理论力学习题5.ppt

1、5.1使用虚功原理解3.1题。半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为：,解：杆受理想约束，杆的位置可由杆与水平方向夹角唯一确定，杆的自由度为1，设棒长为l，如图所示，建立坐标系 ， 棒所受主动力只有重力，由虚功原理：,有：,即：,取 为广义坐标：,只有：,5.2 使用虚功原理解3.4题。相同的两个均质光滑球悬在结于顶点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求 角及 角的关系。,解：平衡时悬绳张力通过球心，三球所受主动力只有重力，自由度为1，如图建立坐标系，设小球半 径为r，由虚功原理得：,代入（1）式得

2、：,取变分：,即：,由约束关系：,取变分：,代入（2）式：,只有：,故：,5.3 长度同为l的轻棒四根，光滑地连成一菱形ABCD，AB、AD两边支于同一水平线上相距为2a的两根钉上，BD间则用一轻绳联结，C点上系一重物W，设A点上的顶角为 ，试用虚功原理求绳中张力T。,解：如图所示，取两钉连线中点O为坐标原点，建立坐标系 ，将BD间的约束解除，代之以约束反力T，将T当作主动力。 一定，便可确定ABCD位置，体系自由度为1，选 为广义坐标。由虚功原理得：,（2）,（1）,取变分：,将代入得：,（3）,补充题1、图所示曲柄连杆机构中，曲柄A端上所受的竖直力为Q，由活塞D上所受的水平力P维持平衡，求

3、水平力P与竖直力为Q的大小的比值 为（ ）。,A、,B、,C、,D、,解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研究对象。依虚功原理有：,即：,因为刚性杆两端无限小位移投影相等，所以:,(选 D),应用虚功原理解题时的步骤以及应注意的问题：,1判断所研究的质点系受到的约束是否都是理想约束，然后作受力分析，画出受力图。由于虚功原理中不包含约束反力，因而可以不考虑约束反力，而只画全部主动力。若质点系受有非理想约束，或需计算约束反力时，便将这样的约束解除，代之以相应的约束反力，并视之为主动力。,2根据问题所给的条件，确定系统的自由度数,同时选适当的参数作为确定系统位置的广义坐标。如果题

4、设条件便于用广义坐标表出各个主动力作用点的坐标，则用分析法求解较为方便。如果题设条件不便于应用分析法，则可应用几何法求解。,3用几何法求解时，所给虚位移必须满足约束条件(即不破坏约束)，并用此条件来建立各点虚位移间的关系。,4、写虚功原理表示式时，应当注意虚元功的正、负号。,5对于一个自由度的质点系的平衡问题，每个问题写出一个方程求得一个未知量。而两个自由度的质点系的平衡问题，写出两个方程求得两个未知量，以此类推。不难理解，具有s个自由度的质点系的平衡问题，可写出s个方程求解s个未知量,补充题2（ 33 ） 两根均质棒AB、BC，在B处刚性连结在一起，且 形成一直角，如将此棒的A端用绳系于固定

5、点O上（如图所示），则当棒平衡时，AB棒和竖直直线所成的角 满足下列关系： 其中a、b为棒AB和BC的长度，试用虚功原理证明。,解：如图所示，系统自由度为1，选 为广义坐标，A、B棒重力分别作用于 a(x1 ,y1)和b(x 2,y2)点，设棒线密度为 ，以A为坐标原点，则：,故：,系统平衡时，由虚功原理得：,补充题3、如图所示，压榨机的空气压力筒的推力为F，已知 ，由虚功原理知在图示平衡位置时压榨力的大小Q与角 的关系为（ ）,A、,B、,C、,D、,解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研究对象, 系统自由度为1，选 角为广义坐标。依虚功原理有：,如图建坐标系：Axy ，

6、依约束关系知：,代入（1）式得:,（1）,选 C,所以在图示平衡位置时压榨力的大小与角 的关系为,补充题4 、如图所示，表示一伸缩机构，由光滑铰链联结的n个棱形构成，OA之间用弹簧联系。试求C点受P力作用后，机构处于平衡时，弹簧中受到多大的力。,对此问题，因为O、A、C三点(主动力的作用点)的直角坐标可用 角很方便地表示出来，所以用分析法求解最为方便。建坐标Ox，则,虽然弹簧力是内力，但内力作功之和一般不为零，故应以弹簧力F来代替弹簧的作用，则整个系统是在P与F力的作用下处于平衡,如图所示系统自由度为1，选 角为广义坐标。,解：显然，这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研究对象

