概率论与数理统计第九章区间估计.ppt

1、第九章 区间估计,概率论与数理统计,单个正态总体均值与方差的置信区间,2,两个正态总体均值与方差的置信区间,3,置信区间,1,第九章 区间估计,第一节 置信区间,1,2,置信区间,置信区间求解步骤,一、置信区间概念,定义1 设总体X的分布函数 含有一个未知参数 （ 的可能取值范围），对于给定值 如果由样本 确定的两个统计量 和 （ ），对于任意 满足 则称随机区间 是 的置信水平为1-a的置信区间(Confidence interval)。,一、置信区间概念,和 分别称为 的置信水平为1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上限，1-a称为置信度，或置信水平(Confidence level)。,

2、二、置信区间求解步骤,1.求出 的一个点估计（通常为最大似然估计） 2.通过 的分布，构造一个随机变量函数 ，此函数除了含有未知参数 外，不含有其它的未知参数，并且它的分布是已知的或可确定的；,二、置信区间求解步骤,3.确定 ，使得 4. 将 等价变形为 ， 其中 和 只与 有关，则 就是 的1-a置信区间。,第二节 单个正态总体均值与方差 的置信区间,1,2,单个正态总体 均值 的置信区间,单个正态总体 方差 的置信区间 （ 未知）,一、单个正态总体 均值 的置信区间,1. 已知 由于样本均值 ，故 根据标准正态分布上侧分位点的定义有,一、单个正态总体 均值 的置信区间,从而有 所以， 的一

3、个置信水平为1-a的置信区间为,一、单个正态总体 均值 的置信区间,例1 某灯泡厂生产的灯泡的寿命服从正态分布 ,某天从生产的灯泡中抽取10只进行寿命试验，得数据如下： 1050，1100，1080，1120，1200， 1250，1040，1130，1300，1200。 求该天生产的灯泡平均寿命 的置信水平为99%的置信区间。,一、单个正态总体 均值 的置信区间,解：1-a=0.99，a=0.01 ， , 而 =1147，n=10, 故 的置信水平为95%的置信区间为 （1144.70，1149.30）。,一、单个正态总体 均值 的置信区间,2. 未知 当 未知时，可以用其无偏估计量 代替

4、，而 T= 由t分布的上侧分位点可得,一、单个正态总体 均值 的置信区间,即 因此均值 的置信水平为1-a的置信区间为,一、单个正态总体 均值 的置信区间,例2 有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量（以克计）如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，求总体均值 的置信水平为0.95的置信区间。,一、单个正态总体 均值 的置信区间,解： 1-a=0.95，a/2=0.025，n-1=15， 由给出的数据算得 =503.75 ，s=6.2022，得到均值 的置

5、信水平为0.95的置信区间为 这说明估计袋装糖果重量均值在500.4克与507.1克之间的可信程度为95%，若以此区间内的任一值作为 的近似值，其误差不大于 (克) ，这个误差估计的可信程度为95%。,二、单个正态总体 方差 的置信区间（ 未知）,因为 为 的无偏估计，且 由 分布的上侧分位点可得,二、单个正态总体 方差 的置信区间（ 未知）,即 因此 的置信水平为1-a的置信区间为,二、单个正态总体 方差 的置信区间（ 未知）,例3 求例1中总体标准差 的置信水平为0.95的置信区间。 解：由（3）得 的置信水平为0.95的置信区间为 从而总体标准差 的置信水平为0.95的置信区间为,第三节

6、 两个正态总体均值与方差 的置信区间,1,2,均值差 的置信区间,方差比 的置信区间,一、均值差 的置信区间,1 均为已知 因为 所以 从而可得 的置信水平为1-a置信区间为,一、均值差 的置信区间,2. 但是 为未知， 由 其中 得 的置信水平为1-a置信区间为,一、均值差 的置信区间,例4 为比较，两种型号的步枪子弹的枪口速度，随机地取型子弹10发，得到枪口速度的平均值为 =500(m/s)，标准差 =1.10(m/s), 随机地取型子弹20发, 得到枪口速度的平均值为 =496(m/s)，标准差 =1.20(m/s),假设两总体都可认为近似地服从正态分布。且由生产过程可认为方差相等。求两

7、总体均值差 - 的置信水平为0.95的置信区间。,一、均值差 的置信区间,解：根据实际情况，可认为分别来自两个总体的样本是相互独立的。又因为假设两总体的方差相等，但数值未知，故可用（5）式来求均值差的置信区间。 由于 1-a=0.95， 故所求的两个体样本均值差 的置信水平为0.95置信区间为 即,二、.方差比 的置信区间,由F= 由F分布上侧分位点，可得 即 因此方差比 的置信水平为1-a置信区间为,二、.方差比 的置信区间,例5 研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差 =0.34( )； 抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差 =0.29( )，设两样本相互独立，且设由机器A和机器B