中考数学压轴试题复习第一部分专题一因动点产生的相似三角形问题

1、11 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知AD，探求ABC与DEF相似，只要把夹A和D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确

2、定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,3m)（m0），顶点为D（1）求该二次函数的

3、解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，APC的面积最大拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，ACD和ADC都可以成为直角思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结OP，APC可以割补为：AOP与COP的和，再减去AOC3讨论ACD与OBC相似，先确定A

4、CD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似4直角三角形ACD存在两种情况图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，设ya(x3)(x1)代入点C(0,3m)，得3m3a解得am所以该二次函数的解析式为ym(x3)(x1)mx22mx3m（2）如图3，连结OP当m2时，C(0,6)，y2x24x6，那么P(x, 2x24x6)由于SAOP(2x24x6)3x26x9， SCOP3x，SAOC9，所以SSAPCSAOPSCOPSAOC3x29x所以当时，S取得最大值，最大值为图3 图4 图5（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E过点A作x轴的垂线交DE于F由ym

5、(x3)(x1)m(x1)24m，得D(1,4m)在RtOBC中，OBOC13m如果ADC与OBC相似，那么ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为13m如图4，当ACD90时，所以解得m1此时，所以所以CDAOBC如图5，当ADC90时，所以解得此时，而因此DCA与OBC不相似综上所述，当m1时，CDAOBC考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H由直线AC：y2x6，可得H(x,2x6)又因为P(x, 2x24x6)，所以HP2x26x因为PAH与PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以SSAPCSAPHSCPH(2x26x) 图6例

6、2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ADAB，B60，AB10，BC4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设APx21cnjy（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设ADP与PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若SS1S2，求S的最小值. 动感体验 图1请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去

7、象是AB的中点，其实离得很近而已思路点拨1第（2）题先确定PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（3）题理解PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式图文解析（1）如图2，作CHAB于H，那么ADCH在RtBCH中，B60，BC4，所以BH2，CH所以AD（2）因为APD是直角三角形，如果APD与PCB相似，那么PCB一定是直角三角形如图3，当CPB90时，AP1028所以，而此时APD与PCB不相似图2 图3 图4如图4，当BCP90时，BP2BC8所以AP2所以

8、所以APD60此时APDCBP综上所述，当x2时，APDCBP（3）如图5，设ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点设PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F设AP2m作OMBP于M，那么BMPM5m在RtBEF中，BE2，B60，所以BF4在RtOFM中，FMBFBM4(5m)m1，OFM30，所以OM所以OB2BM2OM2在RtADP中，DP2AD2AP2124m2所以GP23m2于是SS1S2(GP2OB2)所以当时，S取得最小值，最小值为图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题问题1，为什么设AP2m呢？这

9、是因为线段ABAPPMBMAP2BM10这样BM5m，后续可以减少一些分数运算这不影响求S的最小值问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FMBMBF(5m)41m此时OB2BM2OM2这并不影响S关于m的解析式例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线yx3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线yx2bxc经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（

10、2）问：当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PE/y轴，交AB于点E，过点Q作QF/y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF/PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，MBQ与BOP有一次机会相似思路点拨1在APQ中，A45，夹A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况

11、讨论直角三角形APQ2先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PEQF列方程就好了3MBQ与BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析（1）由yx3，得A(3, 0)，B(0, 3)将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入yx2bxc，得 解得所以抛物线的解析式为yx22x3（2）在APQ中，PAQ45，AP3t，AQt分两种情况讨论直角三角形APQ：当PQA90时，APAQ解方程3t2t，得t1（如图2）当QPA90时，AQAP解方程t(3t)，得t1.5（如图3）图2 图3（3）如图4，因为PE/QF，当EF/PQ时，四边形EPQF是平行四边形所以EPFQ所以yEyPyFyQ因为xPt，xQ3t，所以yE3t，yQt，yF(3t)22(3t)3t24t因为yEyPyFyQ，解方程3t(t24t)t，得t1，或t3（舍去）所以点F的坐标为(2, 3)图4 图5（4）由yx22x3(x1)24，得M(1, 4)由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB3由B(0, 3)、M(1