线性代数—矩阵.ppt

1、工程数学线性代数目录,第一章：行列式 第二章：矩阵及其运算 第三章：矩阵的初等变换与线性方程组 第四章：向量组的线性相关性 第五章：相似矩阵及二次型 第六章：线性空间与线性变换,第二章 矩阵及其运算,本章关键词： 1. 矩阵 定义 相等 零矩阵 对角矩阵 数量、单位矩阵 矩阵举例 2. 矩阵的运算 矩阵的加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 矩阵的转置 方阵的行列式 共轭矩阵 逆矩阵 定义 性质 伴随矩阵 求逆公式 方阵的逆阵性质 矩阵分块法 分块矩阵概念 分块矩阵的运算,本章知识结构,由,个数,，把,它们排成行列的数表。,（1）,称为m行n列矩阵简称,矩阵（）也简记为,或,。,矩阵的定义,如果

2、两个矩阵,是同型矩阵，且各对,应元素也相等，即,则称矩阵A与B相等，记作,矩阵的相等,零矩阵,对,矩阵而言，零矩阵是指,个元素全为,0的矩阵记作,注 不同型的零矩阵也是不同的。,对角矩阵,对角矩阵是指非零元素只可能出现在主对角线上（或非主对角元皆为零）的方阵记作,数量、单位矩阵,数量矩阵是指主对角线元素都相等，等于某个数的对角矩阵记作,单位矩阵是指,的数量矩阵记作,例（系数矩阵）由n个未知量m个方程组成的方程组为,方程个数与未知量个数不一定相等，方程的系数构成矩阵,这个矩阵称为方程的系数矩阵,矩阵应用实例,例（通路问题）,四个城市之间的火车交通情况如下图所示（图中单箭头代表只有单向车，双箭头表

3、示有双向车）,两个 矩阵,的和记作,注 只有同型矩阵才可以相加例如,对任一矩阵,，规定,，显然，,称,负矩阵,定义矩阵的减法运算为,矩阵的加法,数与矩阵相乘,数 与矩阵,的数量乘积记作,矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算,矩阵的线性运算满足以下规律：,设,的乘积,是指,一个,的矩阵,其中,是,的第,行第,列的元素，它是,的第,行与,的第,列的元素对应乘积的和即,注 只有当,的列数等于,的行数时，才能进行,的乘法运算，这就是两个矩阵可进行乘法运算的条件其结果,的行数等于,的行数，列数等于,的列,数,矩阵与矩阵相乘,把,矩阵,的行列依次互换得到的一个,矩阵，称为,的转置矩阵，记作,或,，即,

4、则,矩阵的转置,转置矩阵具有下面性质：,方阵的行列式,阶方阵,的各元素按原位置排列构成的行列式称为方阵的行列式，记作,或,方阵的行列式有下列性质（设,都是,阶,方阵）:,当A = 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，,记 称为A的共轭矩阵.,共轭矩阵满足下述运算规律(设A，为复矩阵，,为复数，且运算都是可行的）,共轭矩阵,设,是,阶矩阵，若存在,阶矩阵,，使,则称,为可逆矩阵，矩阵,称为矩阵,的逆矩 ,阵，简称逆阵,注 （1）由矩阵定义可知，可逆矩阵及其逆矩阵是同阶的方阵矩阵若不是方阵则没有逆矩阵,（2）,与,的地位是平等的，故也可,以称,是,的逆矩阵,逆矩阵的定义,定理1 如果矩阵,逆矩阵的性

5、质,可逆，那么,的逆矩阵是唯,一的,伴随矩阵,设有,阶矩阵,是,中元素,的代,数余子式，,即用,的行列式中每个元素的代数余子式构成,的矩阵，称为矩阵,的伴随矩阵，简称为伴随阵，,记作,定理2 阶矩阵,可逆的充分必要条件是,且：,，,方阵的逆阵性质,方阵的逆阵有以下性质： 定理3 设 都是 阶方阵，则,（1） 若 可逆，则 也可逆，且 ；,（2） 若 可逆， ，则 可逆，且 ；,（3） 若 都是 阶可逆矩阵，则 也是可逆 ；,（4）若 可逆，则 可逆，且；,（5）若 可逆，则 ,矩阵，且,分块矩阵的概念,对 矩阵 ，把 行分成 组， 列分成 组，每组中的行数或列数可以不同，,把矩阵 分割成 个小

