《向量及其线性运算》PPT课件.pptx

1、1,第一章 向量代数,要点 空间结构解析化思想 向量概念及其与数量的区别 向量的各种基本运算及其几何意义 向量代数运算应用于几何证明,2,1向量及其线性运算,向量的初等几何背景 向量代数是平面几何解析化的自然工具之一 由于所运用的向量是所谓的自由向量，欧氏几何中的平行性质被自然地隐含在向量的表示及其运算之中 同时，向量之间的垂直关系也可以方便地用代数式子表示 向量的初等物理背景 力、速度、位移,三维欧氏空间E3中的向量及其向量空间R3概念 向量及其表示 向量的线性运算 加法 数乘 几何应用例示 线性相关与共线、共面 定比分点问题,3,1E3 中的向量及其表示,数量与向量（矢量） 向量的两个基本

2、要素 大小 方向 向量的几何表示 有向线段 模长（模），方向 起点（始点）和终点（终端点） 自由向量,记号约定： 任意给定空间中的两个点 A 和 B ， 通常以 AB 记连接两点的线段及其长度； 通常记从 A 到 B 的有向线段以及所对应的向量为 AB 或,AB 的模长 AB AB . 向量之间的基本关系 相等； 平行（共线）， ；,4,1E3 中的向量及其表示,向量之间的基本关系 相等； 平行（共线）， ； 方向相同（同向）， 方向相反（反向）；,反向量 AB BA AB ； 零向量 AA 0,常见其他关系例示 垂直； 共面,5,2向量的加法运算,向量加法的定义 向量 a 与向量 b 的和向

3、量 a b ； 三角形法则； 平行四边形法则,向量加法的运算律 交换律 a b b a ； 结合律 a b c a b c ；,6,2向量的加法运算,向量加法的定义 向量加法的运算律 交换律 a b b a ； 结合律 a b c a b c a b c ；,零元素 0 的性质 a 0 a ， a a 0 ,7,2向量的加法运算,向量加法的运算律 交换律； 结合律； 零元素 0 的性质,三角不等式（三角形不等式） a b a b ， 并且等号成立的充要条件为 a 与 b 同向 有限个向量之和的基本性质 任意交换求和次序； 任意结合各个部分； 首尾相接作图法； 三角不等式的推广,8,2向量的加法

4、运算,向量加法的逆运算向量减法的定义 向量 a 与向量 b 的差向量 a b 使 a b b a ； 它是加法的逆运算： a b a b ,向量减法的运算律归结为加法的运算律 向量减法的性质归结为加法的性质 问：交换律是否成立？三角不等式如何变形？,9,向量的数乘运算,向量数乘的定义 数量 与向量 a 的乘积向量 a 确定为 a a， a 与 sign a 同向,非零向量的单位化 模长为1的向量称为单位向量； 任何给定的非零向量 a 都可以单位化为 a0 ，即,向量数乘的运算律 结合律 a a ； 分配律 a a a ， a b a b ,10,向量的数乘运算,向量数乘的定义 向量数乘的运算律

5、 结合律 a a ； 分配律 a a a ， a b a b ,结合律的验证： 模长，两端相等； 方向，完全分类讨论；按 符号分别证明,分配律 1 的验证： 方法同上可验证 分配律 2 的验证： 按 的符号分别讨论 当 0 时， a b 0 a b ； 当 0 时， 证法一：取相同起点，则由相应平行四边形（或蜕化）的相似关系可证两端相等； 证法二：教材图1-10.,11,向量的数乘运算,向量数乘的定义 向量数乘的运算律 a a ； a a a ， a b a b ,分配律 2 的验证： 按 的符号分别讨论 当 0 时，成立； 当 0 时，成立； 当 0 时，有, a b a b ， 左右移项，

6、既得 a b a b ， 再由结合律，此即 a b a b ， 结论仍然成立； 综合以上三种情形，得证 问：数乘关于减法的分配律如何？,12,向量线性运算的几何应用例示,向量的上述加法和数乘运算共同构成线性运算，使得上述向量全体成为三维向量空间 几何应用例示 线性相关与共线、共面；定比分点问题 定理1.1 对于非零向量 a 0 和 b ，有充要条件 b a R, 使 b a 证法分析 注意到几何意义，利用定义可证,证明：由数乘定义和平行（共线）定义，显然 ：现在已知 a 0 和 b a ，故有 b a0 ，从而,13,向量线性运算的几何应用例示,定理1.1 对于非零向量 a 0 和 b ，有充

7、要条件 b a R，使 b a 证明：由数乘定义和平行（共线）定义，显然 ：现在已知 a 0 和 b a ，故有 b a0 ，从而,b b a0 (b / a) a 现取 (b / a) R，则得 b a 综合上述结论，得证 推论 ba (, ) (0, 0)，使 ab 0 . 证明：当 a 0 时，只要任取 0 ， 并取 0 ，便得 (, ) (0, 0)，使 a b 0 ,14,向量线性运算的几何应用例示,定理1.1 对于非零向量 a 0 和 b ，有充要条件 b a R，使 b a 推论 b a (, ) (0, 0)，使 ab 0 . 证明： ：当 a 0 时，只要任取 0 ， 并取

8、0 ，便得 (, ) (0, 0)，使 a b 0 ,当 a 0 时，由定理结论，此时 R，使 b a 只要再取 1 ，便得 (, ) (0, 0)，使 a b 0 综合以上两种情形，必要性得证,15,向量线性运算的几何应用例示,推论 b a (, ) (0, 0)，使 ab 0 . 证明： ：当 a 0 时，只要任取 0 ， 并取 0 ，便得 (, ) (0, 0)，使 a b 0 当 a 0 时，由定理结论，此时 R，使 b a 只要再取 1 ，便得 (, ) (0, 0)，使 a b 0 综合以上两种情形，必要性得证,：不妨设 0 ，则 a ( / )b 由数乘定义和平行（共线）定义，显

