曲线的凹凸性与拐点

1、一、曲线的凹凸性与拐点,第三章导数的应用,第四节曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘,二、函数图形的描绘,如图所示，凡呈凸形的弧段，,当自变量 x 由 x1 增大到 x2 时，,其上的切线斜率是递减的(如图(a)左，(b)左)，,凡呈凹形的弧段，,当 x 由 x1 增大到 x2 时，,其上的切线斜率是递增的(如图(a)右，(b)右)，,我们将以这个明显的几何特征来规定曲线的凹凸性.,一、曲线的凹凸性与拐点,(a),(b),定义 1设函数 y = f (x) 在某区间 I 内可导，, 如果 f (x) 在 I 内是递增的，,则称曲线 y = f (x) 在区间 I 内是凹的，,I 区间称为凹区间；

2、, 如果 f (x) 在 I 内是递减的，,则称曲线 y = f (x) 在区间 I 内是凸的，,I 区间称为凸区间 .,定义 2设函数 y = f ( x ) 在区间 I 内连续，,则 y = f (x) 在区间 I 内的凹凸分界点，,叫做曲线 y = f (x) 的拐点.,定理 1设函数 y = f (x) 在区间 I 内的二阶导数 f ( x ) 0，,则曲线 y = f (x) 在区间 I 内是凹的；,若 f ( x ) 0，,则在此区间 I 内曲线 y = f (x)是凸的.,定理 2 (拐点的必要条件),且点 (x0 , f (x0) 为曲线 y = f (x) 的拐点，,则 f

3、(x0) = 0.,若函数 y = f (x) 在 x0 处二阶导数 f (x0) 存在，,注意f ( x0 ) = 0 是点 (x0 ， f ( x0 ) ) 为拐点必要条件，,而非充分条件.,例如 y = x4 ，则 y = 12x2，,当 x = 0 时， y (0) = 0，,但 (0, 0) 不是曲线 y = x4 的拐点，,因为点 (0, 0) 两侧二阶导数不变号.,定理 3若 f (x0) = 0，且在 x0 两侧 f (x) 变号，,则点 (x0 , f ( x0 ) ) 是曲线 y = f (x) 的拐点.,例 1讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1

4、的凹凸区间与拐点,解定义域为( , ).,因为,f (x) = 3x2 - 12x + 9，,f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )，,令 f (x) = 0，可得 x = 2.,当 x ( , 2) 时，,f (x) 0，,此区间是凸区间,当 x (2, + ) 时，,f (x) 0，,此区间是凹区间,当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.,本题也可以下表给出解答：,例 2讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点.,解定义域为( , ).,因为,令 y

5、= 0 得 x = -1， x = 1.,当 x (, -1) 时，,y 0，,此区间是凸区间；,当 x (1, 1) 时，,y 0，,此区间是凹区间；,当 x (1, + ) 时，,y 0，,此区间是凸区间.,因为 f (-1) = f (1) = 0，,f (x) 在点 x = - 1.,x = 1 的两侧变号，,且 f ( -1 ) = f ( 1 ) = ln2，,所以点 (- 1, ln2) 和 (1, ln2)为拐点.,二、函数图形的描绘,1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线,定义 3若曲线 y = f (x) 上的动点 M(x, y),沿着曲线无限远离坐标原点时，,它与某直线 l 的

6、距离趋向于零，,则称 l 为该曲线的渐近线.,l,M(x, y),y = f (x),(1) 垂直渐近线,则称直线 x = x0 为曲线 y = f (x) 的垂直渐近线.,例如，,因为,所以直线 x = 0+ 即 y 轴为 y = ln x 曲线的垂直渐近线.,对于曲线 y = ln x 来说，,例如，对于曲线 来说，,(2) 水平渐近线,则称直线 y = b 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线 .,所以直线,都是该曲线的水平渐近线 .,因为,又如，曲线 y = arctan x，,2.函数图形的描绘,描绘函数的图形，,其一般步骤是：,(1) 确定函数的定义域，,并讨论其对称性和周期性

7、；,(2) 讨论函数的单调性，,极值点和极值；,(3) 讨论函数图形的凹凸区间和拐点；,(4) 讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线；,(5) 根据需要补充函数图形上若干点(如与坐标轴的交点等等)；,(6) 描图.,解该函数的定义域为 (- , )，且为奇函数，,求其一、二阶导数，得,y = 3 - 3x2和 y = - 6x，,例 4描绘函数 y = f (x) = 3x x3 的图形.,得驻点 x = 1，,令 y = 0，,因为 y|x = - 1 = 6 0，,y|x =1 = - 6 0，,所以 y(-1) = - 2 为极小值，,y(1) = 2 为极大值；,令 y = 0，得 x = 0，,因为 x 0，,x 0 时， y 0，,所以 x 0 时曲线 y = f (x) 是凹的，,当 x 0 时，曲线 y = f (x) 是凸的，,且(0, 0)为拐点 .,将上述讨论列为下表：,曲线 y = 3x x3 无水平渐近线和垂直渐近线.,综合上述结论，,即可描出所给函数的图形.,y = 3x x3,令 y = 0，,可知曲线 y = 3x x3 与 x 轴交在,例 6描绘函数 的图形.,解该函数的定义域为 (- , ).,该函数为偶函数，,因此,只要作出它在 (0, ) 内的图形，,即可根据其对称性得到它的全部图形,求其一、二阶导数，得,令 y = 0.