工程力学第9章

1、91 概述,911 组合变形的概念与工程实例,杆件在外力的作用下往往会同时发生两种或两种以上的基本变形，这种复杂的变形方式称为组合变形。图9-1工程中常见的组合变形实例。,91 概述,912 分析组合变形问题的基本思路,解决组合变形强度计算问题的基本方法是运用叠加原理。其具体过程为： （）外力分析。将杆件所受到的载荷进行分解或简化，使分解或简化的每一种结果只产生一种基本变形，从而确定杆件组合变形的类型。 （）内力分析。画出组合变形中每一种基本变形的内力图，根据内力图综合确定危险截面。 （）应力分析。根据各种基本变形横截面上的应力分布规律，确定危险截面上危险点。 （）强度计算。分析危险点的应力状

2、态和杆件的材料特性，选择合适的强度理论进行强度计算。,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,轴向拉伸(压缩)与弯曲的组合变形的受力特点一般有两种类型，一种是斜拉（或斜压），即外力作用在杆件截面形心，不垂直于轴线而与轴线成一定夹角（见图9-2a）；第二种是偏心载荷，即杆件受到与轴线平行却不重合的外力作用（见图9-1b）。下面以悬臂梁在外力F作用下为例分析拉伸（压缩）与弯曲组合变形问题。 如图9-2a所示，在梁的纵向对称平面内，梁的自由端受到集中力F作用，F作用线与轴线的夹角为。,921 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合的强度准则,（1）外力分析。见图9-2b、图9-2c及图9-2d悬臂梁产生轴向拉伸与

3、弯曲的组合变形。,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,(2)内力分析。Fx=Fcos ，Fy=Fsin ，分别画出在Fx和Fy单独作用下的轴力图（见图9-2e）与弯矩图（见图9-2f）。固定端截面为危险截面，该截面上的内力为 FN=Fcos ，Mmax=Flsin,（3）应力分析。梁产生轴向拉伸变形时，各横截面上的正应力均匀分布（见图9-2g），梁产生弯曲变形时，固定端横截面上正应力呈线形分布（见图9-2h）。它们的应力分别为,根据叠加原理，固定端截面的上边缘各点具有最大拉应力，下边缘各点具有最大压应力，其叠加结果如图9-2i所示，其正应力最大值与最小值

4、分别为,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,可见梁的危险点为固定端截面的上边缘各点。,（4）强度计算。危险点处于单向应力状态，其相应的强度准则为 。,s （9-1）,若Fx不是拉力，而是压力，则固定端横截面上下边缘各点处的应力分别为,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,可见固定端截面下边缘各点具有最大的压应力。梁的最危险点就是固定端横截面的下边缘各点。其相应的强度准则为, （9-2）,例 9-1 如图9-3a所示，钻床在钻孔时的切削力F=15kN，偏心距e=0.4m，钻床的圆截面铸铁立柱的直径d=125mm，许用拉应力b=35MPa ,许用压应力bc=120MPa，试校核立柱的强度。,92

5、2 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合的强度计算举例,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,解 （1）内力分析。假想将立柱沿m-m截面截开，取上半部分作为研究对象，如图9-3b所示。上半部分在偏心载荷及截面内力作用下处于平衡状态。由平衡条件求得m-m截面上的轴力与弯矩分别为 FN=F=15103N M=Fe=151030.4Nm=6103 Nm FN使立柱产生轴向拉伸变形，M使立柱产生弯曲变形，立柱产生轴向拉伸与弯曲的组合变形。,(2) 应力分析。如图9-3c所示，根据立柱横截面上的内力分析，立柱拉伸变形时，m-m截面上各点所受拉应力相等。立柱发生弯曲变形时，左右两侧边缘处各点正应力最大（见图9-3d

6、）。其值分别为,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,由叠加原理，在其横截面右侧边缘上产生最大拉应力，截面左侧边缘上产生最大压应力（见图9-3e）。其值分别为,(3) 强度计算。根据钻床立柱材料特性，只需对立柱横截面右侧边缘的点进行拉伸强度校核。,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,b,立柱的强度足够。,例9-2 如图9-4a所示，简易起吊机的最大起吊重力G =15.5 kN，横梁AB为工字钢，许用应力=170 MPa，若不计横梁自重，试选择工字钢的型号。 解 （1）外力分析。取横梁AB为研究对象，受力情况如图9-4b所示。当电葫芦处于梁的中点D时，梁处

7、于最不利的情况。此时，由平衡条件求出所有的约束力。,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,沿轴线方向的分力FAx、FBx使横梁产生压缩变形，垂直轴线方向的分力FAy、FBy及F 使横梁产生弯曲变形，因此横梁产生压缩与弯曲的组合变形。 （2）内力分析。分别画出横梁在FAx、FBx作用下的轴力图和在F、FAy、FBy作用下的弯矩图，如图9-4c及9-4d所示。由内力图可以看出横梁中点截面为危险截面，其轴力和最大弯矩值分别为,（3）应力分析。在危险截面上，对应于压缩变形，各点压应力均匀分布，其值为,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,横梁产生压缩与弯曲的组合变

8、形时，其应力的叠加结果如图9-4e所示，危险点为上边缘各点，其上具有最大的压应力，其值为,（4）强度计算。根据横梁材料特性，确定强度准则为,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,上式中包含A和两个未知量，采用试凑法选择工字钢型号。梁的主要变形为弯曲变形，先不考虑压缩对横梁的影响，仅按照弯曲变形时正应力强度准则初步选择工字钢型号，然后再按压缩与弯曲组合变形的强度准则进行校核，若计算结果不符合强度要求，则在所选工字钢型号的基础上放大一号后再进行校核，直到符合强度要求为止。,工字钢型号的初步选择：由Mmax/Wz（见式（7-4）得,查附录A型钢表，选择14号工字钢，其中，Wz=102cm3，横截面面

