《天大考研资料物理化学》第八章量子力学(3)

1、1,第八章 量子力学基础,2,物理的书都充满了复杂的数学公式。可是思想及理念，而非公式，才是每一物理理论的开端。 爱因斯坦,3,引言 光是什么？,自古以来光在人们心目中，光永远代表着生命、活力和希望，更由此演绎出了数不尽的故事与传说。,让光来吧！ 创世纪,自然及其规则隐藏在黑夜之中； 上帝说：“ 让牛顿去吧” 于是，一切豁然开朗。 蒲柏为牛顿撰写的墓志铭,4,自古以来人们一直认为光是白色的，光速是无穷大的。 公元前350年，亚里士多德提出光速是无穷大的。,可是光究竟是一种什么东西？,公元前384前322,古希腊时代，人们倾向于把光看成是一种非常细小的粒子流，认为光是由一粒粒非常小的“光原子”组

2、成。这种理论人们称之为光的“微粒说”。,5,微粒说从直观上看来很有道理，首先它可以很好地解释光为什么总是沿着直线前进，为什么会严格而经典地反射，甚至折射现象也可以由粒子流在不同介质里的速度不同得到解释。 但粒子说也有一些显而易见的困难：比如当时人们很难说清为什么两道光束相碰时不会弹开？这些细小的光粒子在点灯之前藏在何处？它们的数量是不是无限多？ 在黑暗的中世纪过去之后，人们对自然界有了进一步的认识。波动现象被深入地了解和研究，声音是一种波动的认识也进一步深入人心。十七世纪初，笛卡尔率先提出，光可能是一种压力，在媒质里传播。,6,不久，意大利的一位数学教授格里马第做了一个实验，他让一束光穿过两个

3、小孔，照到暗室的屏幕上，发现在投影的边缘有一种明暗条纹的图像。他联想到水波的衍射，提出光可能是一种类似水波的波动。这是最早的光“波动说”。 波动说认为，光不是一种物质粒子，而是由介质的振动而产生的一种波。但波动说有一个基本的难题：既然波本身是介质的振动，那它必须在某种介质中才能传播。比如声音沿着空气、水乃至固体前进，但在真空里无法传播。 波动说假设了一种看不见摸不着的介质来实现光的传播，这种介质有一个十分响亮的名字，叫做“以太”。,7,光的波动说就是在这样一种奇妙的气氛中，登上了历史舞台。这个新生力量似乎与微粒说是前世冤家，它们注定要展开一场长达数个世纪的战争。17世纪中期，正是科学黎明将要到

4、来之前那最后的黑暗，谁也无法预见着两朵小火花即将要引发一场熊熊大火。 两支力量起初并没有什么大的冲突。导致第一次“波粒战争”的导火索是波义尔在1663年提出的一个理论：他认为我们看到的各种颜色，其实不是物体本身的属性，而是光照上去才产生的结果。这本身不牵涉到波粒问题，但却引起了对颜色属性的激烈争论。,8,波义尔的助手胡克重复了格里马第的实验，并仔细观察了光在肥皂泡里映射出的色彩及光通过云母片而产生的光辉。根据他的判断，光是某种快速的脉冲。他在1665年出版的显微术中明显的支持波动说。 显微术是一本划时代的伟大著作，它很快为胡克赢得了世界性的学术声誉。波动说由于他的加入，一时占了上风。,罗伯特胡

5、克：1635-1703,9,但1666年，牛顿用三棱镜发现白光是由多种彩色光组成的，并提出光是由类似“ 微粒”的东西所组成，光的复合和分解是不同颜色的微粒的混合与分开。,牛顿Sir Isaac Newton （16421727）,10,胡克与牛顿之间展开了一场长达二十多年的战争，直到1703年胡克逝世后 ，牛顿终于出版了他的辉煌巨著光学。在之后的100年间微粒说始终占据了主导地位。 1676年，丹麦天文学家罗默发现光的速度为298050 km/秒。（与现在的299792 km/秒 非常接近） 光是白色的，但它包含多种颜色；光是以有限速度传播的；光似乎是由粒子组成的。这些是人们在18世纪初得到的

6、共识，之后200年间几乎没有多大发展。,11,然而1867年英国科学家托马斯. 杨出版了自然哲学讲义一书，书中第一次描述了他那个名扬四海的实验：光的双缝干涉当光穿过两道平行的狭缝时，会在后面的幕布上形成一系列明暗交替的条纹。这个实验成为物理学史上最,杨的著作点燃了物理史上的“第二次波粒战争”。 1821年法国科学家菲涅尔提出光的横波理论，成功解释了偏振现象。,经典的五个实验之一。杨从波的叠加完美地解释了波的干涉和衍射现象。,红滤色片,单缝,双缝,S1,S,S2,屏幕,12,1856年、1861年和1865年伟大的麦克斯韦连续发表了三篇关于电磁理论的论文，预言光实质上是一种电磁波。1887年赫兹