7、。,代入即可求得,由虚位移原理得：,补充题5、五根长度相同的均质柱形链杆，各重W，与固定边AB形成正六边形（如图所示）。设在水平杆的中点施力T以维持平衡，试用虚功原理证明T = 3W。,证：如图所示，建立坐标系o-xy，以整个机构为研究对象，这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。系统自由度为1，选y为广义坐标。并以 分别表示各杆中点的纵坐标，由图可知：,假想C5 点获得一向下的虚位移 ,则C1,C2,C3,C4各点的虚位移为：,证毕。,由虚功原理得：,5.5 在离心节速器中，质量为m2的质点沿着一竖直轴运动，而整个系统则以匀角速度绕该轴转动，试写出此力学体系的拉氏函数。设连杆AB、BC、CD

8、、DA等的质量均可不计。,质点的相对速度：,所以质点B的动能为：,解：系统自由度为1，选 为广义坐标，如图所示，以A为定点，建立动坐标系,同理可知质点D、C的动能、势能为：,取微商：,此力学体系的拉氏函数为：,又解：系统自由度为1，选 为广义坐标,质点B的动能、势能为：,质点C的动能、势能为：,此力学体系的拉氏函数为：,5.6 使用拉格朗日方程解4.10题 。质量为m的小环M，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，圆圈在水平面内以匀角速 绕圈上某点o转动，试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。,解法1：小环作平面运动，自由度为1，选 为广义坐标。取圆圈为势能参考面，则小环势能为零。小环动

9、能为：,拉氏函数为：,代入拉氏方程：,得：,故小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：,解法2：小环作平面运动，自由度为1，选 为广义坐标,取圆圈为零势面，则小环势能为零。,小环相对速度大小为：,牵连速度大小：,小环绝对速度：,将小环绝对速度在圆圈的切向和法向投影：,则小环的动能为：,拉氏函数：,代入拉氏方程：,得：,化简得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：,解法3：小环作平面运动，建立平面极坐标系，自由度为1，选 为广义坐标,取圆圈为零势面，则小环势能为零。,设某一时刻，小环M（r,）在如图所示位置：,小环动能为：,拉氏函数为：,代入拉氏方程：,得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：,5.7

10、试用拉格朗日方程解本章补充例题5.3（4.8）.轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角速 绕竖直轴转动。另有一质量为m的小环套在此金属丝上，并沿金属丝滑动，试求小环运动的微分方程。已知抛物线的方程为 ，式中a 为常数，计算时可忽略摩擦阻力。,解：在抛物线金属丝上建立坐标系 ,系统自由度为1，选x为广义坐标，小环相对速度：,小环的动能：,由 得：,拉氏函数为：,代入拉氏方程：,故小环运动的微分方程为：,5.9 设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为 的圆锥面内运动，试以 为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。,解：取柱坐标系，如图所示，则：质点的动能：,拉氏函数：,选 为

11、广义坐标，约束关系：,则：,代入拉氏方程得：,质点运动微分方程为：,5.10试用拉格朗日方程解2.4题中的(a)及(b)。 质量为m1的质点，沿倾角为 的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上自由滑动，试求(a)劈的加速度 ；(b)质点水平方向的加速度 。,如图所示。,m1的绝对速度：,系统的动能：,拉氏函数：,代入拉氏方程：,即：,两式联立得：,劈的加速度为：,质点水平方向的加速度：,解法2：,选固定坐标系 ,如图所示。,系统自由度为2，选广义坐标：,（质点m1相对静系的水平位置）,(直角劈m2相对静系的位置，因为直角劈只做平动，故C点的运动可代表直角劈的运动),直角劈m2的

12、动能为：,质点m1的动能和势能为：,约束方程为：,系统拉氏函数为：,代入拉氏方程：,整理得：,两式联立得：,由以上两解法可知，应用拉氏方程求解力学体系的动力学问题时，广义坐标可同时选惯性系量，也可同时选惯性系量和非惯性系量。,5.11 试用拉格朗日方程求3.20题中的a1和a2。质量为M，半径为r的均质圆柱体放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆柱体质心的加速度a1，物体的加速度a2。,解：如图建立坐标oy，系统自由度为1，选y为广义坐标。物体的动能和势能为：,圆柱体只滚不滑：,圆柱体的动能