9、积A=21.5cm2。 按照初选的14号工字钢型号进行强度校核：,92 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形,14号工字钢符合强度要求。,问题 (1) 什么是组合变形？解决组合变形问题的基本步骤是什么？(2) 什么是偏心拉伸（压缩）？它与轴向拉伸（压缩）有何区别？(3) 拉伸（压缩）与弯曲组合变形的危险截面和危险点怎样确定？,93 弯曲与扭转组合变形,931 弯曲与扭转组合变形的强度准则,如图9-5a所示，圆轴AB的一端固定，一端装有半径为R的圆轮，圆轮顶点C处作用一水平方向力F，现在建立轴的强度准则。,（1）外力分析。根据力线平移定理，将力F向圆轴A点简化，其结果为一个平移力F（F=F）及其一个附

10、加力偶 MA=FR(见图9-5b)。平移力F使圆轴发生弯曲变形，而附加力偶MA使圆轴发生扭转变形，圆轴发生弯曲与扭转的组合变形。 （2）内力分析。分别画出力F作用下的弯矩图（见图9-5c）和力偶MA作用下的扭矩图（见图9-5d）。从对弯矩图和扭矩图综合分析可以看出，圆轴的固定端截面B具有最大的弯矩和扭矩，因而为危险截面，在危险截面上的内力为 MT=FR，Mmax=MB=Fl,93 弯曲与扭转组合变形,93 弯曲与扭转组合变形,(3)应力分析。对应于扭转变形，B截面边缘圆周各点具有最大切应力，其值为,对应于弯曲变形，B截面前后边缘处两点K1、K2具有最大正应力，其值为,切应力与正应力不能直接相加

11、减。其应力分布规律如图9-5e所示，综合分析可见，K1、K2两点为危险点。,93 弯曲与扭转组合变形,（4） 强度准则。因为截面危险点既有切应力，又有正应力，其单元体处于二向应力状态，工程实际中常用塑性材料制造轴类零件，因此，采用最大切应力理论或形状改变比能理论建立相应的强度准则。其表达式为（推导过程从略）,（9-3）,（9-4）,932 弯曲与扭转组合变形的强度计算举例,93 弯曲与扭转组合变形,例 9-3 如图9-6a所示，皮带轮传动轴的B端受集中力偶M作用，在传动轴AB的跨中点C处装有一个皮带轮，皮带轮的直径D=0.5m，皮带拉力为铅垂方向，其值分别为F1=8kN，F2=4kN，圆轴直径

12、d=90mm，轴承与带轮的间距a=500mm，若轴材料的许用应力=50MPa ,试按第三强度理论校核轴的强度。 解 （1）外力分析。将皮带的拉力F1、F2向轮心C平移，将平移结果合成后，得到一个作用力FC=F1+F2和附加集中力偶MC（见图9-6b）。其中,FC=F1+F2=（8+4）103N=12kN,93 弯曲与扭转组合变形,93 弯曲与扭转组合变形,传动轴AB发生弯曲与扭转组合变形。 （2）内力分析。分别画出传动轴的扭矩图（见图9-6c）和弯矩图（见图9-6d），由内力图可以看出，C截面上具有最大的扭矩与弯矩，故C截面为危险截面。其值分别为 MT=MC=M=1kNm,（3）强度校核。采用

13、第三强度理论，由式（9-3）得,故传动轴的强度足够。,93 弯曲与扭转组合变形,例 9-4 图9-7a所示为某减速器中的第级轴示意图。已知轴的转速n=194转/分，传递的功率P=5kN。直齿圆柱齿轮D的分度圆直径d1=150mm，直齿圆柱齿轮C的分度圆直径 d2=120mm，齿轮压力角=20，轴材料许用应力=80MPa。试分别按最大切应力理论（第三强度理论）和形状改变比能理论（第四强度理论）设计此级轴的直径。,解 （1） 外力分析。将作用在两个齿轮上的啮合力分解为切向力F1、F2和径向力Fr1、Fr2。再将它们分别向轮心C、D平移，得到轴的计算简图（见图9-7b）。其中,93 弯曲与扭转组合变

14、形,M1=M2=M使轴产生扭转变形；水平力F1、F2及其约束力使轴产生水平面（xz平面）内的弯曲变形；铅垂力Fr1、Fr2及其约束力使轴产生铅垂面（xy平面）内的弯曲变形；故级轴产生的是两个正交平面内的弯曲变形和扭转变形的组合变形。,由上述分析可知,则作用在齿轮D上的切向力为,93 弯曲与扭转组合变形,93 弯曲与扭转组合变形,根据压力角可求出作用在齿轮D上的径向力 Fr1= F1tan20=32800.364N=1194N 同理可求得作用在齿轮D上的切向力为,作用在齿轮C上的径向力为 Fr2= F2tan20=41000.364N=1492N 在xz平面内，根据图9-7c，由平衡条件可求得轴A、B处的约束力沿x方向的分量为 FAx=4182N，FBx=3199N,93 弯曲与扭转组合变形,在xy平面内，根据图9-7e由平衡条件可求得轴承A、B处的约束力沿y方向的分量为 FAy=567N，FBy=269N,（2）内力分析。分别画出轴AB在水平面内的弯矩图（见图9-7d）、铅垂面内弯矩图（见图9-7f）和扭矩图（见图9-7g）。对圆形截面而言，同一截面上两个相互垂直平面内的弯矩可以合成，并且合成后仍然为平面弯曲。其合成弯矩的计算方法为：,综合图9-7d与9-7f可以看出，最大的合成弯矩可能在C或D截面处，为此只需对C、