7、在德国Karlsruhe大学用实验证明了这一理论预言。一时间波动的光辉达到了顶点，而它所依赖的基础，就是麦克斯韦不朽的电磁理论。,（1831-1879）,13,物理学征服了世界。在19世纪末，它的力量控制着一切人们所知的现象。经典力学、经典电动力学、经典热力学加上统计力学形成了物理世界的三大支柱。它们紧紧地结合在一起，构筑起了一座华丽而雄伟的殿堂。这是一段伟大而光荣的日子，是经典物理的黄金时代。人们开始倾向于认为：物理学已经终结，不会再有任何激动人心的发现了。有人甚至说，物理学的未来只能在小数点六位后面去寻找了。 在19世纪最后几年，一连串意想不到的事情发生了： 1895年，伦琴发现了X射线；

8、 1896年，贝克勒尔发现了铀元素的放射现象； 1897年，居里夫妇发现了更多的放射元素：钍、钋 、镭； 1897年，研究阴极射线时，发现了电子；,14,1900年12月14日德国物理学家普朗克在德国物理学会上宣读了他那篇名留青史的论文黑体光谱中的能量分布，他指出：黑体被加热时辐射的能量是一份一份的，为一最小能量 h 的整数倍，他将这一份份的东西称为“ 量子”。,Ludwig Planck1858-1947,这是量子物理的第一篇文章。其中 h 后来被称为普朗克常数，它竟是构成我们整个宇宙最为重要的3个基本物理常数之一（另两个是引力常数g和光速c）。,15,1905年，爱因斯坦阅读了普朗克的论文

9、并研究了光电效应的实验，他感到，对于光来说，量子化也是一种必然。他提出了“ 光量子”的概念，提出了光的粒子性。并提出了关于光速的狭义相对论。,Albert Einstein 1879-1955,16,光电效应与电磁理论是矛盾的：电磁理论认为，光作为一种波动，它的强度代表了它的能量，增强光的强度应能打出更高能量的电子。但实验表明，增加光的强度只能打出更多数量的电子，而不能增加电子的能量。 而用光量子的概念则非常容易解释光电现象：频率高的光线，它的单个量子要比频率低的光线含有更高的能量(E=h)，因此当它的量子作用到金属表面时，就能够激发出更高动能的电子来。而量子的能量和光线的强度没有关系，强光只

10、不过包含了更多数量的光量子而已，所以它只能够激发出更多数量的电子。,17,科学史上有两个年份可称为奇迹年，它们和两个天才的名字紧紧相连。这两个年份分别是1666年和1905年，那两个天才便是牛顿和爱因斯坦。 1666年23岁的牛顿为了躲避瘟疫，回到了乡下的老家度假。在那段日子里，他一个人独立完成了几项开天辟地的工作：发明了微积分，完成了光分解的实验分析、以及万有引力的开创性思考。在那一年，他为数学、力学和光学三大学科分别打下了基础，而其中的任何一项工作，都足以让他名列有史以来最伟大的科学家之列。很难想象，一个人的思维何以能够在如此短的时间内涌动如此多的灵感，人们只能用奇迹来表示这一年，称之为奇

11、迹年。,18,1905年26岁的爱因斯坦也是如此。在专利局里蜗居的他在这一年写出了6篇论文： 3月18日是关于光电效应的文章，这成为了量子论的奠基石之一；4月30日，关于测量分子大小的论文，这为他赢得了博士学位；5月11日和后来的12月19日，两篇关于布朗运动的论文，成了分子论的里程碑；6月30日题为论运动物体的电动力学的论文，后被加上了一个如雷贯耳的名称狭义相对论；9月27日，关于物体惯性和能量的关系，这是狭义相对论的进一步说明，并且在其中提出了著名的质能方程E=mc2 。 很难想象这一切都是在专利局的办公室里，一个人用纸和笔完成的，这只能用奇迹来描述。 为了纪念1905年的光辉，人们把10

12、0年后的2005年定为“国际物理年”。,19,光量子的假说引发了“第三次波粒战争”，卷土重来的微粒军团装备了最先进的武器：光电效应和康普顿效应，令波动军团节节败退。 虽然在光电问题上波动论无能为力，但波动之父托马斯杨的精神在他身后百年之后仍然光耀着波动的战旗。在每一间中学物理实验室中，明暗相间的干涉条纹不容置疑地向人们表明它的波动性。麦克斯韦芳华绝代的方程组仍然每天给出预言，而电磁波也仍然按照那优美的预言以30万公里每秒的速度行动，既没有快一点，也没有慢一点。 波粒之争陷入了僵局。 光到底是什么？,20,1910年，卢瑟福和他的学生们进行了一次名留青史的实验：用 粒子轰击金箔，结果发现了原子核

