直线的投影同济大学课件.ppt

1、第二节 直线的投影一、各种位置直线的投影,1,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点 积聚性,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcos,2,1、投影面平行线,2、投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,3,1、投影面平行线,水平线,正平线,侧平线,4,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与

2、另两投影面倾角的实形。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角: ,实长,实长,实长,5,2、 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,6,反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,7,3、 一般位置直线,8,投影特性：,三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实形，且与三根投影轴都倾斜。,3、一般位置直线的实长及对投影面的倾角,9,10,11,二、 直线上的点,、直线上点的投影,12,直线上的点

3、具有两个特性： 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b,13,、对于投影面垂直线或一般位置直线，可由它们的任意两个投影决定。,、对于投影面平行线，则须根据三面投影来判别。,点是否在直线上的判别方法：,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,14,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,应用 从属性,15,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因

4、k不在a b上， 故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,16,直线上的点，把直线分成两段，这两段线段长的长度之比，等于它们相应投影之比。即：,、直线上点的定比性,AC/CB=ac/cb= ac / cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,17,例题3 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。,18,三、两直线的相对位置,平行,相交,交叉,垂直相交,19,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,20,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。, 两直线平行,判别

5、：,1）如空间两直线为一般位置直线，则可由作意两投影面上的投影判别。,2）如空间两直线为投影面平行线，则要从与它们平行的投影面上的投影来判别。,3）思考：如空间两直线为投影面垂直线呢？,21,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,22,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于投影面平行线，要叛定它们在空间是否平行，则要看它们在平行的投影面上的投影来判断。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,23, 两直线相交,判别方法：,若

6、空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,若空间两直线相交，其同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律,特性：,24,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,25, 两直线交叉,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,为什么？,两直线相交吗？,26,例题 判断两直线的相对位置,1d,1c, 故：两直线并叉。,请你用另一方法判别：,27,判断两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，

7、反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,28,例题 判断两直线重影点的可见性,29,4、两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,反之，相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且两直线中有一直线平行于该投影面，则该两直线在空间互相垂直。,30,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,31,5、直线的迹点直线与投影面的交点： 水平

8、迹点、正面迹点、侧面迹点。,H,V,X,B,m,a,b,a,b,n,Nn,A,Mm,O,小 结,32,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。 点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,33,一、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,34,二、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。,

9、点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。,三、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。,35,四、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的

10、投影都不 反映直角。,直角定理,36,直线上的点具有两个特性： 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b,37,例题4 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。,c,c,38,e,e,e,e,c,c,选修！例 已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试过C点作一条直线CE垂直于AB,求直线CE的两面投影。,两直线交叉,39,（选修）例题 过点E 作线段AB、C