6、块，就得到 的一个 分块矩阵， 写成,其中， （ ）称为 的子 块,注：同一个矩阵，根据需要可以采用多种分块方 法，构成形式不同的分块矩阵例如,分成子块的分法有很多，下面举出三种分块形式：,分块矩阵的运算,（1）分块矩阵的加法 设分块矩阵，如果与 对应的子块 与 都是同型矩阵，则,（2）分块矩阵的数量乘法,设分块矩阵 ， 是数，则,（3）分块矩阵的乘法运算 设 ， ，如果矩阵 与矩阵 的,分块方法是“恰当”的，亦即的 列的分法与的 行的 分法完全相同,其中 ， ， 的列数等于 ， ， 的,行数，那末,其中（ ）,（4）分块矩阵的转置 设矩阵 分块为,则,注 分块矩阵转置时，不仅整个分块矩阵按块

7、 转置，而且其中每一块都要同时转置,例如 ， 则,(5) 分块对角矩阵,设 阶矩阵 适当分块后得分块矩阵,其中 各为 阶方阵，这种分块矩 阵称为分块对角矩阵,对于分块对角矩阵有以下结论：,（1）,（2）分块对角矩阵 可逆的充分必要条件是 均 可逆 ，这时,矩阵,矩阵的定义,矩阵的运算性质,矩阵的加法,相等,数与矩阵相乘,矩阵的转置,方阵的行列式,共轭矩阵,特殊矩阵,零矩阵,对角矩阵,数量、单位矩阵,逆矩阵,定义,性质,伴随矩阵,求逆公式,方阵的逆阵性质,矩阵分块法,分块矩阵概念,分块矩阵的运算,1. 设f(x)=3-7x-x2，A= ，求f(A),解 由,得,2设P ，Q（423），APQ，求

8、A100,解 因 124151,故,由 ,得,3. 求矩阵方程中的矩阵： X=,解：,4. 求矩阵的逆阵,解：,. 讨论对角矩阵 的可逆性,解 当 时， 此时，矩阵 可逆，,且:,当 时，矩阵 不可逆,6. 设 ，其中、各为阶和阶可逆方阵， 证明可逆，并求-1,证明 由 因为、可逆， 所以， 从而是可逆方阵,设 ， 得,比较最后一个等式的两边得,在CQ=E两边左乘C-1得Q=C-1 在CS=O两边左乘C-1得S=O,在BP=E两边左乘B-1得P=B-1,，或 ，这个等式两边,左乘B-1得,结果为,矩阵的初等变换 初等行，列变换 初等变换 等价 性质 行最简型矩阵 等价类 矩阵的秩 矩阵A的k阶

9、子式最高阶k阶子式 矩阵的秩性质定理 线性方程组的解 齐次，非齐次线性方程组定理增广矩阵 定理 线性方程组的解法 初等矩阵 初等矩阵 三种初等矩阵定理定理推论,本章关键词：,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,初等行，列变换,定义1下列三种变换称为矩阵的初等行变换：,（）交换矩阵两行的位置，记作；,（）以数 ( )乘以矩阵某一行的所有元素，记 作 ；,（）矩阵的第 行各元素的 倍加到第 行各元 素上，记作 ,倍加变换,以上三种变换中的行改为列，称为矩阵的初等列变,换，相应地记为 、 和 ,矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初 等变换,通常称（1）为对换变换，（2）为倍乘变换，（3）为,

10、等价 性质,若矩阵 经过有限次初等变换化成矩阵，则称矩阵与 矩阵等价，记作或 ,矩阵的等价具有以下性质（ 都是 矩阵）,（1）反身性： ；,（2）对称性：若 ，则 ,（3）传递性：若 、 ，则 ,行最简型矩阵,行最简形矩阵，其特点是：每个非零行左起第一个非零元 素都是1，它所在列的其余元素均为0 例如:,等价类,任意矩阵和下面的矩阵等价：,其中 完全由 ， ， 确定，,是 阶单位矩阵，,是阶梯形,矩阵非零行的行数.,所有和矩阵 等价的矩阵组成一个集合，成为一个等价 类，而标准形 是这个等价类当中最简单的矩阵,矩阵A的k阶子式,在 矩阵 中，任取 行与 列 ， 位于这些行列交叉位置上的 个元素，

