坐标系与参数方程.ppt

1、,哈师大附中 倪筱颖,坐标系与参数方程,地位与作用,是“平面解析几何初步”和 “圆锥曲线与方程”的延续与拓广,地位与作用,是解析几何与函数、三角函数、向 量等内容的综合应用,内容,是高中数学课程选修系列44的第四个专题，包括“坐标系”和“参数方程”两部分内容。,内容,第一讲 坐标系 一、平面直角坐标系 二、极坐标系 三、简单曲线的极坐标方程 四、柱坐标系与球坐标系简介,内容,第二讲 参数方程 一、曲线的参数方程 二、圆锥曲线的参数方程 三、直线的参数方程 四、渐开线与摆线,坐标系的作用,坐标系是解析几何的基础，有了坐标系，使几何问题代数化成为可能，它是实现几何图形与代数形式互相转化的基础，使精

2、确刻画几何图形的位置和物体运动的轨迹成为可能。,坐标系的多样性,在不同的坐标系中，同一个几何图形可以有不同的表现形式，这使解决问题的方法有了更多的选择。,平面直角坐标系,教材从一个思考题出发，复习了建立平面直角坐标系解决实际问题的方法，并进一步提出思考:这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系?你认为哪种方法更方便?为引入极坐标系埋下了伏笔。,伸缩变换的定义,设点 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，点 对应到点 ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换,极坐标系,在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线OX，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单

3、位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。,极坐标,设M是平面内一点，极点O与点M的距离 叫做点M的极径，记为 ；以极轴OX为始边,射线OM为终边的角XOM叫做点M的极角，记为 ，有序数 对叫做点M的极坐标，记做M 。一般地，不作特殊说明时，我们认为 ， 可取任意实数。,极坐标,建立极坐标系后，给定 和 ，就可以在平面内惟一确定点M，反过来，平面内任意一点，也可以找到它的极坐标 。 请注意：这里没有强调一一对应！,不惟一性,一般地，极坐标 与 表示同一个点。特别地，极点O的坐标为 和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标 有无数种表示,“惟一性”,如果规定 ， 那么

4、除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 表示；同时，极坐标 表示的点也是惟一确定的,极坐标和直角坐标的互化,设M是平面内任意一点，它的直角坐标是 ，极坐标 是 ，可以得到它们之间的关系：,曲线的极坐标方程,一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 ，并且坐标适合方程 的点都在曲线C上，那么方程 叫做曲线C的极坐标方程。,圆的极坐标方程,圆心在极点的圆的极坐标方程为 圆心不在极点，但经过极点的圆的极坐标方程是 其中 是非零数， 是常数,直线的极坐标方程,其为 常数,重点 过极点的直线,柱坐标系的概念,柱坐标系,柱坐标与直角坐标的互化,球坐标系的概念,球坐标系,球坐

5、标系,球坐标与直角坐标的互化,曲线的参数方程,参数方程是曲线的另一种表现形式，它弥补了普通方程表示曲线的不足，极坐标与参数方程为研究较为复杂的曲线提供了工具。,参数方程的概念,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数t的函数 ，,并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程,参数方程和普通方程的互化,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。 如果知道变数x,y 中的一个与参数t的关系，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关

6、系，那么就得到曲线的参数方程,参数方程的应用,求常用曲线的参数方程 直线的参数方程 圆锥曲线的参数方程 渐开线与摆线,圆锥曲线的参数方程,椭圆的参数方程 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程,直线的参数方程,经过点 ，倾斜角为 的直线的参数方程是,参数方程曲线欣赏,摆线 渐开线,渐开线,将一个圆轴固定在一个平面上，轴上缠线，拉紧一个线头，让该线绕圆轴运动且始终与圆轴相切，那么线上一个定点在该平面上的轨迹就是渐开线。,渐开线,直线在圆上纯滚动时，直线上一点K的轨迹称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，直线称为渐开线的发生线。 渐开线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直；基圆为无穷大时，渐开线为斜直线。,渐开线方程,渐开线方程为： x=rcos+rsin y=rsin-rcos 式中，r为基圆半径；为展角，其单位为弧度,渐开线画法,摆线,摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。 当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。 当基线是圆且动圆在定圆内