13、，进而提出了被称为“行星系统”的原子核模型。但该模型却不能用麦克斯韦电磁理论来解释，因按电磁理论，这样的体系会不可避免地释放出辐射能量，最终导致体系的崩溃。,Ernest Rutherford 18711937,21,1912年玻尔以极大的勇气选择放弃伟大的电磁理论，他预言，在原子这样小的层次上，经典理论将不再成立，新的革命性思想必须被引入，这就是普朗克的量子以及他的h 常数。 玻尔研究了当时发现的许多元素的光谱线，提出了一个大胆的假设：电子在围绕原子核运动时，只能处于一些特定的能量状态(轨道)，而这些能量状态是不连续的，因此电子在这些轨道之间跃迁时，只能释放出符合一定规律的能量来。,Niel

14、s Bohr，1885- 1962,22,玻尔的模型异常精确地说明了氦离子的光谱，并预测了一些新的谱线，这些谱线都很快为实验所证明。波尔为此获得1922年的诺贝尔奖。 谁也没想到，如此伟大的一个理论，就像一颗耀眼的火流星，转瞬即逝。对于解释具有两个核外电子的普通氦原子，以及氢分子的光谱，波尔的理论则无能为力，它只兴盛了13年。但它让人们看到了量子在物理世界里的伟大意义，并第一次利用它的力量去揭开原子内部的神秘面纱。它的伟大意义却不因为其短暂的生命而有任何的退色。它挖掘出了量子的力量，为未来的开拓者铺平了道路。 当玻尔的原子还在泥潭中深陷无法自拔时，新的革命已在酝酿之中。这一次革命者来自法国的贵

15、族德布罗意王子。,23,1924年德布罗意提出了一个计算电子等微粒波长的公式： E = h , p = h/ E ，p 体现了电子的粒性， ， 体现了电子的波性。,Louis de Broglie, 18921987,24,德布罗意在他的博士论文中提出电子是一种相波，后来人们把它称为德布罗意波。当时人们认为，这只是一个方便的理论假设，而非物理事实。但爱因斯坦在点评该论文时，却马上给予高度评价，称德布罗意“揭开了大幕的一角”。整个物理学界大吃一惊，才开始关注德布罗意的工作。 德布罗意的公式1927年得到了证实。 德布罗意因成功描述量子波动力学而获得1929年的诺贝尔物理学奖。德布罗意是有史以来第

16、一个仅借博士论文就直接获得诺贝尔奖的人，他的博士学位是颁发过的含金量最高的学位。,25,1924年23岁的德国物理学家海森堡博士受玻尔的邀请到哥本哈根玻尔的研究所工作了一年，感受到了哥本哈根的“量子气氛”。回到哥廷根后海森堡重新研究氢原子的谱线问题。他先采取虚振子的方法，但所遇到的数学困难几乎是不可克服的。他决定换一种方法，从电子在原子中的运动出发，先建立基本的运动模型。事实证明他的路走对了，新的量子力学就要被建立起来，但那却是人们之前连想都不敢想的形式矩阵。,Werner Karl Heisenberg 1901-1976,26,1925年海森堡到英国剑桥讲学，他对自己的发现心中还没有底。但

17、剑桥年青的学者狄拉克很快把握住了海森堡体系的精髓奇怪的矩阵乘法规则：pqqp。狄拉克用更简洁的方法得到这一结论。,Paul Adrien Maurice Dirac， 19021984,狄拉克创立了量子电动力学，建立“狄拉克方程”，预言存在正电子，还预言存在反粒子，提出存在反物质。 狄拉克于1928年建立狄拉克方程。这个貌似简单的方程式被认为是惊天动地的成就，是划时代的里程碑：它对原子结构及分子结构都给予了新的层面和新的极准确的了解。没有这个方程，就没有今天的原子、分子物理学与化学。没有狄拉克引进的观念就不会有今天医院里通用的核磁共振成像（MRI）技术，不过，这项技术实际上只是狄拉克方程的一项

18、很小的应用。,27,1927年海森堡从pqqp出发提出测不准原理：不可能同时知道亚原子(电子)的位置或速度。 pqqp暗示了先观测动量p，再观测位置q，与先观测位置q ，再观测动量p的结果是不一样的。 我们测量物体的位置必须看到它：得有某个光子从光源出发，撞到物体身上，然后反弹到你的眼睛中。但对于像电子这样小的物体，我们派光子去执行这一任务，光子回来报告说：我接触到了这个电子，但它被我狠狠撞了一下后，不知飞到什么地方去了。为了测量电子的位置，我们剧烈地改变了它的速度，也就是动量。所以我们不可能同时既准确地知道一个电子的位置，同时又准确地知道它的动量。,28,海森堡导出了一个公式： p q h/

19、4 如果p测量非常准确，即p很小，那么相应地q 会变得非常大。 海森堡1932年因测不准原理获诺贝尔奖。 1925在年海森堡发展了第一套完整的量子力学理论后的几个月后，奥地利人薛定谔提出了另一种运用数学更少的方案波动方程。之后他很快证明了他的理论等同于海森堡的理论。,薛定谔的波动方程让几乎全世界的物理学家都松了一口气，他们终于解脱了，不必再费劲地学习海森堡那异常复杂和繁难的矩阵力学了。,29,薛定谔的思路是：从经典的哈密顿方程出发，构造一个体系的新函数 代入，然后再引用德布罗意关系式和变分法，求出方程的解。这种思路与大家印象中的物理学是迥然不同的。 与时间无关的薛定谔方程，即定态薛定谔方程：,

