九年级数学上册《一元二次方程的解法》学案 北师大版

1、江苏省宿迁市宿豫区九年级数学上册江苏省宿迁市宿豫区九年级数学上册一元二次方程的解法一元二次方程的解法学案学案 （无答案）（无答案） 北师大版北师大版 班级 姓名 学号 学习目标 1、能用b24ac的值判别一元二次方程根的情况 2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b24ac对根的情况的判断作用 3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程 学习重点：一元二次方程的根的情况与系数的关系 学习难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值 教学过程 一、情境引入： 1.一元二次方程的求根公式时什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 一般地，对于一元二次方程 ax2+

2、bx+c=0（a0），当 b2-4ac0 时，它的根是 a acbb x 2 4 2 用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定 a、b、c 的值，再求出 b2-4ac 的值，当 b2-4ac0 的前提下，再代入公式求解；当 b2- 4ac0 时，方程无实数 解(根) 2.用公式法解下列方程： x2x1 = 0 x22x3 = 0 2x22x1 = 0 3 3观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二 次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况 呢？ 二、探究学习： 1尝试： 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ x

3、22x8 = 0 x2 = 4x4 x23x = 3 （答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数 根） 问题：你能得出什么结论？ 可以发现b24ac它的符号决定着方程的解。 2概括总结 由此可以发现一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的情况可由b24ac来判定： 当b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根 当b24ac = 0 时，方程有两个相等的实数根 当b24ac 0 时，方程没有实数根 我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？ 当一元二次方程有两

4、个不相等的实数根时，b24ac0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b24ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，b24ac 0 3.概念巩固： （1）方程 3x2+2=4x 的判别式 b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 . （2）下列方程中，没有实数根的方程是（ ） A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 （3）方程 ax2+bx+c=0(a0)有实数根，那么总成立的式子是（ ） A.b2-4ac0 B. b2-4ac0 C. b2-4ac0 D. b2-4ac0 4.典型例题： 例 1 不解方程，判断下列方程根的情况： 1、； 2

5、、；0662 2 xx 2 42xx 3、4、x2-2mx+4（m-1）=0 xx314 2 解：1.b2-4ac=24-4（-1）（-6）=0 该方程有两个相等的实数根 2. 移项，得 x2+4x-2=0 b2-4ac=16-41（-2）=16-（-8）=16+8=240 该方程有两个不相等的实数根 3. 移项，得 4x2+3x+1=0 b2-4ac=9-441=9-16=-70 该方程没有实数根 4. b2-4ac=（2m）2-414（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）20 该方程有两个实数根 例 2 ：m 为任意实数，试说明关于 x 的方程 x2-（m-

6、1）x-3（m+3）=0 恒有两个不相等 的实数根。 解： 125 375510 3710 33414 2 222 2 2 2 m mm mm mmacb 不论 m 取任何实数，总有（m+5）20 b2-4ac=（m+5）2+12120 不论 m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根 例 3：m 为何值时，关于 x 的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 b2-4ac=-（4m+1）2-42（2m2-1）=8m+9 （1）若方程有两个不相等的实数

7、根，则 b2-4ac0 即 8m+90 m 8 9 （2）若方程有两个相等的实数根，则 b2-4ac=0 即 8m+9=0 m= 8 9 （3）若方程没有实数根，则 b2-4ac0 即 8m+90 m 8 9 当 m时，方程有两个不相等的实数根 8 9 当 m=时，方程有两个相等的实数根 8 9 当 m时，方程没有实数根 8 9 例 4：已知关于 x 的方程 kx2（2k1）xk3 = 0 有两个不相等的实数根，求 k 的 取值范围。 解：方程有两个不相等的实数根 （2k+1）2-4k（k+3）0 4k2+4k+1-4k2-12k0 -8k+10 即 k 8 1 5.巩固练习： 练习 1.不解

8、方程，判断方程根的情况： （1）x2+3x-1=0;(2)x2-6x+9=0;(3)2y2-3y+4=0(4)x2+5=x52 练习 2.k 取什么值时，方程 x2-kx+4=0 有两个相等的实数根？求这时方程的根。 练习 3.已知 a、b、c 分别是三角形的三边，则关于 x 的一元二次方程 （a+b）x2+2cx+（a+b）=0 的根的情况是（ ） A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。 三、归纳总结： 一元二次方程的根的情况与系数的关系？ b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程的情况下 判断一元二次方程

9、的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知 b2-4ac 的符号，进而 得出方程中未知字母的取值情况。 4.2 一元二次方程的解法（5） 【课后作业】 班级 姓名 学号 1、一元二次方程 x2-4x+4=0 的根的情况是（ ） A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 2、如果方程 9x2-(k+6)x+k+1=0 有两个相等的实数根，那么 k= . 3、方程(2x+1)(9x+8)=1 的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 4、关于 x 的方程 x2+2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k(

10、 )k A.k-1 B.k-1 C.k1 D.k0 5、已知方程 x2-mx+n=0 有两个相等的实数根，那么符合条件的一组 m，n 的值可以是 m= ,n= . 6、若方程有实数根，则的范围是_。 2 610kxx k 7、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_。x 2 210mxx m 8、不解方程，判断下列方程根的情况 （1）； （2）； （3） 2 260 xx 2 42xxxx314 2 （4） 3x2x1 = 3x （5）5（x21）= 7x （6）3x24x =43 9、k 取何值时，关于 x 的方程 2x2-(k+2)x+2k-2=0 有两个相等的实数根.？求出这时方程 的根。 10、已知关于 x 的一元二次方程 x2-（2k-1）x+k2=0 有两个不相等的实数根，求