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文档简介
1、第二篇重点专题分层练,中高档题得高分,第16练立体几何解答题突破练,明晰考情 1.命题角度:高考中考查线面的位置关系和线面角,更多体现传统方法. 2.题目难度:中档难度.,栏目索引,核心考点突破练,模板答题规范练,考点一空间中的平行、垂直关系,方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行,比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系,利用平行四边形构造平行关系. (2)证明线线垂直的常用方法 利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直; 利用勾股定理的逆定理; 利用线面垂直的性质.,核心考点突破练,证明,1.如图,在六面体ABCDE中,平面DBC平面ABC,AE平面A
2、BC. (1)求证:AE平面DBC;,证明过点D作DOBC,O为垂足. 又平面DBC平面ABC,平面DBC平面ABCBC,DO平面DBC, DO平面ABC. 又AE平面ABC,AEDO. 又AE平面DBC,DO平面DBC, 故AE平面DBC.,(2)若ABBC,BDCD,求证:ADDC.,证明由(1)知,DO平面ABC,AB平面ABC,DOAB. 又ABBC,且DOBCO,DO,BC平面DBC, AB平面DBC. DC平面DBC, ABDC. 又BDCD,ABDBB,AB,DB平面ABD, DC平面ABD. 又AD平面ABD, ADDC.,证明,2.(2018江苏)如图,在平行六面体ABCDA
3、1B1C1D1中,AA1AB,AB1B1C1. 求证:(1)AB平面A1B1C;,证明,证明在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,ABA1B1. 因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C.,(2)平面ABB1A1平面A1BC.,证明在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1AB, 所以四边形ABB1A1为菱形, 因此AB1A1B. 又因为AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC. 又因为A1BBCB,A1B,BC平面A1BC, 所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1平面A1B
4、C.,证明,证明,3.(2018全国)如图,在三棱锥PABC中,ABBC PAPBPCAC4,O为AC的中点. (1)证明:PO平面ABC;,证明因为PAPCAC4,O为AC的中点,,如图,连接OB.,所以ABC为等腰直角三角形,,由OP2OB2PB2知POOB. 因为OPOB,OPAC,OBACO,OB,AC平面ABC, 所以PO平面ABC.,(2)若点M在棱BC上,且MC2MB,求点C到平面POM的距离.,解作CHOM,垂足为H, 又由(1)可得OPCH, 因为OMOPO,OM,OP平面POM, 所以CH平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离.,解答,4.如图所示,三棱锥PABC
5、中,PA平面ABC,PA1, AB1,AC2,BAC60. (1)求三棱锥PABC的体积;,解答,解AB1,AC2,BAC60,,由PA平面ABC可知,PA是三棱锥PABC的高,且PA1,,解答,(2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求 的值.,解在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N,在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM. PA平面ABC,AC平面ABC, PAAC,MNAC. 又BNAC,BNMNN,BN,MN平面BMN, AC平面MBN. 又BM平面MBN,ACBM.,考点二空间角的求解,要点重组设直线l,m的方向向量分别为a(a1,b1,c1),b(a