20、由此式可解出一系列不连续的E，以及波函数。 例如：氢原子和类氢离子解得波函数为：,RnJ(r)见物理化学表(8.5.1) Yjm(, )见物理化学表(8.4.1),30,氢原子轨道的图形：,31,新的问题出现在大家面前：这些波是什么？ 由于2 具有概率的意义，因此德国物理学家波恩提出了一种解释：粒子的波是对粒子表现出来的某一性质的可能性的描述。比如粒子在某一刻出现在某一位置的可能性。 以往的物理学不仅能够解释过去，还能预言未来。这已成为物理学家心中深深的信仰。可是现在物理却不能预测电子的行为，无法确定单个电子究竟会出现在什么地方，而只能找出电子出现的概率。,32,爱因斯坦在1926年写信给玻尔

21、：“ 我绝不会相信上帝在掷骰子” 为了解释光子、电子等的波性和粒性的矛盾，玻尔1927年提出了一种连接量子物理和其它物理的途径，这就是著名的哥本哈根解释：粒子具有波的性质，直到对粒子进行观测为止。观测行为本身将使波函数塌缩，实现本来具有多种可能性中的一种。,33,薛定谔不同意玻尔的观点，他在1934年设计了一个思想实验，试图揭示哥本哈根解释的荒谬。,设想有一个箱子，里面有一只活猫。一个装有镭的容器及一个装有氰化物的小瓶也被放在箱子中。镭原子会发生衰变。在这个装有活猫的箱子中，当镭原子发生衰变放出一个中子，就会打碎小瓶，使氰化物从小瓶中释放出来，从而杀死猫；如果镭不发生衰变，小瓶也不会被打碎，猫

22、会活下去。,按照哥本哈根解释，在打开箱子看猫死活之前，猫既是死的，也是活的，因为两种可能性都存在，即猫处在一种死/活叠加的状态。,直到今天，“ 薛定谔猫”仍在深深困扰着哥本哈根的支持者。,34,从量子论1925年创立以后，一直有许多优秀的科学家试图解释它，哥本哈根解释后，又出现了多宇宙、隐变量、退相干、自发定域等解释。 1997年，在马里兰大学召开了一次关于量子力学的研讨会。有人做了一次问卷调查，统计与会者究竟相信哪一种关于量子论的解释，结果相信哥本哈根解释的13票，多宇宙8票，隐变量4票，退相干4票，自发定域1票，还有18票说没想好，或相信上述之外的某种解释。,直到今天，物理学家仍然对量子力

23、学中的一些问题感到困惑。 诺贝尔物理奖获得者、量子物理的奠基人玻尔有一句名言：谁不常对量子物理感到困惑，他就不懂它。,35,到1999年，在剑桥牛顿研究所举行的一次量子计算会议上，又做了类似调查，结果哥本哈根4票，修订过的动力学理论（对薛定谔方程进行修正）4票，隐变量2票，多世界和多历史加起来（它们都属于认为“没有坍缩存在”的理论）得到了令人惊奇的30多票。更令人惊奇的是，竟有50多票承认自己尚无法做出抉择。 量子力学作为20世纪物理史上最重要的成就之一，到今天为止，它的基本数学形式已经被创立了80年之多，但仍然没有被最后完成。人们仍在为如何解释它争吵不休，这在物理史上是前所未有的。 但这并不

24、妨碍量子力学所取得的巨大成功。从它被创立以来它就挟着雷霆万钧之力，把每个角落都塑造的焕然一新。量子论的出现彻底改变了世界的面貌，它比史上任何一种理论都引发了更多的技术革命。核能、计算机技术、新材料、能源技术、信息技术这些都在根本上和量子论密切相关。,36,量子论深入固体物理之中，使我们对固体机械和热性质的认识产生了翻天覆地的变化，更打开了通向凝聚态物理的大门。在它的指引下，我们才真正认识了电流的传导，最终走向微电子学的创立。在分子物理领域，它成功地解释了化学键和轨道杂化，从而开创了量子化学学科。如今我们关于化学的几乎一切知识，都建立在这个基础之上。在量子论的指引下，我们认识了超导和超流，我们掌

25、握了激光技术，我们创造出了晶体管和集成电路，为整个新时代的来临真正做好了准备。 量子论让我们得以一探原子内部最为精细的奥秘，我们不但更加深刻地理解了电子和原子核之间的相互作用和关系，还进一步拆开原子核，领略到了大自然那更为令人惊叹的神奇。最后可能我们对宇宙终极命运的理解也离不开量子论。,37,如果要评选20世纪最为深刻地影响了人类社会的事件，那么可以毫不夸张地说，它既不是两次世界大战，也不是联合国的成立，或者人类探索太空，而是量子力学及其相关理论的创立和发展。 但量子论的道路仍未走到尽头，命运注定它仍要继续影响物理学的将来。 量子论的基本形式只是一个大的框架，它描述了单个粒子如何运动。但要描述

