第15章15.2直接证明与间接证明.ppt

1、1,第二课时,直接证明与间接证明,第十五章 推理与证明,2,1.直接证明 （1）综合法 （）定义：利用_ _ 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. （）框图表示： P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q （其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论.）,已知条件和某些数学,定义、公理、定理,3,（2）分析法 （）定义：从_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法. （）框图表示： QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成

2、立的条件,充分条件,要证明的结论,4,2.间接证明 反证法：假设原命题_,经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这样的证明方法叫做反证法.,不成立,矛盾,5,1.在R上定义运算:xy=x（1-y），若不等式（x-a）（x+a）1对任意实数x都成立，则（ ） A. -1a1 B. - a C. 0a2 D. - a,6,由（x-a）（x+a）0. 此式对xR都成立， 则=1-4（-a2+a+1）0, 即4a2-4a-30，解得 ，故选B.,7,2.用反证法证明“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A. 假设至少有一个钝角 B. 假设至少有两个钝角 C

3、. 假设没有一个钝角 D. 假设没有一个钝角或至少两个钝角 “至多”的否定是“至少”，“至多一个”的否定是“至少两个”，故选B.,B,8,3.若ab0，则下列不等式中总成立的是（ ）,A,9,4.若实数a、b、c满足a+b+c=0,abc0,则 的值（ ） A.一定是正数 B.一定是负数 C.可能是0 D.正、负不能确定 因为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=0，而a2+b2+c20， 所以ab+bc+ca0.又abc0， 所以,B,10,5.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A（-4,0）和C（4,0），顶点B在椭圆 上，则 =_. 椭圆中，a=5,b=3,

4、c=4. 依题意，知AB+BC=2a=10. 所以,11,1.直接证明 （1）已知x,yR+，且x+4y=1，则xy的最大值为_. （2）设a0,b0，求证： 用分析法证明，要证明 只需证明_，即需证明_.,12,（3）数列 那么9是该数列的第_项. 2.间接证明 （1）命题“实数a,b,c不全为0”的否命题是“_”. （2）已知a0,b0且a+b2，求证： 中至少有一个小于2.用反证法证明该命题时，应假设_.,a,b,c全为0,14,13,若关于x的方程x2-2ax+2+a=0有两个不相等的实数根，分别满足下列条件时，求实数a的取值范围. （1）方程的两根都大于1； （2）方程的一个根大于1

5、，一个根小于1,题型1：综合法的应用,14,（1）设f（x）=x2-2ax+2+a. 原方程的两根大于1， 即f（x）在（1,+）上有两个不相同的零点， =4a2-4（a+2）0 x=a1 f（1）=3-a0，解得2a3. 所以实数a的取值范围是（2,3）.,则,15,（2）原方程的一个根大于1，一个根小于1，则要求f（x）=x2-2ax+2+a的两个零点在x=1的两边，所以只需f（1）3. 所以实数a的取值范围是（3,+）.,16,【评注】由题设条件出发，将问题进行逻辑转化，经过有序推理，寻找最终的结论，这是综合法的显著特征.在这个过程中，转化问题必须理由充分，推理合情合理.本题把问题转化为

6、研究函数的零点，使原来问题变得容易理解，解决问题也就方便多了.,17,设f(x)=ax2+bx且1f(-1)2,2f(1)4，求f(-2)的取值范围. 设f（-2）=mf(-1)+nf(1)(m,n待定), 所以4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b.,18,于是f（-2）=3f（-1）+f（1）. 又1f（-1）2,2f（1）4， 则53f（-1）+f（1）10, 即5f（-2）10. 故f（-2）的取值范围是5,10.,19,已知a0，b0，且a+b=1， 试证明： 要证 只需证 只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40， 只需证4a2b2+4(a+

7、b)2-2ab-25ab+40，,题型2：分析法的应用,证明,20,即要证4a2b2-33ab+80， 即要证（4ab-1）（ab-8）0. 由条件知只需证ab . 而由1=a+b2 ， 知ab 显然成立， 所以 成立.,21,【评注】解决本题的关键是寻找到原不等式成立的充分条件“ab ”.,22,已知函数 若 求证： 要证不等式 只需证明 事实上，,证明,23,24,25,若a、b、c都是实数， 且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ， 求证：a、b、c中至少有一个大于0.,题型3：反证法的应用,26,使用反证法： 若a、b、c都不大于0，即a0,b0,c0， 则a+b

8、+c=(x2-2y+ )+(y2-2z+ )+ (z2-2x+ )=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3. 因为-30，(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20， 所以a+b+c0，与a+b+c0矛盾. 因此，假设不成立. 故a、b、c中至少有一个大于0.,证明,27,【评注】反证法是间接证法中的一种重要方法，体现了同一问题的另一种研究方法.当问题处于“否定性”“唯一性”或“无限性”时，往往会出现“至多”“至少”或“全都”等词意，这类命题一般都采用反证法.,28,已知实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1,ac+bd1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数. 假设a、b、c、d

9、都是非负数， 即a0,b0,c0,d0. 由a+b=c+d=1，得a、b、c、d0,1, 从而 所以ac+bd =1， 与已知“ac+bd1”矛盾. 所以a、b、c、d中至少有一个是负数.,证明,29,在数学问题解决过程中，不可能离开数学的证明.求解数学题，每个步骤的实施，都离不开证明的因素，所以证明是包含在推理过程之中的.证明一般分直接证明与间接证明两种.直接证明是从已知或事实出发，遵照一定的逻辑程序推出问题的结论的一种证明方法，它主要有综合法和分析法两种.综合法是由已知到未知，,30,从题设到结论的逻辑推理方法，它的一般步骤是（已知） （结论）.分析法正好与综合法的思维顺序相反，即先假设结

10、论是正确的，由此逐步推出保证结论成立的必要判断，当这些判断恰好都是已知命题（正确的命题或关系）时，所要研究的问题就得到证明，它的一般步骤是（结论） .（已知）.,31,间接证明是直接证明方法的一个补充，当直接证明有困难或过程太过于复杂时，常采用间接证明完成.常见的间接证明是反证法，它的思维过程是假设结论为假，遵照逻辑规则，推出一个为假的事实（或与已知矛盾，或与数学事实矛盾），来说明假设结论为假是错误的，从而所要证明的结论是正确的.,32,一般步骤是，要证明“ ”，（否定结论） （与已知矛盾）.反证法的推理基础是四种命题间的逻辑关系，即原命题与其逆否命题的真假性相同，其思想是，由证明 ，转向证明它的逆否