11、按它们在 中的相对 位置构造一个行列式，称为矩阵 的 阶子式,易知 矩阵 中有 个 阶子式,矩阵的秩,设在矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有 阶子式（如果存在的话）全等于，那么称为矩阵的最高 阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作 .并规定零矩阵 的秩等于,矩阵的秩的性质,按定义，矩阵的秩有下述性质：,（1）设是矩阵，则， ,（2） ；,（3） （常数）；,（4）设是阶方阵，则的充分必要条件是 ,阶矩阵的秩为 时，该矩阵称为满秩矩阵，否则称 为降秩矩阵,定理,若，则,推论 矩阵的秩即为矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数。,根据定理和推论，为求矩阵的秩，只要把用初等行变换 变为行阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中

12、非零行的行数即是该矩阵 的秩。,齐次，非齐次线性方程组,个方程 个未知数的线性方程组的一般形式为,当 不全为零时，方程组称为非齐次线性 方程组， 否则称为齐次线性方程组,定理,元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 系数矩阵的秩,本定理所述条件的必要性是克拉默定理的推广（ 克拉默定理只适用的情形），其充分性则包含了克拉默 定理的逆定理,增广矩阵定理,方程组是否有解与系数矩阵和右端向量有关，而与未 知数本身的记法无关，所以考察和相当于考察方程组本身 ，为此构造矩阵,这个矩阵称为方程组的增广矩阵,定理：元非齐次线性方程组有解的充分必要 条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵 的秩,线性方程组的解法,解线

13、性方程组的一般步骤是： 第一步对方程组的增广矩阵施以初等行变换，使 它变成行阶梯形矩阵，从中得到系数矩阵的秩和增广矩阵 的秩；,第二步 若 ，则方程组无解，计算结束， 否则转第三步；,第三步继续对增广矩阵施以初等行变换使它变成行最简 单矩阵,若 = （即系数矩阵秩等于未知数个数），则 写出方程组的唯一解,若 ，则原方程组的解可写为（3）式的 形式，并可写成向量形式,这里， 是解向量,初等矩阵,单位矩阵 经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵,三种初等变换对应着三种初等矩阵：,（1）交换矩阵：,初等矩阵 由单位矩阵 交换第 行与第 行得到,（2）倍乘矩阵：,初等矩阵 由单位矩阵 的第 行乘以非

14、零数 得出,（3）倍加矩阵：,倍加矩阵 由单位矩阵 的第 行乘以非零数 以数加到第 行得出，或 的第 列乘以非零数 加到第 列 得出,定理,对矩阵施行一次初等行变换，相当于用相应的 阶初等矩阵左乘矩阵；对矩阵施行一次初等列变换，相当 于用相应的阶初等矩阵右乘矩阵,注 注意定理说法中“相应的”含义，具体说来是,的第行与第行互换； 的第行乘；,的第列乘；,的第列乘加到的第列上,定理及推论,定理设为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵,使,推论矩阵的充分必要条件是：存在 阶可逆矩阵，使,设A是任意矩阵，判断下列关于秩的命题是否正确？,(1)若r(A)=r，则A的所有r阶子式都不等于零.,(2)若r(A)=

15、r1,则A至少有一个r-1阶子式不等于零.,(3)若A的所有r+1阶子式全为零，则r(A)=r.,(4)若r(Amn)=n,则m n.,(5)若A是非零矩阵，则r(A)=r0.,(6)若A是n阶满秩方阵，则的(A2)=r(A)2.,(7)若四阶方阵A的秩为2，则A*的秩为0.,(8)若r(A)=r,则拼接矩阵(A|A)的秩为2r.,解答,(1)否。A只需存在一个r阶子式不为零即可.,(2)是，若A的所有r-1阶子式全为零，则A的r 阶子式也一定全 为零.,(3)否，此时有r(A) r.,(4)是，由r(A)=n, r(A) min(m,n)，知n min(m,n),即n m.,(5)是，A至少