26、在高能情况下，多粒子间的相互作用时，我们就必须要涉及场的作用。这一工作由狄拉克开始，经由约尔当、海森堡、泡利等的发展，很快人们认识到：原来所有粒子都是弥漫在空间中的某种场，这些场有着不同的能量形式。当能量最低时，就是通常所说的“真空”。,38,真空其实是粒子的一种不同形态（基态）而已，任何粒子都可以从中被创造出来，也可以互相湮灭。狄拉克方程更预言了“反物质”的存在。1932年加州理工的安德森发现了最早的“反电子”。它的意义如此重要，以至于仅过了4年就获得了诺贝尔奖。 今年9月25日美国能源部费米国家加速器实验室国际费米碰撞探测器合作组（共有13个参与国的700名科学家工作在61家研究机构中）的

27、科学家宣布，测量到物质与反物质以每秒3万亿次的速率进行相互转变。,39,在我们的宇宙中总共有4种相互作用力：引力、电磁力、强相互作用力和弱相互作用力。它们各自为政，互不干涉，遵守着不同的理论规则。人们总是希望能够把他们统一起来，这也是爱因斯坦晚年的梦想。 量子电动力学发现：电磁力的本质是两个粒子间不停地在交换光子。斥力就像两个人互相扔皮球，两人会越来越远；吸引力就像两人背靠背，各自往墙上扔皮球，两人会越靠越近。 之后，日本物理学家汤川秀树预言，强相互作用力和弱相互作用力也必定是类似的机制。只不过在强相互作用中，交换的是“介子”，而在弱相互作用力中交换的是“中间玻色子”。这些预言不久相继得到证实

28、。,40,人们开始怀疑这3种力其实本质上是一个东西。20世纪60年代，美国人格拉肖、温伯格、和巴基斯坦人萨拉姆成功地从理论上证明了弱作用力和电磁力的一致性，他们的成果被称为“弱电统一理论”。3人为此获得1979年的诺贝尔奖。 强相互作用中能够感受强力的是原子核中的质子、中子等，因此把它们也称为“强子”。1964年，盖尔曼提出：每一个强子都可以进一步被分割称为“夸克”的东西，它们通过交换“胶子”来维持相互作用力。每种夸克都有不同的“颜色”，所以该理论取名为“量子色动力学”。,41,人们将电磁力、强、弱相互作用力包含到一个框架中，提出了“大统一理论”。不过到目前为止大统一理论预言的一些现象还没有被

29、证实。但无论如何，大统一理论都是非常有前途的理论，很多人相信，它的胜利是迟早的事情。,物理学发展到现在，只剩下最后一个分歧，但也可能是最难调和统一的分歧：广义相对论与量子场论的矛盾。爱因斯坦晚年的战略思想是从广义相对论出发去攻打电磁力，这样的进攻被证明是极为艰难而伤亡惨重的：不仅边界上崇山峻岭，有着无法克服的数学困难，而且对方居高临下，地形易守难攻。,42,虽然爱因斯坦执著不懈地一再努力，但整整30年，直到他去世，仍没有获得任何进展。今天看来，这个失败不可避免，爱因斯坦的旧式军队不可能跨越广义相对论和量子论之间的深深的不可逾越鸿沟。 但量子力学正在迅猛发展起来，它的力量超出了人们所能想象的极限

30、。这一次以量子论为主导，是否能完成统一大业呢？ 近年来产生了不少量子引力的理论，其中声名远扬，时髦无比的为“超弦理论”。 在相对论里，引力被描述为由于时空弯曲而造成的几何效应，而量子场论则把基本的力看成是交换粒子的作用。因此人们设想引力可能也是交换某种粒子的结果，人们在没见到它前，已先为它起好了名字“引力子”。根据预测，它应该是一种自旋为2，没有质量的玻色子。,43,但人们很快发现，不能把所谓引力子和光子等等同处理。 新希望出现在1968年。意大利物理学家维尼基亚诺偶然发现，欧拉早于1771年出于纯数学原因研究过的叫做“欧拉函数”的东西，竟能够很好地描述核子中的许多强相互作用效应。 维尼基亚诺

31、模型不久后被3个人几乎同时注意到，他们是芝加哥大学的南部阳一郎，耶希华大学的萨斯金和玻尔研究所的尼尔森。三人分别证明了，这个模型在描述粒子时，等效于一根一维的“弦”。 加州理工的施瓦茨和法国物理学家谢尔克研究了该理论的一些性质，他们把这种弦当作束缚夸克的纽带，即夸克是被绑在弦的两端，因此永远不可能单独从核中被分割出来。但后来人们发现该理论有些问题，尤其是要想自圆其说，就必须要求我们的时空是26维的。,44,量子色动力学的兴起使超弦理论失去了吸引力。在最惨淡的日子里，只有施瓦茨和谢尔克在坚持不懈。1971年施瓦茨与雷蒙等人合作，把26维的弦简化为10维。并初步引入了“超对称”的思想。与超对称的联

