高三理科数学高考复习课件 (49).ppt

1、第四节空间的角,一、异面直线所成的角 1定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 2求作异面直线所成角的方法 (1)平移法：在异面直线中的一条直线上选择一 ，作另一条直线的平行线；,特殊点,(2)补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系 3范围： ,二、直线与平面所成的角 1定义：直线与平面所成的角是直线和它在平面内的射影所成的角当直线和平面平行或直线在平面内时，称直线和平面成0角当直线和平面垂直时，称直线和平面成90角 2求作直

2、线和平面所成角的方法 斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段，斜线段及斜线段在平面内的射影其中的关键是作出射影线段(它是由垂线段的垂足和斜足连结而成的),三、二面角 1定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,2求作二面角的方法 二面角的大小是用它的 来度量的找(或作)出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法： (1)定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半

3、平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特殊性 (2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角,平面角,(3)垂画法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，这两垂线作平面与两个平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所成的平面与棱垂直 (4)射影法：利用面积射影公式 ，其中为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来 对于没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法 3范围： ,S射S投cos,0，,解(证)与角有关的问题，通常是先“定位”，后“定量” 空间各种角的度量都是转化为平面角来实现

4、的，要熟练掌握各类角转化为平面角的方法求角的一般步骤是：找出或作出有关的平面角；证明它符合定义；化归到某一个三角形中进行计算.,例1如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BCAA14，点O是AC的中点 (1)求证：AD1平面DOC1； (2)求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值 分析(1)寻找线面平行的条件利用判定定理证明； (2)用中位线平移法先找后求,规律总结求异面直线所成角分四步：作，证，求，答“作”即过空间一点作两条异面直线的平行线，而空间一点一般取在两条异面直线中的一条上，特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处；“证”即证明所作角符合异面直线所成角的定义；“求

5、”是通过解三角形，计算出所作角的大小；“答”即最后指明结论 求异面直线所成的角要注意以下两点：当两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的角，实际上是要通过证明来实现；当利用解斜三角形有关知识求出的角为钝角时，应取其补角作为异面直线所成角的大小.,备选例题1本例已知条件不变，求异面直线AD1和OC1所成的角,例2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB ，BC1，PA2，E为PD的中点求直线AC与PB所成角的余弦值 分析异面直线所成的角可通过平移，转化为相交直线所成的角,规律总结求异面直线的夹角最关键是要找出一个点，把其作为角的顶点，然后再把两个异面直线“平移”过

6、来，这个“角”就完成了这个点也许在异面直线上，也许在空间这个点有时很好找，但有时不容易找出，此时可考虑使用cos 来求解.,备选例题2如图，在五棱锥SABCD中，SA底面ABCDE，SAABAE2，BCDE ，BAEBCDCDE120.求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示),解法二：如图(2)，连结BE，延长BC、ED交于点F，则DCFCDF60.又BCDE，BFEF. BFE为正三角形 ABE是等腰三角形，且BAE120， ABC90. 以A为原点，AB、AS所成直线分别为x轴、z轴，平面ABC内垂直于AB的直线为y轴建立空间直角坐标系，,例3在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC

7、B90，AC2BC，A1BB1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值,备选例题3如图，在三棱锥VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且ACBCa，VDC(0 ) (1)求证：平面VAB平面VCD； (2)当角变化时，求直线BC与平面VAB所成角的取值范围,解：解法一：(1)证明：ACBCa， ACB是等腰三角形又D是AB的中点， CDAB.又VC底面ABC，VCAB. 于是AB平面VCD. 又AB平面VAB，平面VAB平面VCD. (2)过点C在平面VCD内作CHVD于H，则由(1)知CH平面VAB. 连结BH(如图(1)，则CBH就是直线BC与平面VAB所成的角,规律总

8、结解法一是首先作出二面角的平面角，然后根据平行线的性质求得这个平面角，这种方法关键在于作出二面角的平面角；解法二则是利用分割原理，将所求二面角看成是二面角A1B1EB与二面角AB1EB的差近两年高考题中这种思想方法在试题中有较多体现本题处理二面角的方法： (1)首先是能否由条件作出平面角，这也是解题中的难点二面角的平面角有三种常用作法：作二面角的平面角可以根据平面角的定义从棱上一点出发，分别在两个半平面内作棱的垂线，即得；利用三垂线定理作二面角的平面角；通过与棱垂直的平面作出二面角的平面角,对于无棱二面角的棱的确定有以下三种途径；由二面角两个面内的两条相交线确定棱；由二面角两个面内的两条平行直

9、线找出棱；补形构造几何体发现棱 (2)根据分割原理，将研究的二面角看成是其他二面角的和或差，而且这其他的二面角大小又易求得.,备选例题4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCBB11，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的正切值,例5如图(1)，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图(2) (1)证明：ACBO1； (2)求二面角OACO1的大小,由三垂线定理得ACBO1. (2)由(1)知ACBO1，OCBO1，BO1平面AOC. 设OCO1BE，过点E作EFAC于F，连结O1F，如图(4)，则EF是O1F在平面AOC内

10、的射影，由三垂线定理，得O1FAC， 所以O1FE是二面角OACO1的平面角,图(4),规律总结折叠问题的实质是以折线为棱构成一个二面角，解决此类问题的关键是搞清楚折叠前后的位置关系和数量关系的变化，要注意抓住折叠前后同一半平面内的位置关系和数量关系没有发生变化，从变与不变中进行推理计算.,备选例题5已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13. (1)求证：A1CBD； (2)求直线A1C与侧面BB1C1C所成角的正切值； (3)求二面角B1CDB的正切值 解：解法一：(1)证明：连结AC，如图(1)，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，所以ACBD，又侧

11、棱AA1平面ABCD. AC是A1C在平面ABCD内的射影A1CBD. (2)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1B1BB1C1C，所以B1C是A1C在平面BB1C1C内的射影，,解法二：(1)证明：同解法一； (2)如图(2)，以点D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为D(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,3),例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E、F分别为AB和BB1的中点，求A1E与CF所成角的余弦值,错因分析失误有二：其一不能利用给定图形进行选点平移线，其二忽视异面直线所成角的范围而求其是

12、钝角的情形,例2如图，在直二面角l内有线段AB，A面，B面，且AB与面所成的角是45.如果AB在平面内的射影与棱l所成角为45，求AB与面所成的角,错因分析线面角的求解，关键在平面内添射影找到线面角归结到三角形中进行求解，学生往往在这个问题上出错而致误,例3在棱长为1的正方体AC1中，P是AD的中点，求二面角ABD1P的大小,错因分析作二面角的平面角方法较多给选取恰当的方法带来困难，如方法不当带来理解困难另一方面如利用向量法求二面角一定要搞清两平面的法向量所成的角与二面角的关系,例4试证：两平行直线和同一个平面所成的角相等 解题思路已知：ab，求证：a，b与所成角相等 (1)若a，则由ab，知b. a，b与所成角相等，都为90. (2)若a(或a)，则b或b. 此时，a，b与所成角相等，都为0.,(3)如