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文档简介
1、,2.1 解析函数的概念,1 复变函数的导数,定义:,存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的 导数,记作,应该注意:上述定义中 的方式是任意的。,例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?,解 这里,所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.,(即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.),例3 讨论,的可导性。,解:,所以,在复平面上除原点外处处不可导。,可导和可微,连续的关系 我们知道:若复变函数在某点连续,则该函数在该点极限一定存在,反之不一定成立.那么可导与连续有何关系? 若函数在某点可导,必在该点连续但反之不一
2、定成立. 如上例f (z) = x +2yi ,显然在复平面上处处连续但在复平面处处不可导.,定义2.1.2 复变函数的微分 复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分 概念类似。 设函数 在 可导,则由导数的定义可得 其中 。因此, 是 的高阶无穷小量,而 是函数 的改变量 的线性部分. 我们称 为函数 在点 的微分, 记作 如果函数在点 的微分存在,则称函数在点 可微。,容易证明:,可导 可微 ;,可导 连续。,如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在内可导.,2. 解析函数的概念,函数在一点解析,在该点可导。,反之不一定成立。,在区域内:,例如 f (z) = z
3、2,在整个复平面上解析;,仅在原点可导,故在整个复平面上不解析;,f (z) = x +2yi,在整个复平面上不解析。,定义,否则称为奇点 。,例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.,解:,故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析;,z = 0 是它的一个奇点。,解析函数的性质:,(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数; (2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数; (3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析; 所 有解析点的集合必为开集。,问题:对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y),,如何判别其解析(可导)性?,换句话说:,设函数,于是
4、,u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足 柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。,设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y) 可微,于是,(x,y0时,ek0, (k=1,2,3,4)),并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。,即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导.,由 z 的任意性可知:,定理1 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域D内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满足Cauchy-Riemann方程.,定理2 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)
5、定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足Cauchy-Riemann方程 。,推论 :,例题1,解:,例题2,判断下列函数在何处可导, 在何处解析:,解:,得 u=x, v=-y, 所以,在复平面内处处不可导, 处处不解析;,2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以,当且仅当 x = y = 0时,因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.,是区域内的正交 曲线族。,(正交:两曲线在交点处的切线垂直 ),例题3,证:,得证。,例如,两族分别以直线y
6、=x和坐标轴 为渐近线的等轴双曲线 x2-y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。,函数解析与可导、连续、极限的关系 由解析函数定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说,函数在一点处可导,不一定在该点处解析. 但函数在一点解析,则一定在该点可导(而且在该点及其邻域均可导). 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多. 区域解析区域可导 在某点解析该点可导该点连续该点极限存在,反之均不一定成立。,复变函数在某点解析 某点可导 某点极限存在 某点连续,关于上节课的几个概念,考虑只有一个点的集合E:A A不是聚点,是孤立点
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