6、2,b2,c2).平面,的法向量分别为u(a3,b3,c3),v(a4,b4,c4)(以下相同). (1)线线角,方法技巧求空间角的两种方法 (1)按定义作出角,然后利用图形计算. (2)利用空间向量,计算直线的方向向量和平面的法向量,通过向量的夹角计算.,证明,5.(2018诸暨模拟)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,PAD是边长为2的等边三角形,底面ABCD是直角梯形,BADCDA AB2CD E是CD的中点. (1)证明:AEPB;,证明取AD的中点G,连接PG,BG, 平面PAD平面ABCD,PGAD, 平面PAD平面ABCDAD,PG平面PAD, PG平面ABCD,
7、 AEPG. 又tanDAEtanABG, AEBG. 又PGBGG,PG,BG平面PBG, AE平面PBG, AEPB.,解答,(2)设F是棱PB上的点,EF平面PAD,求EF与平面PAB所成角的正弦值.,解作FHAB交PA于点H,连接DH, EF平面PAD,平面FHDE平面PADDH, EFDH. 四边形FHDE为平行四边形.,即H为PA的一个四等分点. 又ABAD,平面ABCD平面PAD,平面ABCD平面PADAD,AB平面ABCD, AB平面PAD,,作DKPA于点K, ABDK,DKPA,PAABA,PA,AB平面PAB, DK平面PAB, DHK为所求线面角,,6.在三棱柱ABCA
8、1B1C1中,侧面AA1B1B是边长为2的正方形,点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点,且CH 设D为CC1的中点. (1)求证:CC1平面A1B1D;,证明,证明方法一(几何法) 因为CC1AA1且在正方形AA1B1B中AA1A1B1, 所以CC1A1B1, 取A1B1的中点E,连接DE,HE,,又D为CC1的中点, 所以HECD且HECD, 所以四边形HEDC为平行四边形, 因此CHDE,,又CH平面AA1B1B, 所以CHHE,DEHE, 所以DECC1, 又A1B1DEE,A1B1,DE平面A1B1D, 所以CC1平面A1B1D.,方法二(向量法) 如图,以H为原点,建立
9、空间直角坐标系,,因此CC1平面A1B1D.,解答,(2)求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值.,解方法一(几何法) 取AA1的中点F,连接CF,作HKCF于点K, 因为CHDE,FHA1B1,CHFHH,DEA1B1E, 所以平面CFH平面A1B1D, 由(1)得CC1平面A1B1D, 所以CC1平面CFH,又HK平面CFH, 所以HKCC1, 又HKCF,CFCC1C,CF,CC1平面AA1C1C, 所以HK平面AA1C1C, 所以DH与平面AA1C1C所成的角为HDK.,在RtDHK中,,方法二(向量法) 设平面AA1C1C的法向量为n(1,x,y),,设为DH与平面AA1C1C所成的
10、角,,证明,7.(2018浙江省杭州市第二中学模拟)如图,在四边形ABCD中,ABCD,ABD30,AB2CD2AD2,DE平面ABCD,EFBD,且BD2EF. (1)求证:平面ADE平面BDEF;,证明在ABD中,ABD30, 由AD2AB2BD22ABBDcos 30, 解得BD 所以AD2BD2AB2, 根据勾股定理得ADB90,ADBD. 又因为DE平面ABCD,AD平面ABCD, 所以ADDE. 又因为BDDED,BD,DE平面BDEF,所以AD平面BDEF, 又AD平面ADE, 所以平面ADE平面BDEF,,解答,(2)若二面角CBFD的大小为60,求CF与平面ABCD所成角的正
11、弦值.,解方法一如图,由(1)可得ADB90,ABD30, 则BDC30,则BCD为锐角为30的等腰三角形.,过点C作CHDA,交DB,AB于点G,H, 则点G为点F在平面ABCD上的投影.连接FG, 则CGBD,DE平面ABCD,则CG平面BDEF. 过点G作GIBF于点I,连接HI,CI, 则BF平面GCI, 即GIC为二面角CBFD的平面角, 则GIC60.,设DEx ,则GFx,,方法二由题意可知DA,DB,DE两两垂直, 以D为坐标原点,DA,DB,DE所在直线为x轴,y轴,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.,设平面BCF的法向量为m(x,y,z),,取平面BDEF的法向
12、量为n(1,0,0),,设CF与平面ABCD所成的角为,,8.如图,在四棱锥PABCD ,底面ABCD为梯形,ADBC,ABBCCD1,DA2,DP平面ABP,O,M分别是AD,PB的中点. (1)求证:PD平面OCM;,证明,证明连接OB,设BD与OC的交点为N,连接MN. 因为O为AD的中点,AD2, 所以OAOD1BC. 又因为ADBC, 所以四边形OBCD为平行四边形, 所以N为BD的中点, 又因为M为PB的中点, 所以MNPD. 又因为MN平面OCM,PD平面OCM, 所以PD平面OCM.,(2)若AP与平面PBD所成的角为60,求线段PB的长.,解答,解由四边形OBCD为平行四边形