9、然 b a 结论得证,16,向量线性运算的几何应用例示,定理1.2 对于不共线向量 a 和 b ，以及 c ，有充要条件 c 与 a，b 共面 (, )R2，使 c ab .,证明：由加法定义和数乘定义，当起点公共取为同一点时， c 落在由 a 和 b 所张成的平面之内，因而共面 ：取同一起点 O，现在在由 a 和 b 所张成的平面之内，过 c 终点分别作 a 和 b 的平行线，交 a 和 b 所在直线于点 A 和 B ,17,向量线性运算的几何应用例示,定理1.2 对于不共线向量 a 和 b ，以及 c ，有充要条件 c 与 a，b 共面 (, )R2， 使 c ab ,证明： ：取同一起点

10、 O，现在在由 a 和 b 所张成的平面之内，过 c 终点分别作 a 和 b 的平行线，交 a 和 b 所在直线于点 A 和 B ,则 OA 和 a 共线， OB 和 b 共线，并且 c OA OB 注意到 a 和 b 都是非零向量，由定理1.1可知，,18,向量线性运算的几何应用例示,定理1.2 对于不共线向量 a 和 b ，以及 c ，有充要条件 c 与 a，b 共面 (, )R2， 使 c ab ,证明： 则 OA 和 a 共线， OB 和 b 共线，并且 c OA OB 注意到 a 和 b 都是非零向量，由定理1.1可知，,R，使 OA a ， R，使 OB b 此时 c ab ，必要

11、性得证 综合上述结论，得证,19,向量线性运算的几何应用例示,定理1.2 对于不共线向量 a 和 b ，以及 c ，有充要条件 c 与 a，b 共面 (, )R2， 使 c ab ,推论 a, b, c 共面 (, , ) (0, 0, 0)，使 a b c 0 证法：仿照定理1.1推论可证（习题一第13题） 问：三个向量共面与四点共面有何关系？两个向量共线与三点共线有何关系？,20,向量线性运算的几何应用例示,点与向量的约定对应 在 E3 中取定起点 O ，任取点 AE3 则点与向量之间有自然的对应 A 向量 OA ； 其中向量 OA 称为点 A 的位置向量（或向径，定位向量，半径向量），简

12、记为 A ,线段的中点公式 线段 P1P2 的中点 M 确定为 OM OP1 P1M OP1 P1P2 /2,21,向量线性运算的几何应用例示,线段的中点公式 P1P2 的中点 M 确定为 OM OP1 P1M OP1 P1P2 /2 OP1 (OP2 OP1)/2 (OP1 OP2)/2 ，,可简记为 M (P1 P2)/2 推论：平行四边形的两条对角线互相平分 问：一般定比分点？ 在线段 P1P2 （或其延长线）之上求一点 P ，使得有向长度之比给定为 P1P : PP2 1 : 2 .,22,向量线性运算的几何应用例示,定比分点公式？ 在线段 P1P2 （或其延长线）之上求一点 P ，使

13、得有向长度之比给定为 P1P : PP2 1 : 2 .,此时 1 2 0 并且 P1P 1/(12) P1P2 , PP2 2/(12) P1P2 , P1P2 OP2 OP1 . 从而有 OP OP1 P1P OP11/(12)P1P2,23,向量线性运算的几何应用例示,定比分点公式 在线段 P1P2 （或其延长线）之上求一点 P ，使得有向长度之比给定为 P1P : PP2 1 : 2 .,此时 1 2 0 并且,可简记为,特例： 当 1 : 2 1 时，回到中点公式； 当 1 : 2 1 时，公式形变为,24,向量线性运算的几何应用例示,三角形重心公式 任意 ABC 的三条中线相交于重

14、心 G ，其中,可简记为,问1： ABC 三条中线一定相交于一点？ 问2：公共交点重心 G 位置？,观察和确定重心位置： 坐标法解方程，反验； 直观极限法，收敛于重心，反验,25,向量线性运算的几何应用例示,三角形重心公式 任意 ABC 的三条中线相交于重心 G ，其中,向量证法要点： 要验证三条中线的 2:1 分点重合于一个公共点即为重心 G 注意到对称性，只要验证一条中线的 2:1 分点为式中所定点 G 即可,三角形重心公式的证明 记 ABC 的中线 AA 的 2:1 分点 GA ，其中 A 是边 BC 的中点，要证 OGA 可由公式右端表达,26,向量线性运算的几何应用例示,三角形重心公

15、式 任意 ABC 的三条中线相交于重心 G ，其中,为此，由定比分点公式， 可得 OA (OBOC)/2 ， OGA (OA2OA)/3 ， 代入整理即得,三角形重心公式的证明 记 ABC 的中线 AA 的 2:1 分点 GA ，其中 A 是边 BC 的中点，要证 OGA 可由公式右端表达,27,向量线性运算的几何应用例示,三角形重心公式的证明 记 ABC 的中线 AA 的 2:1 分点 GA ，其中 A 是边 BC 的中点，要证 OGA 可由公式右端表达为此，由定比分点公式，可得 OA (OBOC)/2 ， OGA (OA2OA)/3 ， 代入整理即得,同理，另外两条中线的 2:1 分点同样确定为公式右端，因此三者重合，记为 G ，并且,证毕 注意：推证是探索过程的升华和总结！几何直观不可或缺！,28,习题一