32、盟使得弦论获得了前所未有的的力量，它在引力方面的光明前景逐渐显现出来。1980年谢尔克不幸逝世，施瓦茨与伦敦玛丽皇后学院的迈克尔.格林合作，终于完成了超对称和弦论的结合。 新的理论犹如脱胎换骨，完成了一次强大的升级，名字升级为“超弦论”。当把他们的模型用于引力时，发现计算结果有限而且有意义，这令他们欣喜若狂。引力大军整天防卫粒子进攻，当人们不再把粒子当作一个点，而是看成一条弦的时候，终于深入到了引力王国的纵深地带。1984年施瓦茨进一步解决了超弦理论的关键问题，终于使超弦理论惊动了整个物理界。人们爆发出了罕见的热情和关注，成百上千的人们投身到这一领域。,45,超弦论的基本观点是：任何粒子其实都

33、不是传统意义上的点，而是开放或闭合的弦。当它们以不同的方式振动时，就分别对应于自然界中的不同粒子（如电子、光子、引力子）。 我们仍生活在10维空间里，但有6个维度是紧紧卷缩起来的，我们平时觉察不到它。就像一根水管，远看像一条线，只有一维。但把它放大后，发现它还有横截面！这第2个维度被卷曲了起来，粗看之下分辨不出。 在超弦的图像里，我们的世界也是如此，有6个维度出于某种原因收缩的非常紧，以致粗看上去宇宙紧紧是4维的。但如果把时空放大到“普朗克空间”的尺度（大约10-33cm），我们会发现，原本是时空中的一个“点”的东西，竟然是一个6维的“小球”！这6个卷缩的维度不停地扰动，从而造成了全部的量子不

34、确定性！,46,虽然超弦论声名大振，但仍有少数物理学家对此报怀疑态度，霍金对此也不热情。当第一次革命过去后，经过大浪淘沙，有5种超弦理论被保留了下来。这5种超弦论都采用10维时空，都能自圆其说，哪种才是正确的呢？人们的热情消退了。 20世纪90年代中期，超弦再次从沉睡中苏醒，唤醒它的是爱德华.威顿。他证明了5种超弦理论，在逐渐放大耦合常数时，其实是一个大理论的5个不同变种。就像盲人摸象，每个人摸到象的一部分。 这个统一的理论被称为“M理论”，发明者或许本意是指“母亲”(Mother)，说明它是5种超弦的母亲。但也有人认为是“神秘”(Mystery)，或者是“矩阵”(Matrix)，或者“膜”(

35、Memberane)。有些中国人喜欢称其为“摸论”，意指“盲人摸象”。,47,不过，最近弦理论又遭遇了空前的危机，有许多人，包括一些诺贝尔奖得主，开始担心这个理论已走进死胡同，认为试图通过几个简单的方程来描绘整个宇宙结构的弦论走到了知识的尽头。原因是很多年过去了，科学家并未能以一种简便易行的实验来证实该理论，因为要“砸开”物质及研究物质内的弦所需的能量太大，需要有大到足以覆盖地球的设备来研究。 但正方的观点是，一个包罗万象的理论不可能在一夜之间提出来。这就像抱怨一把未完工的小提琴所发出的声音一样。他们说，弦论走的方向是对的，但这条路相当漫长，需要有新的突破。不能因为这一理论作出了不可证实的预测

36、，就觉得它是错误的。,48,不管是超弦还是M理论，都还是刚刚起步，还有更长的路要走。虽然异常复杂，但超弦/M理论仍取得了一定的成功，甚至得以解释黑洞熵的问题。也许不久就会有第三、第四次超弦革命，从而最终完成物理学的大统一，我们谁也无法预见。 值得注意的是，自弦理论以来，人们开始注意到，似乎量子论的结构才是更为基本的。在弦理论中，必须先引进量子论，然后才导出大尺度上的空间结构。人们开始认识到，也许“从小而大”才是根本的解释宇宙的方法。许多人相信，只有更进一步地依赖量子的力量，超弦才会有一个比较光明的未来。 量子虽然是那样古怪，但神赋予了它无与伦比的力量，将整个宇宙的命运都控制在它的掌握之下。,4

37、9,量子论就是这样，在奇妙的气氛中诞生，在乱世中艰难地成长起来，与一些伟大的对手展开过激烈的交战。它建筑起经天纬地的巨构，却也曾在其中迷失方向而茫然徘徊不已。它至今使我们深深困扰，却又担负着我们最虔诚和最宝贵的愿望和梦想。它最终的归宿是什么？超弦？理论？我们仍不清楚。但我们相信也许最终会出现一个量子引力理论，把整个物理学最终统一起来，把宇宙最终极的奥秘骄傲地谱写在人类的历史之中。 人类居住在太阳系中的一颗小小行星上，其文明不过万年的历史，现代科学的创立不到400年。但人类的智慧贯穿整个时空，从最小的量子到最大的宇宙尺度，从大爆炸的那一时刻到时间的终点，从最近的白矮星到最远的宇宙视界，没有什么可

