小，求出AE的长即为最小值【解答】解：作出点E关于BD的对称点E，连接AE与BD交于点P，此时AP+PE最小，PE=PE，AP+PE=AP+PE=AE，在RtABE中，AB=3，BE=BE=1，根据勾股定理得：AE=，则PA+PE的最小值为，故答案为：三、解答题：10. （2017.四川眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BFDE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值【考点】S9：相似三角

19、形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质【分析】（1）由于BFDE，所以GFD=90，从而可知CBG=CDE，根据全等三角形的判定即可证明BCGDCE，从而可知BG=DE；（2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证ABHCGH，所以，从而可求出HG的长度，进而求出的值【解答】解：（1）BFDE，GFD=90，BCG=90，BGC=DGF，CBG=CDE，在BCG与DCE中，BCGDCE（ASA），BG=DE，（2）设CG=1，G为CD的中点，GD=CG=1，由（1）可知：BCGDCE（ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG

20、=，sinCDE=，GF=，ABCG，ABHCGH，=，BH=，GH=，=11. 如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形【考点】N3：作图复杂作图；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质【分析】（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N四边形ABNM是平行四边形（2）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N，连接DF交BE于H，四边形MNHF是菱形【解答】解：（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N四边形ABNM是平行四边形（2）连接AF

21、、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N，连接DF交BE于H，四边形MNHF是菱形12. (2017杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GEDC于点E，GFBC于点F，连结AG（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，AGF=105，求线段BG的长【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在RtGFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BNAG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM设AN=x易证AM=BM=2x，MN=x，在RtABN中，根据AB2

22、=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根据BG=BNcos30即可解决问题；【解答】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2理由：连接CG四边形ABCD是正方形，A、C关于对角线BD对称，点G在BD上，GA=GC，GEDC于点E，GFBC于点F，GEC=ECF=CFG=90，四边形EGFC是矩形，CF=GE，在RtGFC中，CG2=GF2+CF2，AG2=GF2+GE2（2）作BNAG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM设AN=xAGF=105，FBG=FGB=ABG=45，AGB=60，GBN=30，ABM=MAB=15，AMN=30，AM=BM=2x，M

23、N=x，在RtABN中，AB2=AN2+BN2，1=x2+（2x+x）2，解得x=，BN=，BG=BNcos30=【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型13. (2017咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”理解：（1）如图1，已知A、B是O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点