13、：,A点的速度等于m的速度：,系统拉氏函数为：,代入拉氏方程得：,例2 （5.12） 均质杆AB，质量为m，长为2a，其A端可在光滑水平槽上运动，而棒本身又可在竖直面内绕A端摆动，如除重力作用外，B端还受有一水平的力F的作用，试用拉格朗日方程求其运动微分方程。如摆的角度很小，则又如何？,解：系统自由度为2，如图所示,选取 为广义坐标,由科尼希定理知棒的动能为：,k为棒绕质心c转动的回转半径。,棒质心坐标：,虚功：,所以广义力为：,代入基本形式的拉格朗日方程：,得运动微分方程为：,若 很小， 这里：,则运动微分方程为：,5.13 行星齿轮机构如图所示，曲柄带动行星齿轮，在固定齿轮上滚动。已知曲柄

14、质量为m1且可认为是匀质杆。齿轮的质量为m2，半径为r，且可认为是匀质圆盘，至于齿轮的半径则为R，今在曲柄上作用一不变力矩M，如重力作用可以略去不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动。,解：系统的自由度为1，选为广义坐标。,曲柄的动能：,齿轮的动能：,系统的动能：,由于重力不计，则：,广义力为：,代入基本形式的拉氏方程：,得：,曲柄转动的角加速度为：,5.16 半径为r的均质重球，可在一具有水平轴的半径为R的固定圆柱的内表面作纯滚动，如图所示，试求重球绕平衡位置作微振动的运动方程及其周期。,解：系统自由度S=1，选广义坐标：,球只滚不滑：,球的动能：,拉氏函数：,代入拉氏方程：,得运动微分方程

15、为：,对于微振动：, 振动周期为：,补充题: 图示质量为m的直杆，可在固定光滑的铅垂滑道中自由滑动，杆的下端搁在质量为M的光滑楔块斜面上，楔块倾角为 ，置于光滑的水平面上。由于杆子自重的压力，楔块沿水平方向移动，杆子随之垂直下降，试用拉格朗日方程求杆与楔块的加速度。,系统动能为：,拉氏函数为：,解：系统自由度为1，选广义坐标：q = y 如图所示，有约束关系：,代入拉氏方程：,得：,楔块的加速度为：,杆下降的加速度为：,拉氏函数为：,例4 已知质量为m的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定，如图所示，弹簧原长为l0，劲度系数为k, 求此弹簧摆的振动方程。,解：取弹簧和摆锤为系统，自由度为2，选r，

16、为广义坐标, 系统的动能为,系统的势能为,弹簧摆,拉氏函数为,拉氏函数为,代入拉氏方程：,得到系统的运动微分方程为,这是非线性方程组，需在计算机上作数值计算，在一定的初始条件下，摆锤的轨迹如右图所示。 如果系统做小振动，可进行近似计算，将非线性方程化为线性方程。,弹簧摆的轨迹,补充题: 如图所示，升降机上有一摆长为l的单摆，升降机以匀加速度a上升，且初速为零，使用分析力学方法确定单摆的运动微分方程。,解：系统自由度为1，选单摆摆角 为广义坐标,摆锤的相对速度的大小：,牵连速度的大小：,绝对速度的平方：（由余弦定理得）,单摆的动能为：,单摆的势能为：以初始位置时（t = 0）的o点为零势点,系统的拉氏函数为：,代入拉氏方程：,得：,则单摆运动微分方程为：,由以上例题可看出：,1、拉氏方程不仅适用于稳定约束，也适用于不稳定约束。,2、应用拉氏方程时，广义坐标可选线量，也可同时选角量。,3、应用拉氏方程时，广义坐标可选惯性系量，也可同时选非惯性系量。,补充题:写出单摆摆动时的哈密顿函数H，并讨论其物理意义。,解：系统自由度为1，选广义坐标：,势能为：（以o为零势点）,拉氏函数为：,质点的动能为：,H = T + V = E 哈密顿函数即为单摆的总机械能。,将 的表达式代入（1）式得哈密顿函数为：,（1）,例1 质点在万有引力场中运动，对应平面极坐标，