38、以阻挡人们探寻的步伐。这一切都来自于人们对于成功的信念，对于科学的依赖，以及对于神奇的自然那永无休止的好奇。,50,8.1 量子力学基础 8.2 势箱中粒子的薛定谔方程求解 8.3 一维谐振子 8.4 二体刚性转子 8.5 类氢离子及多电子原子的结构 8.6 分子轨道理论简介 8.7 分子光谱简介,51,量子力学是在经典物理学的基础上发展起来的(经典物理学包括：经典力学、电磁学、热力学和统计力学，研究大量微观粒子组成的宏观物体)。 经典力学研究宏观物体的机械运动，有三个等价体系，即牛顿体系、拉格朗日体系、和哈密顿体系。,8.1 量子力学的基本假设,我们最熟悉的是牛顿体系，它由三个定律构成。牛顿

39、的运动定律向人们揭示了一个机械的和确定性的世界。如果你知道了一个物体的初始位置和速度，比如棒球或火箭，你就能精确地知道它以后会在哪里。,52,积分得：,牛顿的第二定律为：,即在一定的作用力下，代入初始状态的 x0 和动量 p0，就可以解得任意时间t 时物体的位置 x 和动量 p,53,牛顿定律是一种“ 决定性”方程，在一定条件下，没有什么是不确定的，将来就象过去一样确定地展现在眼前。,然而，对于微观粒子组成的系统，牛顿力学不再适用，因为微观粒子的位置和动量不可能同时确定，这就是著名的海森堡测不准原理。,牛顿体系虽然全面代表了经典力学，但量子力学中薛定谔方程则使用哈密顿体系。哈密顿函数的定义式为

40、： H = T + V,由哈密顿函数引出的哈密顿算符在量子力学中起着重要作用。,54,1量子力学要解决的问题 对于微观粒子： 1)如何描述系统的状态？ 第一个假定 2)状态随时间的变化的规律即运动方程？ 第二个假定 3)可测量的力学性质与状态的关系？ 第三、四两个假定,2量子力学中所使用的算符及性质 算符：算符是一种能将一个函数变为另一个函数的运算 符号。 例如：d/dx , d2/dx2 , exp , sin , cos 等。可用、 等抽象 地表示算符。,55,量子力学中一些要使用的算符的性质： 1) 线性算符： 一个算符如果对任意函数f 和g都有： (f + g ) = f + g 则为

41、线性算符。 d/dx , d2/dx2 等为线性算符； sin , cos 等不是线性算符； 量子力学中采用的算符均为线性算符。,56,2)算符的本征方程、本征函数和本征值： 当一个算符作用于一函数u(x)后，所得结果等于一个数与该函数的乘积，即： u(x) = u(x) 则：该方程为算符的本征方程； u(x) 是的本征函数； 是的本征值。,57,3) 厄米算符：又称自厄算符 对任意品优函数u(x)和v(x)都满足下面共厄式的算符(*指共轭)：,量子力学中使用的哈密顿算符 即为线性厄米算符。 （品优函数：u(x)必须是单值、连续可微的函数，并且是平方可积的函数，即：在全部空间中的积分必须是有限

42、的。）,58,厄米算符有两个重要性质： (a) 厄米算符的本征值是实数； (b) 厄米算符的不同本征函数具有正交性，即: 两个函数u1(x)和u2(x)在a,b区间有：,3量子力学的四个基本假设 (1) 微观粒子的状态可用波函数 来描述,59,波函数具有以下特点： 波函数 是位置和时间的函数； (因微观粒子的位置和动量不可能同时确定，所以或者采用位置和时间为变量，或者采用动量和时间为变量) 具有单值、有限和连续可微的性质，并且是平方可积的；(即 为品优函数) 与共轭复数 *的乘积( * = 2 )代表微粒在 t 时间出现在d 体积元的概率密度 在整个空间找到粒子的概率应为1： ,此为波函数的归

43、一化条件。,60,(3) 每一个宏观力学量均对应一个算符,在经典力学中，每一个力学量都可表达为位移 q 和动量 p 的函数： F = F(q, p),该力学量对应的厄米算符相应地表示为：,，h为普朗克常量，h = 6.62610-34Js,61,由质量为m的单个粒子组成的系统，其总能量为： E = T + V (T为动能，V为势能),在哈密顿体系中，以哈密顿函数H 表示系统的总能量：,相应的哈密顿算符为：,62,(2) 系统状态 随时间变化由薛定谔方程描述,63,如系统的势能与时间无关时，可用分解变量法求解,将:,代入薛定谔方程， 可得：,使上式成立的条件是：两边同时等于一个常数，即：,可得：