16、有一个元素不为零，所以r(A)0.,(6)否，r(A2)=r(A) r(A)2.,(7)是，此时A的所有三阶子式全为零，A*为零矩阵，所以 r(A*)=0.,(8)否，按初等行变换化为行阶梯形，知r(A|A)=r.,上页,1. 设 ，求 ， 和,，这里， 和 是3阶矩阵，而,和 是4阶矩阵,解 容易求得: = ，,2. 用初等变换方法求矩阵 的逆矩阵：,解,所以,3. 求矩阵 的秩,解：,r(D)=r(D)=3.,4. 求解齐次线性方程组,解：,5非次线性方程组,当 取何值时有解？并求出它的解.,解：,当( 1)( 2)0，即 1或 2时有解.,(1) 1.,(2） 2,第四章：向量组的线性相

17、关性,n维向量 n维向量实向量复向量零向量相等 向量组的线性相关性 向量组线性组合向量能由向量组线性表示 定理向量组等价线性相关定理定理 向量组的秩 最大线性无关向量组定理定理 向量空间 向量空间封闭子空间维数r维向量空间 线性方程组的解的结构 解向量解向量的性质解空间定理基础解系,本章关键词：,n维向量,个有次序的数 组成的数组，把它们排成一行,称为 维行向量，把它们排成一列,称为 维列向量，两者合称为 维向量，,维向量的第 个数 称为该向量的第 个分量分量是实数的向量，称为实向量， 分量是复数的向量，称为复向量.,零向量,分量全为零的向量称为零向量，记作 ,两个向量和满足条件 称这两个向量

18、与相等，记作,向量组,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集 合叫向量组例如一个矩阵有个维列向量,它们组成的向量组称为矩阵的列向量组,矩阵又有个维向量,线性组合,给定向量组对于任何一组实数 向量称为向量组的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数称为 这个线性组合的系数,向量能由向量组线性表示,给定的向量组和向量，如果存在一组 数使,则向量使向量的线性组合，这时称向量能由向量组线 性表示,定理,向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵的秩,设和是两个维向量组，若向量组中的任一向量能 由向量组中的向量线性表示，则称向量组能由向量组线 性表示若向量组能由向量组线性表示，向

19、量组也能由 向量组线性表示，则称向量组与向量组等价,线性相关,设有维向量，若存在一组不全为零的数 （#） 则称向量组是线性相关的，如果只有当 才能使式成立，称向量组线性无关,定理,向量组线性相关的充分必要条件是它所构成 的矩阵的秩小于向量个数；向量组线性无关的充分必要条件是,定理,（1）如果向量组的一部分 （）线性相关，则向量组也线性相关，反 之，若向量组线性无关，则它的每一个部分组 也线性无关；,（2）记 即向量是由向量添加一个分量组成的若是 线性无关，则也线性无关，若线性相关，则也线性相关,（3）个维向量组成的向量组，当时 向量组一定线性相关；,（4）设向量组：线性无关，而向量组： 线性相

20、关，则向量由向量组线性表示，而且表示式唯一,最大线性无关向量组,设有向量组，如果在中能选出个向量 满足： （）向量组线性相关； （）向量组中任意r+1个向量（如果中有r+1个向量 的话）都线性相关，那么称向量组是向量组的一个最大线 性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数 称为向量组的秩 只有零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为,定理定理,定理：矩阵的秩的等于它的列向量组的秩，也等于它的 行向量组的秩,定理：设向量组能由向量组线性表示，则向量组 的秩不大于向量组的秩,推论等价的向量组的秩相等 推论设，则,推论设向量组是向量组的部分组，若向量组线 性无关，且向量组能由向量组线

21、性表示，则向量组是向 量组的一个最大无关组,向量空间,设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于 加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间 所谓封闭，是指在集合中可以进行加法及乘数两种运算 具体地说，就是：若，则a+b ;若， ，则,子空间,设有向量空间 及，若，就称是的子空间 例如任何由维向量所组成的向量空间，总有 所以这样地向量空间总是地子空间,零空间是任意向量空间地非空子集，若对加法和 数乘运算封闭，则成为的子空间,维数r维向量空间,设是向量空间，若中存在个向量，满 足,（）线性无关,（）中任一向量都可由线性表示，,那末称为向量空间的一组基，称为的 维数，,称为维向量空间,解向量,齐次线性方程