13、,知OBCD1, 所以AOB为等边三角形,所以BAD60,即AB2BD2AD2,即ABBD. 因为DP平面ABP,所以ABPD. 又因为BDPDD,BD,PD平面BDP,所以AB平面BDP, 所以APB为AP与平面PBD所成的角,即APB60,,模板答题规范练,模板体验,例(15分)如图,已知在矩形ABCD中,AB4,AD3,现将DAC沿着对角线AC向上翻折到PAC的位置,此时PAPB.,(1)求证:平面PAB平面ABC; (2)求直线AB与平面PAC所成角的正弦值.,审题路线图,(2)方法一(作角),方法二(向量法),规范解答评分标准 (1)证明因为PAPB,PAPC,PBPCP, 所以PA
14、平面PBC,2分 所以PABC, 又BCAB,ABAPA, 所以BC平面PAB,4分 又BC平面ABC, 所以平面PAB平面ABC.6分,(2)解方法一如图,作BDPC于点D,连接AD, 由(1)知,PA平面PBC, 所以PABD, 而BDPC,PAPCP,PA,PC平面PAC, 所以BD平面PAC, 所以BAD为直线AB与平面PAC所成的角. 9分,方法二由(1)知平面PAB平面ABC, 所以在平面PAB内,过点P作PEAB于点E, 则PE平面ABC, 如图,以B为坐标原点,建立空间直角坐标系(z轴与直线PE平行),,可知A(0,4,0),B(0,0,0),C(3,0,0),,构建答题模板
15、方法一 第一步找垂直:利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直. 第二步作角:利用定义结合垂直关系作出所求角. 第三步计算:将所求角放在某三角形中,计算.,方法二 第一步找垂直:利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直,同时为建系作准备. 第二步写坐标:建立空间直角坐标系,写出特殊点的坐标. 第三步求向量:求直线的方向向量或平面的法向量. 第四步求夹角:计算向量的夹角,得到所求的线面角或二面角.,所以AD2BD2AB2,所以BDAD. 又侧面PAD底面ABCD,侧面PAD底面ABCDAD,BD底面ABCD, 所以BD平面PAD,又PA平面PAD,所以BDPA.,1.在四棱锥PABCD中,侧
16、面PAD底面ABCD,底面 ABCD为梯形,ABCD,ABCBCD90,BC CD (1)证明:BDPA;,证明,规范演练,(2)若PAD为正三角形,求直线PA与平面PBD所成角的余弦值.,解答,解方法一如图,取PD的中点M,连接AM,BM. 因为PAD为正三角形,所以AMPD. 又由(1)知,BD平面PAD, 所以平面PBD平面PAD, 又平面PAD平面PBDPD,AM平面PAD, 所以AM平面PBD, 故APM即为直线PA与平面PBD所成的角.,方法二在平面PAD内,过点P作PQAD, 垂足为Q,取AB的中点N,连接QN, 易知,PQ,AQ,QN两两垂直. 以Q为坐标原点,QA,QN,QP
17、所在直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.,设n(x,y,z)为平面PBD的法向量.,2.设平面ABCD平面ABEF,ABCD,ABEF,BAF ABC90,BCCDAFEF1,AB2. (1)证明:CE平面ADF;,证明,证明ABCD,ABEF,CDEF. 又CDEF, 四边形CDFE是平行四边形. CEDF,又CE平面ADF,DF平面ADF, CE平面ADF.,(2)求直线DF与平面BDE所成角的正弦值.,解答,解取AB的中点G,连接CG交BD于点O,连接EO,EG. CDEF, DF与平面BDE所成的角等于CE与平面BDE所成的角. ABAF,平面ABCD平面ABEF,
18、AF平面ABCD. 又EGAF, EG平面ABCD, EGBD.连接DG, 在正方形BCDG中,BDCG, 故BD平面ECG.,平面BDE平面ECG. 在平面CEO中,作CHEO,交直线EO的延长线于点H, 得CH平面BDE. CEH是CE与平面BDE所成的角. 过点G作GQEO. OCOG,,3.(2018宁波模拟)如图,在四棱锥PABCD中,PAD为正三角形,四边形ABCD为直角梯形,CDAB,BCAB,平面PAD平面ABCD,点E,F分别为AD,CP的中点,ADAB2CD2. (1)证明:直线EF平面PAB;,证明,证明设BC的中点为M,连接EM,FM, 易知EMAB,FMPB, 因为EMAB,EM平面PAB,AB平面PAB, 所以EM平面PAB. 同理FM平面PAB. 又EMFMM,EM平面FEM,
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