44、,该式称为与时间无关的薛定谔方程，即定态薛定谔方程,64, 的本征函数， E 的本征值，微观粒子系统的能量,积分可得：,而：,即在空间某点附近找到粒子的概率不随时间变化。,由：,65,(4) 测量原理,在一个系统中对力学量进行测量，其结果为的本征值n。,这里有两个含义： (1)如果系统所处的状态为的本征态n，则对的测量结果一定为n； (2)如果系统所处的状态 不是的本征态，则对的测量将使系统跃迁至的某一本征态k ，其测量结果为与该本征态对应的本正值k。,66,态的叠加： 由本征方程 可解得一系列本征函数： 1 、 2 、 3 ，和相应的本征值E1、 E2、 E3,在测量该状态的能量时，将不能得

45、到单一的E，而是E1、E2 中的任一个，得到任一个Ej 的概率正比于aj2,若波函数不是力学量算符的本征函数,那么该力学量算符平均值按 计算,67,而系统能量的平均为：,与哈密顿算符的本征方程 =E 比较，可知 其本征值 E 为系统能量的平均值。,68,8.2 势箱中粒子的薛定谔方程求解,1. 一维势箱中粒子的平动,一个质量为m的粒子，在长度为a的势箱内运动， 势箱内：粒子的势能为0，V(x)=0； 势箱外：粒子的势能为无穷大，V(x)=,69,量子力学的处理：,1) 一维平动粒子的哈密顿函数,2) 一维平动粒子的哈密顿算符,3) 一维平动粒子的定态薛定谔方程,即：,70,在势箱外：V(x)=

46、 ，(x)= 0 在势箱内：V(x)= 0， 薛定谔方程为：,求解得：,解得：,71, 并令A2iA, A 0 , (n= 0, 1, 2) (8.2.10),n = 1,2,为正整数，但不包括0,因n=0时，(x)0，粒子不存在，故不合理；n取+1和-1, (x)相同.,72,由式(8.2.10)得：,(n = 1, 2),En 薛定谔方程的本征值; n 量子数;,结论:势箱中粒子的平动能量是量子化的,常数由归一化条件确定：,73,一维势箱中粒子平动的波函数为：,n=1,2,以图表示 n = 1，2，3时的(x) 和(x)*(x) 对x 的曲线如图(8.2.2)所示 ,74,4)使(x)为0

47、的点称为节点，节点处发现粒子的概率为0；n， 节点数。,重要概念和结论： 1)势箱中粒子的能量是量 子化的； 2)基态能量E10，称为零 点能； 3)(x)可有正、负，代表相 位的差异，2始终为正，代表粒子出现的概率密度；,75,2.三维势箱中的粒子,三维势箱中粒子模型如图所示： 条件：0 x a ; 0 y b ; 0 z c ; 势箱外：V(x,y,z) 势箱内：V(x,y,z)0,势箱内粒子的薛定谔方程：,如合理假设x,y,z三个方向的运动相对独立，可用分离变量法来求解：,76,(8.2.16),可得三个一维 薛定谔方程：,其解为：,代入(8.2.16)式，得：,77,系统量子数的个数与

48、自由度间存在对应关系: 一维粒子只有nx一个量子数，所以只有一个自由度； 三维粒子有nx,ny,nz三个量子数，所以有三个自由度,78,能级的简并及简并度g：,如势箱三个边长相等a=b=c，有,当nx=ny=nz=1时，E0=3h2/(8ma2)，为基态的零点能,当能级的能量高于零点能时，有可能出现两个以上波函数具有相同的能级，即两个以上的本征函数具有相同的本征值。这种现象称为能级的简并。,例如：,简并度： g = 3 g = 3 g = 1,79,8.3 一维谐振子,1 一维谐振子的经典力学处理,解方程得：,80,一维谐振子的位能为：,一维谐振子的动能为：,2一维谐振子的量子力学处理,一维谐

49、振子的哈密顿算符为：,一维谐振子的薛定谔方程为：,81,解该方程后得到：,v = 0,1,2,3, (8.3.7),由式(8.3.7)可知： (1)一维谐振子的零点能为 (2)一维谐振子相邻能级间隔 (3)波函数v( )有v个节点； (4)应用于双原子分子时以折合质量 代替m。,v 振动量子数； Nv 为归一化常数； Hv( ) 厄米多项式,可导出：,82,图(8.3.2)示出了不同量子数时所对应的能级及波函数的曲线：,经典力学中，振子应在抛物线范围内运动；,量子力学中，波函数v 在抛物线外不为0， v2也不为0，这种现象称为隧道效应。,83,8.4 线性刚性转子,线性刚性转子的模型如图所示：,1. 经典力学处理,当线性刚性转子绕质量中心S 旋转时，其动能为：, 折合质量， =m1m2/(m1+m2)； 角速度； I 转动惯量，I = d 2,84,刚性转子位能为0，转子的总转动能为：,M 角动量，M = I,2. 线性刚性转子的薛定谔方程,角动量平方的算符为：,为求解方便，改用球坐标表示，可导出：,85,采用分离变量法，令波函数：,因势能为0，故只需考虑角度部分波函数的求解。,线性刚性转子的薛定谔方程：,86,m = 2,m = 1,m = 0,J = 2,m = 1,m = 0,J = 1,m = 0,J = 0,球谐函数 YJ m